新教材适用2023_2024学年高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角课件新人教A版必修第一册

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第五章　三角函数5.1　任意角和弧度制5.1.1　任意角1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养.必备知识•探新知 1．角的概念角可以看成平面内__________绕着它的______旋转所成的图形．2．角的表示如图，(1)始边：射线的______位置OA；(2)终边：射线的______位置OB；(3)顶点：射线的端点O；(4)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．一条射线端点起始终止3．角的分类想一想：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．练一练：1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是(　　)A．1　 　 B．2　 　 C．3　 　 D．4[解析]　正角有126°，99°共2个．2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　　)A．120°　　　 B．－120°　　　 C．60°　　　 D．240°BA设α，β是任意两个角：(1)角的加法：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是________.α＋β角的始边为α的始边，终边为β的终边；(2)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为________，角α的相反角记为______；(3)角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β＝α＋(－β)．这样，角的减法可以转化为角的加法．α＋β相反角－α练一练：如图(1)，∠AOC＝__________；如图(2)，∠AOC＝__________.[解析]　∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝20°＋90°＝110°，∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝－90°＋20°＝－70°.110°－70°如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．想一想：“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？提示：锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．练一练：－215°是(　　)A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]　由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．B所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合________ __________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}提醒：对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．练一练：1．下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是(　　)A．60°　　　　　　　　　 B．－60°C．30° D．－30°[解析]　－1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．D2．与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}[解析]　由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．C关键能力•攻重难　　　　　(1)下列命题正确的是(　　)A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角C(2)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　)A．150°　　　　　　 B．－150°C．390° D．－390°B[分析]　角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．[解析]　(1)终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．(2)各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°.[归纳提升]　理解任意角的概念的关键与技巧(1)关键：①弄清角的始边与终边及旋转方向与大小，②正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：逆时针方向为正角，顺时针方向为负角．　　　　　　　　(1)(多选题)下列说法，不正确的是(　　　)A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)A．60°，720°　　　 B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°ACDB　　　　　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．[解析]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.[归纳提升]　1.一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．2．如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略．　　　　　　　　　写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S，S中适合不等式－360°<β<360°的元素有哪些？[解析]　直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．[归纳提升]　1.表示区间角的3个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角．A4．已知，如图所示，则终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为_____________________________________________.{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}[解析]　终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．所以终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．