数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件备课课件ppt

这是一份数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件备课课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了必备知识•探新知，p⇒q，q⇒p，关键能力•攻重难，a≤9，mm2，aa≥1，课堂检测•固双基等内容，欢迎下载使用。

1.4　充分条件与必要条件1.4.2　充要条件
1．结合具体实例，理解充要条件的意义．2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题．
(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有__________，又有__________，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为______条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为______条件．
想一想：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
练一练：1．设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形，故选C．
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________.(填序号)(1)p：3x＋2＞5，q：－2x－3＜－5；(2)p：a＞2，b＜2，q：a＞b；(3)p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形；(4)p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解．
(1)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，“x∈A”是“x∈B”的_________条件( )A．充分不必要　　　B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要
(2)判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①p：|x|＝|y|，q：x3＝y3；②p：△ABC中，AB＞AC，q：△ABC中，∠C＞∠B；③p：A⊆B，q：A∪B＝B；④p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．
(2)①因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件．②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件．③若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件．④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全等，故p是q的充分不必要条件．
[归纳提升]　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )A．ab＝0　　　　　　B．ab>0C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分不必要条件B．丙是甲的必要不充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙是甲的既不充分又不必要条件
(3)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为______；一个充分不必要条件为______________________.
6≤a≤9(答案不唯一)
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[证明]　设p：ac＜0，q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．(1)充分性(p⇒q)：
(2)必要性(q⇒p)：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，则两根之积＜0，所以ac＜0成立，即必要性成立，由(1)(2)可得，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[归纳提升]　充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边．[证明]　(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角形)：因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；
(2)必要性(由△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.综上可知，结论得证．
已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R且a≠0.(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[分析]　用集合的观点研究充分、必要条件(1)p对应的集合是q对应的集合的真子集；(2)q对应的集合是p对应的集合的真子集．
[归纳提升]　根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}．(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
(1)已知p：－1误将充分条件当作充要条件 给出下列各组条件：①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；③p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根；④p：x>2或x<－1，q：x<－1.其中p是q的充要条件的有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
[错因分析]　误将充分条件当作充要条件，当p⇒q时，我们只能判断p是q的充分条件，只有p⇒q与q⇒p同时成立，才能称p是q的充要条件．
[方法点拨]　对于两个条件A，B，若A⇒B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A⇔B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件[解析]　当x＝1时，x2－2x＋1＝0成立；当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，解得x＝1，所以x＝1是x2－2x＋1＝0的充要条件．
2．若“x2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是_______.[解析]　因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集，所以m>2.