江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023-2024学年第一学期高二年级10月学情调研测试

数学试题

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.过，两点的直线的倾斜角为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.直线与直线平行，则实数的值为（    ）

A.    B.    C.    D.或

3.若双曲线=1（a>0，b>0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

4.《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则第1人比第3人多得钱数为（    ）

A.钱    B.钱    C.钱    D.钱

5.在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若且，则的方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知双曲线的左右顶点分别为，垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.关于直线：，下列说法正确的有（    ）

A.直线的斜率为    B.经过点

C.在轴上的截距为    D.直线经过第二､三､四象限

10.下列说法正确的有（    ）

A.数列1，2，3和3，2，1是两个不同的数列；

B.数列的最大项为；

C.数列是递减数列；

D.数列的通项公式，若数列为递增数列，则.

11.在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上一点，则（    ）

A.曲线关于轴对称；

B.曲线关于原点对称；

C.点的横坐标的取值范围为；

D.直线与曲线有且仅有两个公共点.

12.过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为，，O为坐标原点，则（    ）

A.以为直径的圆与准线相切

B.可能为正三角形

C.

D.记的面积分别为，则

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡中的横线上.）

13.在数列中，，则___________.

14.点关于直线对称的点的坐标为___________.

15.已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为___________.

16.已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的最大值为___________.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）

已知直线

（1）若直线过点，且，求直线的方程；

（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.

18.（本题满分12分）

已知两圆和，求：

（1）当取何值时两圆外切？

（2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

19.（本题满分12分）

已知圆经过两点，且与轴的正半轴相切.

（1）求圆的标准方程；

（2）在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.

20.（本题满分12分）

已知为坐标原点，位于抛物线上，且到抛物线的准线的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的最小值以及此时直线的方程.

21.（本题满分12分）

已知双曲线的方程为，离心率为2，左､右顶点分别为，.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知点是直线上任意一点，若直线分别与双曲线交于点，求证：直线恒过定点.

22.（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其短轴的一个端点与两焦点

构成的三角形周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知是椭圆上的相异三点，并且关于原点对称，若的面积为，求的取值范围.

2023-2024学年第一学期高二年级10月学情调研测试

数学试题参考答案

1.C    2.A    3.C    4.B    5.D    6.D    7.C    8.A

9.BD    10.AC    11.BCD    12.ACD

13.23    14.    15.或    16.

17.（1）直线的斜率，因为，所以直线的斜率为-2

所以直线的方程是，即；

（2）设直线，

则平行线与之间的距离，得或，

所以直线的方程是或.

18.解：（1）

因为两圆外切，所以，

即，所以；

（2）当时，

两圆相减得：，

所以两圆的公共弦所在直线的方程为；

圆心到直线的距离为

所以公共弦长为.

19.解：（1）设圆的标准方程为

由条件可得：

解得或

又因为圆与轴正半轴相切，所以满足题意

圆的标准方程为

（2）存在这样的点，并且这样的点有2个.

假设在圆上存在点使得

则

化简，得

说明点为直线与圆的公共点

又圆的圆心到直线的距离

即直线与圆相交

所以在圆上存在点使得，并且这样的点有2个.

20.解（1）根据题意可得，所以

故所求抛物线C方程

（2）设点，抛物线的焦点坐标为.

当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；

当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：；

联立抛物线方程可得，消去得：，

由韦达定理得，

易知，

故

所以当时，取最小值-16，

此时直线的方程为.

21.解：（1）不妨设双曲线的半焦距为，由条件，，所以

于是

所以，双曲线的方程为

（2）设，则直线的方程分别为

由，解得

由，解得

当时，，直线垂直于轴，直线经过双曲线的右焦点

下证当时，直线也经过点

所以，即直线也经过点

综上，若直线与直线的交点始终在直线上，则直线恒经过双曲线的右焦点

22.（1）设椭圆的半焦距为，则由

短轴的一个端点与两焦点构成的三角形周长为

所以，解得，

从而

所以椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，由题意知.

将代入方程中，整理得

此时必须有，即（*）

设，则有

所以

又关于原点的对称，则，所以点到直线的距离

所以三角形的面积

整理得，符合（*）式

又，

所以弦的中点为

从而

所以

因为，所以，所以，

所以

当直线的斜率不存在时，三角形为直角三角形，

综上，的取值范围为.