【期中真题】2023-2024学年八年级数学上册 期中真题分类汇编专题06 轴对称常规题训练（7类经典题型 优选提升）-试卷.zip

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专题06 轴对称常规题训练


三轴对称图形
1．下列美术字中，从数学的角度可以看作是轴对称图形的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的美术字都能不找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列汽车标志中不是轴对称图形的是（    ）
A．  B．   C．   D．  
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．山西戏曲历史悠久、种类繁多，在我国戏曲舞台上占有重要地位．其中，晋剧经国务院批准被列入第一批国家非物质文化遗产名录．下列4个晋剧脸谱中，不是轴对称图形的是（    ）．
A．   B．  
C．   D．  
【答案】A
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得到答案．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
反射关系问题
4．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
【详解】根据直线的性质补全图2并作出法线，如下图所示：

根据图形可以看出是反射光线，
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法，根据轴对称的性质得相等的角是补全光线的关键．
5．光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 (    )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解．
【详解】解：如图：

由反射规律可知：，，，
又∵
∴，

即
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用．
6．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ．

【答案】
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．
【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，
∵是两面互相平行的平面镜，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．

折叠问题
7．如图，长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数是 ．
  
【答案】/58度
【分析】利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角进行计算，得到中除外的两个角度和，最后由三角形内角和得到．
【详解】解：长方形纸条，
∴，
，，
由折痕，得到，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，计算时综合其他角度计算是常考题，解题时须注意对应关系和复杂计算，找到对应关系和正确的计算是解题的关键．
8．在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为 ．
  
【答案】/度
【分析】根据折叠的性质得出，根据，得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵折叠
∴，
∴,
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
9．如图，把一张长方形的纸条沿折叠，若比多，则 °．

【答案】122
【分析】设，则，根据比多得到x与y的关系，再根据邻补角的性质得到联立二元一次方程组求解．
【详解】解：设，则，
∵比多，
∴，
∵，
可得，
故答案为：122．
【点睛】本题重点考查了邻补角的性质及折叠问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．
垂直平分线
10.如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长是20，，，则的周长为（    ）
  
A．4 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【分析】先根据的周长公式求得，再根据线段垂直平分线的性质得到，，根据的周长公式计算，即可得到答案．
【详解】解：∵的周长是20，
∴
∵，，
∴，
是线段的垂直平分线，
，
同理，，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（   ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接并延长，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出．
【详解】解：连接并延长，
    
点是、的垂直平分线的交点，
，，
，，
是的一个外角，
，
同理，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ．

【答案】/8厘米
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出．
【详解】解：∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键．
13．如图，在中，边的垂直平分线交于点E，边的垂直平分线交于点F，两条垂直平分线交于点P，连接，若，则的度数为 ．
  
【答案】/140度
【分析】利用线段垂直平分线的对称特性与平角的定义来求解．
【详解】作出顶点P周围各角的标签～．如下图，
  
∵点P是边、边垂直平分线的交点，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
即：．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、邻补角的定义、三角形内角和等知识点，解题的关键是善于把各个角之间的关系进行转化．

轴对称图形
14．如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，，可求得和的度数，根据图形折叠的性质，可求得和的度数，根据即可求得答案．
【详解】∵，，
∴，，．
∵和是分别沿着，边翻折形成的，
∴，．
∴，．
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，牢记轴对称图形的性质是解题的关键．
15．如图，直线，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线，m的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】连接，根据对称性，得到，利用三角形三边关系定理计算选择即可．
【详解】如图，连接，
根据对称性，得到，
∵，
∴，
故选A．

【点睛】本题考查了对称性，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性和三角形存在性是解题的关键．
16．如图，点P是内部一点，点，分别是点P关于，的对称点，且，则的周长为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长计算方法即可解答．
【详解】解：∵点，分别是点P关于，的对称点，
∴，
∴的周长，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点与对应点连线相等．
17．如图，点P关于的对称点是D，点P关于的对称点是C，若，则的度数是 ．
  
【答案】60°/60度
【分析】根据对称性得到，，利用的度数得到和，相加可得．
【详解】解：连接，
  ，
∵点P关于的对称点是D，点P关于的对称点是C，
∴，，
∴

，
又，
∴

．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是根据题意得出．
等腰三角形
18．若等腰三角形边长分别为和，则该等腰三角形的周长是（    ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为，只能为，然后即可求得等腰三角形的周长．
【详解】解：①为腰，为底时，；
②为底，为腰，
因为，不符合三角形的两边之和大于第三边，
所以应舍去．
故其周长是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
19．如图，的两个外角平分线与交于点，过点作交于点，交于点，且，．

    
(1)求证：点在的平分线上．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析；(2)2
【分析】（1）过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理，推理得，再根据角平分线的判定定理即可证点在的平分线上；
（2）连接，根据角平分线和平行线，推出，得，推出，得，最后根据计算即可．
【详解】（1）如下图，过点作于点，于点，于点，

的两个外角平分线与交于点，
，，
，
又，，
点在的平分线上
（2）如下图，连接，
  
则，
，
，（两直线平行，内错角相等）
，
，（在同一个三角形中，等角对等边）
又平分，
，
，
，（两直线平行，内错角相等）
，
，（在同一个三角形中，等角对等边）

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理、平行线、等腰三角形判定，熟练掌握相关定理、推理证明是解题的关键．
20．如图，在中，，．点D是上一点，以为边作，使，．连接并延长，过点A作的延长线于点F．
  
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求证：．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）先证四边形是正方形，可得，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，过点作于，
  
，
，
又，，
，
又，，
，
，
，，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．
  
(1)甲同学提出：______度；
(2)乙同学提出：的面积为：______；
(3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值；
(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由．
【答案】(1)
(2)25
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可；
（2）过点B作，交AC于点H，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据三角形面积公式求出即可；
（3）先证明，根据，得出，即，即可求出结果；
（4）连接，根据三角形的面积公式得出，，，根据，得出，即，即可求出结果．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：过点B作，交AC于点H，则：，
  
，，
，
；
（3）解：连接，如图所示：
  
，点D为边的中点，
平分，
，，
（角平分线的性质）；
∵，
，，

由（2）知，
，
；
（4）证明：连接，如图所示：
  
∵，，，
，，，
，，
，即：，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，准确计算．
等边三角形
22．如图，是等边三角形，若，，，则 °．
  
【答案】
【分析】由等边三角形性质得出，再由证得，得出，由三角形内角和定理求出，即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．【问题提出】在和中，，点在内部，直线与交于点，探究线段之间的数量关系．
  
【问题探究】
(1)先将问题特殊化．如图（1），当点重合时，写出一个等式表示之间的数量关系，并说明理由；
(2)再探究一般情形．如图（2），当点不重合时，（1）中的结论是否仍然成立，请证明．
【答案】(1)，见解析
(2)成立，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质可知，再根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据旋转的性质及全等三角形的性质可知，再根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：，理由如下：
在和中，
∵，
∴和是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即，，
即．
（2）证明：成立，理由如下：
如图（2），将绕，点C逆时针旋转交于点M，
  
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．如图1，在等边中，点D是边上的一点，连接，以为边作等边，连接．
  
(1)求证：；
(2)如图2，过A，D，E三点分别作于点F，于点M，于点N．求证：；
(3)如图3，，垂足为点F，若将点D改为线段上的一个动点，连接，以为边作等边，连接．当时，直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出，即证明，从而可由“”证明；
（2）由全等三角形的性质可得出，再根据，结合三角形面积公式可得出，即证明；
（3）连接，由全等三角形的性质可得出．再根据等边三角形的性质可得出，，即得出，最后根据垂线段最短即得当时，的值最小，此时．
【详解】（1）证明：∵，都是等边三角形，
∴，
∴．
在和中，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图
  
∵，
∴．
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴点E在射线上运动（），
∴当时，的值最小，此时，
即的最小值为．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．

25．如图，在四边形中，，，，连接，的面积为，点E是边边上一动点，点P在线段上，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】连接AC，CP，根据，，可得BD垂直平分AC，从而得到AP=CP，进而得到PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小，再根据△ABD≌△CBD，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，CP，

∵，，
∴BD垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴PA+PE=PC+PE≥CE，
即PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小，
∵，，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴，
∴，
∴，即PA+PE的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．如图，边长为4的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ．
  
【答案】1
【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，如图所示：
  
旋转角为，
，
又，
，
是等边的高线，
，
，
又旋转到，
，
在和中，
，
，
，
根据垂线段最短，当时，最短，此时即最短，
，，
在中，，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
27．如图，在平面直角坐标系中，，点B在y轴的正半轴上，点C在第二象限满足，，点D在x轴上在A的右边，若，，则点B的坐标为 ．
  
【答案】
【分析】在上取点E，使，延长交y轴与点F，证明可得，，再利用直角三角形的性质求得，结合三角形外角的性质可证明，设，可得，，即可得关于x的方程，计算可求解x值，即可求得的长，进而可求解B点坐标．
【详解】解：如图，在上取点E，使，延长交y轴与点F，
  
，，
，
，
，
在和中，，
，
∴，，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，
，，
解得，，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质的知识等综合运用，构造全等三角形是解题的关键．
28．如图1，在中，，，点P在线段上（不与点B、点C重合）运动，以为腰在上方作等腰直角，，于点E，且与交于点M．
  
(1)求证：；
(2)如图2，交于点N，连接，证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】由直角三角形的性质证出，根据可证明；
过点A作交于点，用证明，由全等三角形的性质证出，则可得出结论．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，

（2）证明：如下图，过点A作交于点，
  
在中，，，
，
又，，
，
，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．