【期中真题】2023-2024学年八年级数学上册 期中真题分类汇编专题04 全等三角形模型训练（6类经典模型 优选提升）-试卷.zip

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专题04 全等三角形模型训练


一线三等角模型
1．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．
    
【答案】10
【分析】先证明，再证明，即可作答．
【详解】，
又，
，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．
2．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
  
(1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）①由，得，而于，于，则，根据等角的余角相等得到，证明；
②由，所以，，即可得到；
（2）根据等角的余角相等得到，证明，得到，，所以；
（3）、、具有的等量关系为：．证明的方法与（2）相同．
【详解】（1）①∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
②∵，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
∴；
（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：．
理由如下：∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴；∴，，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．
3．综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为： ；

(2)拓展应用：
如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标： ；
(3)迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系．

【答案】(1)
(2)
(3)①，理由见解析；②
【分析】（1）由全等得到边长关系即可．
（2）分别按照（1）中情形过A、B做出轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标．
（3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系．
②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系．
【详解】（1）由等腰直角得，，
又，


又，

，

（2）
过A、B作出轴垂线，，由（1）可得，，
又得，，，
，


（3）①


又，

，

②

与①中同理可得
分别取，中点，连接．
，
,
又



又，
在与中，

，

【点睛】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键．
手拉手模型
4．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．

(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证；
（2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；
（3）作于点于点，证明，由，即可得到结论．
【详解】（1）证明：、是等边三角形，
，
，
即，
≌；
（2）解：≌，
，
，
；
（3）证明：如图，作于点于点，

，
，
，，
，
，
，
平分．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．
(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．
  
(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．
  
(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．
  
(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
【答案】(1)90
(2)120
(3)
(4)或
【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数；
（2）由“”可证，得，可求的度数；
（3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；
（4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
（3），
理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（4）如图4，当点D在的延长线上时，，
  
证明方法同（3）；
如图5，当点D在的延长线上时，，
  
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
综上，或．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
6．如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
  
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
(3)面积的最大值为2
【分析】（1）由，可推出，又因点，，分别为，，的中点，所以且，同理，且，于是可推得；，，，故，得；
（2）由旋转性质得出，又因，，可证得与全等，参考（1）中的解题思路即可证出，，从而推出为等腰直角三角形；
（3）在旋转的过程中，由（2）中的结论知为等腰直角三角形，，当有最大值时，须有的值最大，由三角形三边关系可推断出当B、A、D三点共线时，BD的值最大．
【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，
∴，
∵点、、分别为、、的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴


，
故答案为：；；
（2）为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可知：，
又∵，，
，
，，
又、分别是、的中点，
是的中位线，
∴且，
同理，且，
，
，．
，，
，
为等腰直角三角形；
（3）由（1）（2）得，，
且为等腰直角三角形，
∵，即，∴，
∴，∴面积的最大值为2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，中位线的性质等知识点，熟练掌握手拉手模型证明全等是解本题的关键．
半角模型
7．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．

【答案】（1）；（2）．理由见解析．
【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是．
如图，延长至，使，连接，

∵，，即：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）结论：．
理由：在上截取，连接，

∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，则，
∴
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
即，
即，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．

思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝　 　度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至，

则F、D、在一条直线上，≌△ABE，
∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，
∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：45；
（2）解：DF＝BE+EF    理由如下：
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△，

∴△≌△ABE，
∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，
∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，
则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△中，
，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接，

则△≌△ABD，
∴CD'＝BD，
∴，
同（2）得：△ADE≌△（SAS），
∴，，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．
9．问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．

特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　 　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　．
【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4）
【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；
（2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC；
归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN；
拓展应用：
（3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC；
（4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论．
【详解】特例探究：
解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
归纳证明
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
拓展应用
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
旋转模型
10．已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．
  
(1)如图1，可得___________；若，则___________．
(2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示）
(3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案；
（2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案；
（3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，

∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
  
（2）∵，
∴，
在和中，

∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
  
（3）当交点F在线段上时，如图3，
∵，
∴，
在和中，

∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
  
当交点F在线段上时，如图4，
同理可得：；
  
当交点F在线段上时，如图5，
∵，
∴，
在和中，

∴（），
∴，
∵，
∴；
综上，或．
  
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
11．如图1，在等腰中，，，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．

（1）如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系，并说明理由．
（3）如图4，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系为______．

【答案】（1）图形见详解，BC=2BD；（2）BC=BD+BP，理由见详解；（3）BC =BD+BP
【分析】（1）先补全图形，再连接CD，可得是等边三角形，从而推出BC是PD的垂直平分线，进而即可得到结论；
（2）取BC的中点F，连接PF，推出是等腰直角三角形，从而得BF=BP，再证明，进而即可求解；
（3）由，可得BD=CF，从而得PF=BP=BF，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）补全图形如下：

BC=2BD，理由如下：
连接CD，
∵线段绕点顺时针旋转=60°得到，
∴CP=DP，∠CPD=60°，
∴是等边三角形，
∴∠CDP=∠DCP=60°，
∵点是线段的中点，∠A=60°，AB=AC，
∴是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=∠ACB=30°，
∴∠BCD=60°-30°=30°，
∴BC平分∠PCD，
∴BC是PD的垂直平分线，
∴BD=PB，即：BC=AB=2BD；
（2）取BC的中点F，连接PF，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴是等腰直角三角形，
∵P是AB的中点，F是BC的中点，
∴PF是的中位线，
∴PF∥AC，
∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴BF=BP，BP=PF，
∵∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠BPD=∠FPC，
又∵PD=PC，
∴，
∴BD=CF，
∵BC=BF+FC，
∴BC=BD+BP；

（3）同理第（2）题证明可知：，
∴BD=CF，
∵∠BAC=∠DPC=120°，PF∥AC，PF=AC，
又∵BP=AB，AB=AC，
∴PF=BP=BF，
∴BC=BF+CF=BD+BP．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
倍长中线模型
12．如图，，，，，点M为的中点，， ．

【答案】6
【分析】延长至N，使，连接，证明，推出，，求出，再证明即可．
【详解】证明：延长AM至N，使，连接，

∵点M为的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长至N，使，再证即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．
13．如图，中，于点，，点在上，，连接．

（1）求证：；
（2）延长交于点，连接，求的度数；
（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面积为21．
【分析】（1）由“SAS”可证△BDE≌△CDA，可得BE=CA；
（2）过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，由全等三角形的性质可得∠DBE=∠ACD，S△BDE=S△ADC，由面积关系可求DH=DG，由角平分线的性质可得∠DFG=∠DFH=45°，即可求解；
（3）在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，由△BEN≌△MCN，可得EN=CN，由三角形的面积公式可求解．
【详解】证明（1）在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=CA；
（2）如图2，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，

∵△BDE≌△CDA，
∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，
∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，
∴∠AFB=∠CFB=90°，
∵S△BDE=S△ADC，
∴，
∴DH=DG，
又∵DG⊥AC，DH⊥BF，
∴∠DFG=∠DFH=45°，
∴∠CFD=135°；
（3）如图3，在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，

由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，
∵CM⊥CA，
∴BF∥CM，
∴∠M=∠FBN，
∵CM=CA，
∴CM=BE，
在△BEN和△MCN中，，
∴△BEN≌△MCN（AAS），∴EN=CN，
∵EC=CD-DE=12-5=7，∴，
∴△NBC的面积，
故△NBC的面积为21．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
14．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：

(1)小明证明用到的判定定理是： (用字母表示)；
(2)的取值范围是 ；
(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定理解答；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系计算，得到答案；
（3）仿照（1）的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【详解】（1）解：在和中，

，
小明证明用到的判定定理是，
故答案为：；
（2）解：，
，
在中，，
，
；
（3）证明：延长到点E，使，连接，

在和中，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形三边关系，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
截长补短模型
15．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ．

【答案】/
【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．想办法证明，推出，推出即可解决问题．
【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．

∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，  
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．

(1)如图1，若，且，求的度数；
(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论；
（2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论
【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）结论：．
理由：如图2中，∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2中，延长到Q，使得，连接，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
延长到，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
17．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．
  
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论；
（2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）在四边形中，，
又∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
在中，．
（2）．
如图，作的平分线交于．则．
  
在和中，
，
．
∴．同理，．
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，
∴，
∵平分
∴，  
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

（2）证明：如图3，在上截取，使，连接

∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，  
∴，
∴，
∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，  
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分．

【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．

19．【初步探索】
  
(1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】(1)
(2)仍成立，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图1，延长到点，使，连接，
  
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点，使，连接，
  
，，
，
又，
，
，，
，，
，
；
（3）．
证明：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，
    
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
20．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系，并直接写出与的关系．

【答案】（1），；（2）见解析；（3），
【分析】（1）通过证明，得到，在中，根据三角形三边关系可得：，即，从而可得到中线的取值范围；
（2）延长至点，使，连接，通过证明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三边关系得：；
（3）延长于，使得，连接，延长交于，证明得到，证明得到，，在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到．
【详解】（1）解：如图1，延长至，使，连接，
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，根据三角形三边关系可得：，
即，
，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：如图2中，延长至点，使，连接，

点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3）解：结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，  
，
，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三家形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．
21．在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．

(1)如图1，当时，则______°；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．
【答案】(1)100；
(2)①时等边三角形，证明见解析；
②．证明见解析．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①时等边三角形，证明，即可；②结论：．如图，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）解：∵点为线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
（2）解：①结论：时等边三角形．
理由：∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴时等边三角形；
②结论：．
理由：如图，作点关于直线的对称点，连接，，．

∵
则，点在的延长线上时，的值最大，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．