【期中真题】2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题12 反比例函数图象与性质（六大题型）.zip

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专题12 反比例函数的图象与性质




反比例函数的定义
1．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】解：A.是正比例函数，故A不符合题意；
B.是二次函数，故B不符合题意；
C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D.不是x的反比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．
2．（2018秋·河南郑州·九年级校考期中）已知点在双曲线上，则下列哪个点也在此双曲线上　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．
【详解】解：解：点在双曲线上，
，
只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上．
A、因为，所以该点不在双曲线上故A选项错误；
B、因为　　　　，所以该点不在双曲线上故B选项错误；
C、因为，所以该点在双曲线上故C选项正确；
D、因为，所以该点不在双曲线上故D选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3．（2021秋·湖南娄底·九年级娄底一中校考期中）当 时，函数是反比例函数．
【答案】1
【分析】根据反比例函数的定义，可得 ，且 ，解出即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴ ，且 ，
解得： ，
∴当时，函数是反比例函数．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握形如 的形式的表达式称 是 的反比例函数是解题的关键．
4．（2022秋·山东淄博·九年级校考期中）观查反比例函数的图象，当时，x的取值范围是 ．
【答案】x＜﹣1或x＞0/x＞0或x＜-1
【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即可．
【详解】解：∵k＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴y=-2时，，
解得x=-1，

∴当y＞-2时x＜﹣1或x＞0，
故答案为x＜﹣1或x＞0．
【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键．
5.（2022秋·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数的图像经过点．
(1)求的值；
(2)当且时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)当且时，或

【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解；
（2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由且即可求出图像位置，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴．
（2）解：反比例函数的图像如图所示，

当且时，在第二象限：或在第四象限：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键．
反比例函数系数k的几何意义
6．（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）如图，、是函数的图象上关于原点对称的任意两点，轴，轴，的面积记为，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，设与轴交于点，与轴交于点，首先根据反比例函数的比例系数的几何意义，得出，，再根据、两点关于原点对称，轴，轴，得出轴，，，轴，，进而得出，，再根据面积之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】解：连接，设与轴交于点，与轴交于点，
∵、是函数的图象上关于原点对称的任意两点，
∴，，
∵、两点关于原点对称，轴，轴，
∴轴，，，轴，，
∴，，
∴．

故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义、三角形的面积、关于原点对称的点的特征，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．
7.（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，得直角三角形，，，，并设其面积分别为，，，，则的值为 ．

【答案】/0.25
【分析】连接，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可．
【详解】解：连接，

∵点，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴，
∴，
∵，
∴，，．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键．
8．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图像上，点B、C的坐标分别是和．．且的面积为4，则k的值为 ．
  
【答案】
【分析】根据，求出即可求解比例系数．
【详解】解：如图：
  
∵点B、C的坐标分别是和，，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图形面积求比例系数．作出正确的图形是解题关键．
9.（2022春·广东河源·九年级校考期中）如图， 已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．

(1)该函数图象的另一分支位于第_____象限，m的取值范围是____________；
(2)已知点A在反比例函数图象上，轴于点B，的面积为3，求m的值．
【答案】(1)三，
(2)

【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；
（2）设，则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．
【详解】（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，
且，
则；
（2）设
∵点A在第一象限轴于点B


【点睛】本题考查了反比例函数的性质及图象，根据图象得出的面积是解题的关键．
反比例函数的图象
10．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据各项中图像的位置判断k的符号是否相同，由此进行判断．
【详解】解：A、中k>0，中k<0，故不符合题意；
B、中k<0，中k＜0，故符合题意；
C、中k<0，中k>0，故不符合题意；
D、中k<0且与y轴交于正半轴，中k<0，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键．
11．（2018秋·江苏南通·九年级校联考期中）若M（﹣4，y1）、N（﹣2，y2）、H（2，y3）三点都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
【答案】B
【分析】先把三个点的坐标代入反比例函数解析式可分别计算出y1、y2、y3，然后比较它们的大小．
【详解】把M（-4，y1）、N（-2，y2）、H（2，y3）分别代入y=得y1=-，y2=-，y3=，
∵k＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选B．
【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
12.（2019秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，反比例函数与⊙O的一个交点为P（2，1），则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】
【分析】根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点P的坐标为（2，1），即可求出圆的半径．
【详解】解：∵圆和反比例函数一个交点P的坐标为（2，1），
∴可知圆的半径r＝，
∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
∴图中两个阴影面积的和是圆的面积，
∴S阴影＝＝．
故答案为．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
13.（2020秋·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数(为常数，)；
(1)若点在这个函数的图象上，求的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解；
（2）根据这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，可知，进而求出的取值范围．
【详解】（1）∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得．
故答案是．
（2）在函数图象的每一分支上，随的增大而增大，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键．
反比例函数的图象的对称性
14．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：点A与关于原点对称，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．
15．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）关于反比例函数，下列结论不正确的是（  ）
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象关于原点成中心对称
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
【答案】B
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【详解】解：关于反比例函数，图象位于第一、三象限，图象关于原点成中心对称，
若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，则选项A，C，D都正确，不合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
16．（2020秋·北京西城·九年级北京市回民学校校考期中）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 .
【答案】0.
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，
∴k1=ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，-b）
∵点B在双曲线上，
∴k2=-ab；
∴k1+k2=ab+（-ab）=0；
故答案为0．
【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
反比例函数的性质
17．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知反比例函数，下列说法中错误的是（    ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线对称 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】依据反比例函数的性质以及图象进行判断，即可得到错误的选项．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴图象位于第二，四象限，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴图象必经过点，故A选项正确，不符合题意；
图象关于直线对称，故C选项正确，不符合题意；
∵反比例函数中，，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
18．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）关于某个函数表达式，甲，乙，丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征：
甲：函数图象经过点；
乙：函数的图象经过第四象限；
丙：当时，随的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】A.对于，当时，，而．故选项A不符合题意；
B.对于，当时，，而．故选项B不符合题意；
C.对于，一次项系数为，当时，随的增大而减小，故选项C不符合题意；
D.对于，当时，，而，满足题意，函数的图象经过第四象限，当时，随的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数和及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．
19．（2022春·广东韶关·九年级校考期中）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为 ．
【答案】0＜y≤3
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出x=2时y的值即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y中，k=6＞0，
∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵当x=2时，y=3，∴当x≥2时，0＜y≤3．
故答案为：0＜y≤3．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
20．（2021秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）已知点在反比例函数的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）将点代入反比例函数中，即可求出m；
（2）在第一象限中y随x的增大而减少，所以当时，y有最大值，当时，y有最小值，即可求出y的取值范围．
【详解】解：（1）将点代入反比例函数中，
得；
（2）∵在第一象限中y随x的增大而减少，
∴当时，，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了反比例的解析式及其图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
21．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知函数与．
(1)若y1过点（1，3），求y1，y2的解析式；
(2)在（1）的条件下，若1≤y2≤2，求出此时y1的取值范围；
(3)若y1的图象过一、二、四象限，判断y2的图象所在的象限．
【答案】(1)y1＝x+2；y2＝
(2)3≤y1≤4
(3)y3的图象过第一、三象限

【分析】（1）函数y1过点（1，3），将点代入y1解析式中即可得k值，可得y1，y2的解析式；
（2）由1≤y2≤2，求出自变量取值范围1≤x≤2，再根据y1的增减性确定y1的取值范围；
（3）由一次函数经过第一、二、四象限，可得不等式组，解不等式组即可得到k的范围，进而判断y2的图象所在的象限．
【详解】（1）把点（1，3）代入中，得：
3＝k+k+1，
解得：k＝1．
故y1＝x+2；＝．
（2）在（1）的条件下，若1≤y2≤2，
∵，1≤y2≤2
∴
解得：
∵y1＝x+2，
∴
（3）∵y1的图象过一、二、四象限
∴ ，
解得：-1＜k＜0．
∴0＜k+1＜1，
故y2的图象过第一、三象限．
【点睛】本题考查了一次函数性质、反比例函数的性质、函数解析式的求法及一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
反比例函数的解析式
22．（2023春·山西晋城·九年级统考期中）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（    ）
A．y的值随x值的增大而减小 B．图象位于第二、四象限
C．当时， D．点在图象上
【答案】D
【分析】将点代入中，求出表达式，逐一判断即可；
【详解】解：将点代入中，
得：，
所以，反比例函数表达式为：，
，
图象位于第一、三象限，B错误，不符合题意；
在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，A错误，不符合题意；
当时，图象位于第一象限，，C错误，不符合题意；
将带入中成立，D正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟悉反比例函数的性质是解题关键．
23．（2023春·陕西西安·九年级校考期中）已知点，关于轴对称，若反比例函数图象过点，则这个反比例函数的表达式为 ．
【答案】/
【分析】根据轴对称性求出，进而得到点坐标，则问题可解．
【详解】解：∵点，关于轴对称，
∴，
∴点坐标为，
设过点的反比例函数的解析式为，
∴．
∴反比例函数的表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
24．（2015春·全国·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，点P到x轴的距离为3个单位长度，到原点O的距离为5个单位长度，则经过点P的反比例函数的解析式为 ．
【答案】或
【分析】根据题意确定出P的坐标，设反比例解析式为，将P坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为3个单位长度，
，
∵点P到原点O的距离为5个单位长度，，
点P到轴的距离，
∴P的坐标可能是：（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3），
设反比例解析式为，将P坐标分别代入得：k=12或k=-12，
则反比例解析式为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（2023春·广东云浮·九年级校考期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
  
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)或

【分析】（1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解；
（2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
所以反比例函数的解析式为，
将代入，得，
解得，
所以．
将，代入，
得，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）解：由图象可知，不等式的解集是或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．


一、单选题
1．（2020秋·山东烟台·九年级统考期中）下列式子中表示y是x的反比例函数的是(    )
A． B．y= C．y= D．y=
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义逐项分析即可．
【详解】A. ，y是x的一次函数，故不符合题意；
B. y=，y是x的正比例函数，故不符合题意；
C. ，y是x²的反比例函数，故不符合题意；
D. y=，y是x的反比例函数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．
2．（2018秋·山东济南·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把的P'(，)称为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y的图象上，若AB，则k的值为(　　)

A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】设点A（a，-2a+1），B（b，-2b+1）（a＜b），则A'(，)，B'(，)，由AB可得出b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．
【详解】设点A(a，﹣2a+1)，B(b，﹣2b+1)(a＜b)，则A'(，)，B'(，)．
∵AB(b﹣a)，
∴b﹣a=1，即b=a+1．
∵点A'，B'均在反比例函数y的图象上，
∴k••，
解得：k．
故选：A．
【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．
3．（2023春·福建漳州·九年级漳州实验中学校考期中）如图，点和都在反比例函数的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接、，若四边形的面积记作，面积记作，则（  ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象上点的坐标特征求出，，根据反比例函数比例系数k的几何意义求得，然后根据求得，即可求解．
【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上．
∴，
∴点，，
∵过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N．
∴，
如图，过点B作交的延长线于点K，

∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，分别求得、的值是解题的关键．
4．（2023春·广东中山·九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）已知一次函数（，为常数，）的图像如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图像大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数（，为常数，）的图像判定，确定图像分布，判断即可．
【详解】根据一次函数（，为常数，）的图像判定，
∴的图像分布在二四象限，反比例函数的图像分布在二四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k，m的关系是解题的关键．
5．（2021秋·湖南永州·九年级统考期中）规定：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程是倍根方程；②若关于x的方程是倍根方程，则；③若是倍根方程，则或：④若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程．上述结论中正确的有（    ）
A．①④ B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数的图象上，得到mn=2，然后解方程mx2-3x+n=0即可得到正确的结论；
【详解】解：①∵方程x2+2x-8=0的两个根是x1=-4，x2=2，则2×2≠-4，
∴方程x2+2x-8=0不是倍根方程，故①错误；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则2x1=x2，
∵x1+x2=-a，x1•x2=2，
∴2x12=2，解得x1=±1，
∴x2=±2，
∴a=±3，故②正确；
③解方程（x-3）（mx-n）=0得，x1=3，x2=，
若（x-3）（mx-n）=0是倍根方程，则=6或2×=3，
∴n=6m或3m=2n，故③错误；
④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，
∴mn=2，即n=，
∴关于x的方程为mx2-3x+=0，
解方程得x1=，x2=，
∴x2=2x1，
∴关于x的方程mx2-3x+n=0是倍根方程，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，点B在点A的右侧，过点B作y轴的垂线，垂足为C，若的面积为2，则点B的坐标为 ．

【答案】
【分析】把A点坐标代入可得k值，即可求出反比例函数的解析式，由BC⊥y轴可得的长，根据△ABC的面积为2可求出m的值，即可得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，解得，
∵，
∴，
∴点B的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法求反比例函数解析式，根据三角形面积得出m值是解题关键．
7．（2020秋·四川成都·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90〫，C（0，﹣2），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝上，且y轴平分∠ACB，若则k＝ ．

【答案】
【分析】作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝3AD和C（0，﹣2）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．
【详解】过A作AE⊥x轴，垂足为E，


∵C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵AC＝3AD，
∴
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO
∴△ADE∽△CDO，

∴AE＝1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE～△COD，
∴
设DE＝n，则BO＝OD＝2n，BE＝5n，
∴
∴n=
∴OE＝3n＝，
∴A（，1）
∴k＝×1＝．
故答案：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质和相似三角形的判定与性质.利用已知线段长度和相似三角形相似比可求出未知线段长度，进而求得点的坐标.
8．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为 ．

【答案】
【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，

，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，全等三角形的判定与性质，涉及到正方形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标．
9．（2021春·上海宝山·九年级统考期中）我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为 ．
【答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【分析】根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论．
【详解】解：设反比例函数y＝在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b，
∴ab＝10，
∵这两个点之间的距离为3，
∴AB＝＝3，
∴a﹣b＝3，
由解得或（舍去），
∴A（5，2），B（2，5），
∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2），
故答案为（5，2）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点．
三、解答题
10．（2022秋·广东佛山·九年级统考期中）如图，点A，B在函数（其中）的图象上，连接．取线段的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，交函数（其中）的图象于点D．小明运用几何知识得出结论：，．设点E，F的横坐标分别为，．

(1)①点G的横坐标为______．
②请你仔细观察函数（其中）的图象，并由此得出一个关于，，，之间数量关系的真命题：若，则______．
(2)请你说明在（1）中你提出的命题是真命题的理由；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
(3)，理由见解析

【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG=2CF，可得+；
（2）根据分式的加减计算，利用求差法比较大小即可；
（3）根据（2）的结论证明即可
【详解】（1）解：①都垂直于轴，

是的中点

是的中点
设点E，F的横坐标分别为，．

故答案为：
②点、、在上
，，，，，，
，，

+；
故答案为：
（2）证明：




（3）


【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例，分式的加减，分别表示出的长是解题的关键．
11．（2021秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期中）小明在学习过程中遇到一个函数，下面是小魏对其探究的结果，请补充完整：
将函数的解析式进行变形，得，即．
（1）当时，对于函数，随的增大而减小，且；对于函数，随的增大而___________，且的取值范围是__________；
（2）当时，函数的图象如图所示．

下表是函数，当时，与的几组对应值：

…
1
2
3
4
5
…

…
3
2



…
结合表格内的数据，在上面给定的坐标系内画出当时的函数的图象．
（3）综合上述图象和结论，猜想：函数的图象是由函数的图像向___________平移__________个单位后得到的；
（4）由以上猜想可知：函数（为常数）的图象的对称中心坐标为__________．
【答案】（1）减小，；（2）图象见详解；（3）上，1；（4）
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由表格结合五点描法可画出函数图象；
（3）根据函数图象的平移可直接进行求解；
（4）由题意可把函数变为，然后根据的对称中心为结合图象的平移可进行求解．
【详解】解：（1）由当时，对于函数，随的增大而减小，且；可知对于函数，随的增大而减小，且；
故答案为减小，；
（2）图象如下所示：

（3）综合上述图象和结论可知函数的图象是由函数的图像向上平移1个单位长度后得到；
故答案为：上，1；
（4）由题意可把函数变为，
∴函数是由函数向上平移2个单位长度所得到，
∵函数的对称中心为，
∴函数（为常数）的图象的对称中心坐标为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
12．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图所示，直线与反比例函数的图像交于点，，与坐标轴交于A、B两点．
  
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图像，当时，直接写出不等式的解集；
(3)将直线向下平移n个单位，若直线与反比例函数的图像有唯一交点，求n的值．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)当时，不等式的解集为或
(3)n的值为1

【分析】（1）把代入，求出，得到反比例函数的解析式，把点代入反比例函数解析式，求出，即，再将P、Q两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据P、Q两点的坐标以及两个函数的图象，即可得出结论；
（3）先根据平移的规律得出直线向下平移n个单位后直线的解析式，再根据此时它与反比例函数的图象有唯一交点，得出判别式，进而求解即可．
【详解】（1）把代入得：
∴反比例函数的解析式为
把点代入得：
解得
∴
把，分别代入得

解得：
∴一次函数的解析式为
（2）根据图像可得当时，不等式
当时，不等式
故当时，不等式的解集为或
（3）将直线向下平移n个单位后，直线的解析式为
∵直线与反比例函数有唯一交点，
∴方程有唯一解
整理得：
∴
解之得：，（舍去）．
∴n的值为1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何变换，利用数形结合与方程思想是解题的关键．