高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列图片ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列图片ppt课件，共41页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，必备知识•探新知，n－m，ap＋aq，an－1，an－k＋1，pd1＋qd2，ABC，关键能力•攻重难，课堂检测•固双基等内容，欢迎下载使用。

4.2　等差数列4.2.1　等差数列的概念第2课时　等差数列的性质及应用
能熟练掌握等差数列的性质，并能利用等差数列的性质解决相关问题．1．熟悉等差数列的相关性质，并能够应用该知识灵活地进行运算．(逻辑推理、数学运算)2．能够应用等差数列解决一些生活中的实际问题．(逻辑推理、数学建模、数学运算)
(1)两项关系an＝am＋(_________)d(m，n∈N*)．(2)多项关系若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝_____________.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝_________.
练一练：数列{an}为等差数列，若a1＋a7＝4，则a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(　　)A．8　　　B．9　　　C．10　　　D．12[解析]　数列{an}为等差数列，∴a1＋a7＝2a4＝4，∴a4＝2，∴a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4＝10.故选C．
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为_____的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为_______的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_______的等差数列．(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_________________的等差数列．
练一练：(多选题)若等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中是等差数列的是(　　　)A．{λan}(λ为常数)B．{an＋bn}D．{anbn}
由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响．(1)当d>0时，数列为递增数列，图象如图1所示；(2)当d<0时，数列为递减数列，图象如图2所示；(3)当d＝0时，数列为常数列，图象如图3所示．
练一练：已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a8＝6，则a6的取值范围是(　　)A．(－∞，3) B．(3，6)C．(3，＋∞) D．(6，＋∞)[解析]　因为{an}为等差数列，设公差为d，因为数列{an}单调递增，所以d>0，所以a1＋a8＝a3＋a6＝2a6－3d＝6，则2a6－6＝3d>0，解得a6>3，故选C．
　　　　　若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解析]　方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
方法二：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，
　　　　　　　　等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.
　　　　　(1)(2023·天津宝坻区高二月考)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　　)A．9 B．12 C．15 D．18
(2)(2023·塘沽高二检测)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_______.(3)(2023·湖北武汉高三月考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝(　　)A．150 B．160 C．200 D．300
[解析]　(1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴5a5＝750，∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
[规律方法]　等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．
　　　　　　　　(1)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　)A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列(2)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝_____.
[解析]　(1)因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．(2)方法一：∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.
　　　　　成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．[分析]　已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．
[解析]　设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
[规律方法]　三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
　　　　　　　　(2023·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数．[解析]　设这三个数为a＋d，a，a－d(d>0)，所以这三个数是6,4,2.
对等差数列的定义理解不透彻而致误　　　　　已知数列{an}是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[错解]　C
[误区警示]　应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的每一项都满足等差的要求．[正解]　B
1．在等差数列{an}中，若a1＋a7＝14，则a4＝(　　)A．7 B．8 C．14 D．16
[解析]　由已知a1＝(lg 2)2＋lg 5(lg 2＋1)＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝1，因为数列{an}是等差数列，设公差为d，由a3＋a2＝5，又a1＝1，解得d＝1.故有an＝1＋(n－1)×1＝n，∴a3＝3，故选B.
3．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10＝_____.[解析]　a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，∴3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝6(a4＋a10)＝24，∴a4＋a10＝4.
4．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝_______.[解析]　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.
5．(多选题)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为(　　)A．－2,4,10,16 B．16,10,4，－2C．2,5,8,11 D．11,8,5,2