初中数学1.1 二次函数精品综合训练题

这是一份初中数学1.1 二次函数精品综合训练题，共18页。试卷主要包含了下列函数，已知原点是抛物线y=，已知二次函数等内容，欢迎下载使用。

第1章 二次函数（B卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（），面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为（    ）
A． B． C．y=（12-x）x D．
3．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
4．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ）
A． B． C． D．
5．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
6．如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ）

A．的最大值是4 B．当时，函数值
C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称
7．不论x为何值，函数的值恒大于0的条件是( )
A．， B．; C．; D．
8．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为　　

A． B． C． D．
9．已知二次函数（h为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为0，则的值为（    ）
A．和 B．和 C．和 D．和
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（　　）
  
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④

评卷人
得分



二、填空题
11．把二次函数用配方法化成的形式是 ；该二次函数图像的顶点坐标是
12．已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是 ．（用“＜”连接）
13．关于的二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式： ．
14．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为 .
15．小敏在今年的校运会比赛中跳出了满意一跳，函数，可以描述他跳跃时重心高度的变化．则他跳起后到重心最高时所用的时间是 ．
16．如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（−1，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+n

评卷人
得分



三、解答题
17．已知二次函数的图象与轴交于，两点，点在点的左边，交轴于点．
(1)求点，，C三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式．
18．已知二次函数．
(1)完成下表，并平面直角坐标系中画出这个函数的图象；


　　
　　
　　
　　
　　



　　
　　
　　
　　
　　

(2)结合图象回答：
①当时，随的增大而 　 　；（填“增大或减小）
②当时，自变量的取值范围是 　 　．

19．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件.如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元.
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
20．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
……
﹣1
0
1
2
……
y
……
0
﹣2
﹣2
n
……
(1)直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
(2)点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
21．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．

(1)求图2中所确定抛物线的解析式；
(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？
22．如图，正方形的顶点在边长为的正方形的边上，若，正方形的面积为．

(1)求出与之间的函数关系式；
(2)正方形有没有最小面积？若有，试确定点位置；若没有，说明理由．
23．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）．
(1)若，当时，．求y的函数表达式．
(2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
(3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证．

参考答案：
1．C
【分析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.
【详解】解：①是二次函数，正确；
②不是二次函数，错误；
③整理得，是二次函数，正确；
④整理得，是二次函数，正确；
∴一共有3个二次函数；
故选择：C.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.
2．C
【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式．
【详解】∵长方形的周长为24cm,其中一边为x(其中x>0)，
∴长方形的另一边长为12−x，
∴y=(12−x)⋅x.
故选C.
【点睛】本题考查二次函数的关系式，解题的关键是掌握长方形的面积公式.
3．C
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
4．D
【分析】根据二次函数开口大小和方向与a的关系，易分析得出答案．
【详解】解：当时，、、的图象上的对应点分别是，，，
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
在第一象限内，的对应点在上，的对应点在下，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
5．C
【分析】由于原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，则m+1＞0，由此可以确定m的范围．
【详解】∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，
∴m+1＞0，
即m＞-1．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键．
6．B
【分析】观察二次函数图象，发现：开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为．
【详解】解：A．，
二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，正确，不合题意；
B．二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点，
二次函数与轴的另一个交点为．
当时，函数值，即不正确，符合题意．
C．当时，随的增大而增大，正确，不合题意；
D．二次函数的对称轴为，
函数的图象关于直线对称，正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，运用数形相结合的思想，能够从图形中获取有用信息是解题的关键．
7．B
【详解】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；

∴a＞0且△＜0．
故选B．
8．C
【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．
【详解】解：依题意，设点坐标为，
代入抛物线方程得：，
即水面到桥拱顶点的距离为16米．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键．
9．A
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最大值1、x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤4时，函数的最大值为0，可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0；②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，分别列出关于h的方程求解即可．
【详解】∵x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0，
可得：-（1-h）2+4=0，
解得：h=－1或h=3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，
可得：-（4-h）2+4=0，
解得：h=2（舍）或h=6．
综上，h的值为－1或6，
故选A．
【点睛】考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
10．A
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0,根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,则可对②进行判断:根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0,则abc＜0,于是可对①进行判断,由于x＝2时,y＞0,则得到4a+2b+c＞0,则可对③进行判断,通过点（﹣5,y1）和点（3,y2）离对称轴的远近对④进行判断．
【详解】解:∵抛物线开口向上,
∴a＞0,
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1,
∴b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c＜0,
∴abc＜0,所以①正确;
∵x＝2时,y＞0,
∴4a+2b+c＞0,所以③错误;
∵点（﹣5,y1）离对称轴的距离与点（3,y2）离对称轴的距离相等,
∴y1＝y2,所以④不正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.
11． （-2，4）
【详解】解：原二次函数配方后得：，顶点坐标为：（-2，4），
故答案为：，（-2，4）．
12．y1＜y2＜y3．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝0，然后比较三个点离对称轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
【详解】∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣1（a＞0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，开口向上，
∵A（﹣1，y1）、B（，y2）、C（2，y3），
∴点C离对称轴最远，点A离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为y1＜y2＜y3．
【点睛】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
13．（答案不唯一）
【分析】由二次函数的性质可得，二次函数与y轴的交点为(0，c)，c>0时，二次函数与y轴的交点在x轴的上方，进而求解即可．
【详解】解：关于的二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数与y轴的交点为(0，c)，c>0时，二次函数与y轴的交点在x轴的上方，c<0时，二次函数与y轴的交点在x轴的下方是解题的关键．
14．
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
【详解】二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键.
15．
【详解】解：h=3.5t-4.9t2=-4.9（t-）2+，

∵-4.9＜0
∴当t=时，h最大．
故答案为：．
16．-1＜x＜5
【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集．
【详解】解：∵直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（5，q）两点，
∴关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c解集是-1＜x＜5
故答案为：-1＜x＜5．
【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．
17．(1)A（3，0），B（1，0），C（0，3）
(2)

【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标的性质，分别令x、y为0，计算即可得到答案；
（2）使用待定系数法，将两点坐标代入函数表达式，计算即可得到答案；
【详解】（1）解：令，则，
解得：，，
∴A（-3，0），B（1，0）
令，则，
C（0，3）；
（2）解：设直线的解析式为，
把A，C坐标代入，
则，
解得：，
直线的函数表达式为
【点睛】本题考查了函数图像与坐标轴的交点和求函数的表达式，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
18．(1)见解析；
(2)①减小；②．

【分析】（1）确定x的取值范围为任意实数，因此取x＝−2，−1，0，1，2时，计算出y的值，然后画图象即可；
（2）①根据图象可得x＜1时，y随x的增大而减小；②y≤0时，图象在x轴下方，进而可得答案．
【详解】（1）解：表格和图象如下：




0
1
2



8
3
0

0

（2）①当时，随的增大而减小，
故答案为：减小；
②当时，自变量的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了画二次函数图象，看二次函数图象，关键是正确确定x的值，画出二次函数图象．
19．（1）y==-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元.
【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
【详解】解：（1）y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵-10＜0，
∴当x==4时，y最大=1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元.
【点睛】本题考查了二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．
20．(1)n=0，y=x2-x-2
(2)能，3或-2

【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得n的值，利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）先根据二次函数的性质判断，然后把y=4代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得m的值．
【详解】（1）解：根据图表可知：
二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（0，-2），（1，-2），
∴对称轴为直线x=，c=-2，
∵（-1，0）的对称点为（2，0），
∴n=0，
设y=ax2+bx-2，
将（-1，0）和（1，-2）代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y=x2-x-2．
（2）点Q能在该函数图象上，
把y=4代入y=x2-x-2，得x2-x-2=4．
解得x=3或x=-2，
∴m的值是3或-2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21．(1)；
(2)6．

【分析】（1）设，当x=2时，，代入即可得到答案；
（2）设（1≤x≤3），把（1，0），（2，40）分别代入，求得，当x=3时，，，设需要开放m个普通售票窗口，所以80m+90×5≥900，解得m≥，因为m取整数，所以m≥6．
【详解】（1）设，
当x=2时，，
把（2，40）代入，
4a=40，解得：a=10，
∴；
（2）设（1≤x≤3），
把（1，0），（2，40）分别代入得：，
解得：，
∴，
当x=3时，，，
设需要开放m个普通售票窗口，
∴80m+90×5≥900，
∴m≥，
∴m取整数，
∴m≥6．
答：至少需要开放6个普通售票窗口．

22．(1)
(2)有最小面积，此时为中点

【分析】（1）先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后利用正方形的面积公式即可得；
（2）利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
正方形的边长为，，正方形的面积为，
，，，
在中，，
．
（2）解：由（1）可知，，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最小值，
所以正方形有最小面积，此时点为中点．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、二次函数的应用，熟练掌握正方形和二次函数的性质是解题关键．
23．(1)y＝x2−x＋2
(2)（−1，0）
(3)见解析

【分析】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝−1，y＝4代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到4a＋2b＋2＝2a＋4b，整理得b＝a＋1，则a2＋b2＝2a2＋2a＋1＝2（a＋）2＋，根据二次函数的性质即可得到a2＋b2≥．
【详解】（1）解：把a＝1代入得，y＝x2＋bx＋2，
∵当x＝−1时，y＝4，
∴4＝1−b＋2，
∴b＝−1，
∴二次函数的关系式为y＝x2−x＋2；
（2）解：令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0，
当Δ＝0时，则b2−8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2＋4x＋2＝2（x＋1）2，
∴此函数的顶点坐标为（−1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象和直线y＝ax＋4b都经过点（2，m），
∴4a＋2b＋2＝2a＋4b，
∴2a＋2＝2b，
∴b＝a＋1，
∴a2＋b2
＝a2＋（a＋1）2
＝2a2＋2a＋1
＝2（a＋）2＋，
∴a2＋b2≥．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a＋1；（3）熟知二次函数的性质．