人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用授课ppt课件

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用授课ppt课件，共45页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，必备知识•探新知，f′x0，极大值，极小值，关键能力•攻重难，课堂检测•固双基，－19等内容，欢迎下载使用。

5．3　导数在研究函数中的应用5.3.2　函数的极值与最大(小)值第1课时　函数的极值
 1．借助教材实例了解函数的极值及相关的概念．2．能利用导数求某些函数极值． 1．了解函数极值的概念，会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．(数学抽象、逻辑推理、直观想象)2．掌握函数极值的判定及求法．(逻辑推理、数学运算)3．掌握函数在某一点取得极值的条件．(数学抽象、逻辑推理)
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
想一想：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示：可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此可导函数的导数值为0只是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点处导数值为0且该点附近两侧的导数值异号．
练一练：若函数y＝f(x)可导，则“f ′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的( 　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；(3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；(4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是_________；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是_________.
练一练：函数f(x)＝x3－x2－x＋3的极小值是( 　　)A．－1 B．0C．2 D．3
(1)函数f(x)的定义域为R，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( 　　)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点
(2)已知函数y＝|x2－2|x|－3|的图象如图所示，由图象指出该函数的极值．
[解析]　(1)因为导函数的图象如图，可知导函数图象中有4个函数值为0，即f ′(a)＝0，f ′(b)＝0，f ′(c)＝0，f ′(d)＝0x∈(－∞，a)，函数是增函数，x∈(a，b)，函数是减函数，x∈(b，c)，函数是增函数，x∈(c，d)函数是减函数，x∈(d，＋∞)，函数是增函数，可知极大值点为：x＝a，x＝c；极小值点为：x＝b，x＝d.故选C.
(2)由图象可知：当x＝±3时，函数取极小值0；当x＝0时，函数取极小值3；当x＝±1时，函数取极大值4.注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不存在．[规律方法]　有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出 f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是 f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
(1)下列说法正确的是( 　　)A．若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值B．若f(x0)是函数f(x)的极值，则f(x)在x0处有导数C．函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值D．定义在R上的可导函数f(x)，若方程f′(x)＝0无实数解，则f(x)无极值
(2)(2023·北京八中高二检测)如图所示是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列结论：①－2是函数f(x)的极值点；②1是函数f(x)的极值点；③f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；④f(x)在区间(－2,2)上单调递增．其中正确结论的序号是_______.(写出所有正确命题的序号)
[解析]　(1)若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值，不正确，反例y＝x3中，f ′(0)＝0，但是x＝0不是函数的极值点，故A不正确；对于B，例如f(0)＝0是f(x)＝|x|的极小值，但f(x)＝|x|在x＝0处不可导，所以错误；对于C，函数f(x)可有多个极大值和极小值，所以错误．对于D，根据可导函数判断是否存在极值的条件，可得若方程f ′(x)＝0无实数解，则定义在R上的函数f(x)无极值，所以正确．
(2)对于①，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(－2,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，－2是函数的极小值点，①正确；对于②，当x∈(－2,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，故1不是函数f(x)的极值点，②错误；对于③，由题中图象可知f ′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，③错误；对于④，由题中图象可知当x∈(－2,2)时，f ′(x)≥0，函数单调递增，④正确，故正确的序号是①④.
求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝sin x(1＋cs x)(0[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R；f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
[规律方法]　利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域．(2)求导数 f′(x)．(3)解方程 f′(x)＝0得方程的根．(4)利用方程 f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
求函数y＝3x3－x＋1的极值．
(1)若函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( 　　)A．1，－3 B．1,3C．－1,3 D．－1，－3(2)(多选题)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( 　　 )A．(－∞，2) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
[规律方法]　已知函数极值求参数的方法：对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
　　　　　　　　已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．[解析]　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
忽视极值存在的条件致误 已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．[误区警示]　可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．
[点评]　由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．
1．(2023·武汉高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( 　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．3 D．4[解析]　由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
3．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是( 　　)A．①②B．②③C．③④D．①③[解析]　①y＝x3在R上单调递增，无极值；②y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故②正确；③y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故③正确；④y＝2x在R上单调递增，故④不正确．∴选B.
4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于_________.[解析]　y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x1＝0，x2＝4.x，y′，y之间的关系如下表
由表可知y极大值＝f(4)＝32＋m＝13，∴m＝－19.
5．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；②在区间(1,3)内f(x)是减函数；③x＝2时，f(x)取到极大值；④在x＝3时，f(x)取到极小值．其中正确的是_____(将你认为正确的序号填在横线上)．