【期中真题】河北省石家庄二中2021-2022学年高一上学期期中数学试题.zip

石家庄二中教育集团2021-2022学年度高一年级上学期

期中考试数学试卷

（时间：120分钟    分值：150分

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用集合的交集、补集运算,即可求解.

【详解】解：，,

故选:A

2. 命题“，都有”的否定是（    ）

A. ，使得 B. ，都有

C. ，使得 D. ，使得

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.

【详解】因为命题“”全称命题，

所以其否定为特称命题“”.

故选：D

3. 已知，则“”是“”的（　　）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得出的范围，再由充分必要条件的定义得出结论即可.

【详解】由，得或，

所以“”是“或”的子集，

所以“”能推出“或”，

“或”不能推出“”，

所以“”是的充分不必要条件，

故选：A.

4. 下列说法中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】取特殊值可判断ABC不正确，由不等式性质可知D正确.

【详解】若，则不正确，故A错误；

若，则，故B不正确；

若，则，，故C不正确；

若，则，由不等式性质知成立，故D正确.

故选：D

5. 若不等式的解集为，则（    ）

A. 0 B. 2 C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系求得．

【详解】由题意，的解是，

所以，解得．．

故选：A．

6. 已知，，且，则的最小值是（    ）

A. 10 B. 15 C. 18 D. 23

【答案】C

【解析】

【分析】把已知式变形为，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】由x>0，y>0，且，得，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是18．

故选：C．

7. 已知实数，函数，若，则的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别讨论和时，，与的大小关系，进而可得与的表达式，解方程即可求解.

【详解】因为，

当时，，

此时等价于，

所以，解得：，不满足，舍去；

当时，，

此时等价于，

所以，解得：，符合题意，

综上可得：，

故选：A．

8. 已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意、，且，恒成立，则不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得知，函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，由此可得出该函数在上单调递减，，由可得出或，解出即可.

【详解】，所以，函数的图象关于直线对称，

该函数图象经过点，则，且有，

对任意、，且，恒成立，

可设，则，，即，

所以，函数在上单调递增，由此可得出该函数在上单调递减，

当时，即时，则有，

由于函数在上单调递减，由，得，此时；

当时，即时，则有，

由于函数在上单调递增，由，得，此时.

综上所述，不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】本题考查函数不等式的解法，同时也涉及了单调性与对称性的应用，本题的关键就是要对的符号进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分（全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分）．

9. 对于任意的，下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据做差比较法可判断AB，取特殊值可判断C，根据不等式的性质可判断D.

【详解】因为，所以成立，故A正确；

因为，所以，即，故B正确；

当时，，故C不正确；

因为，所以，即，

所以，所以，故D正确.

故选：ABD

10. 已知定义在上的偶函数是上的减函数，若，则实数的可能取值为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用函数为偶函数，可得，且在上的减函数，可得解不等式即可求解.

【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以，

所以不等式等价于

因为是上的减函数，故，

即，可得，即

解得：，

结合选项可得实数的可能取值为：或，

故选：BD.

11. 关于函数的性质描述，正确的是 （    ）

A. 的定义域为

B. 的值域为

C. 在定义域上是增函数

D. 的图象关于轴对称

【答案】AB

【解析】

【分析】

先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解.

【详解】对于A中，由，解得即为函数的定义域，故A正确；

对于B中，由定义域可化简函数得，

当时，；当时，，所以，故B正确；

对于C中，因为，所以函数不是增函数，故C错误；

对于D中，因为定义域关于原点对称，且对任意，，所以函数是奇函数，故 D 错误，

故选：AB.

12. 设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（    ）

A. 函数为偶函数 B. 不等式的解集为

C. 当时， D. 当时，

【答案】AC

【解析】

【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD．

【详解】作出函数的图象，如图实线部分．

由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确；

，再计算得，解集为，B错；

时，即为，即，成立

时，即为，即，成立，

时，即，即，成立，

时，，，由在上递增，得成立．

C正确；

由B选项知时，，成立，

时，，，不等式为，，不成立．D错误．

故选：AC．

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数解析式求得.

【详解】由2x＋1＝3得x＝1，

∴f(3)＝1－2＝－1.

故答案为：

14. 若，则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】

【分析】作出不等式组所表示的平面区域，设，即，结合斜率公式，即可求解.

【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

可得，

设，即，表示可行域内点与原点连线的斜率，

当取点时，可得，即的最小值为；

当取点时，可得，即的最大值为，

即的取值范围是.

故答案为：.

15. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果.

【详解】因为，

所以，由得，

因为关于的不等式在区间(0，2]上有解，

所以只需小于等于的最大值，

又，当且仅当时，等号成立，

所以，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

16. 已知函数，若对于任意的实数和，当，时，都有成立，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】原问题可转化为，再根据与区间分类讨论，求出对应范围内，,建立不等式求解即可.

【详解】因为，时，都有成立，

所以，

当，则，

所以，

此时，

当时，最大值必为与中较大者，

当时，最大值为

因为，所以，

而当时，，所以

所以只需，解得，而，

故

当时，，

所以，

此时，当或时，，

所以只需，

解得，

由，故

当时，，

所以，

此时，函数在上递减，当时，，

所以只需，

解得，又，

故无解.

综上，

故答案：

四、解答题：共70分．（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设全集，集合．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出B，进而根据交并补的定义即可解得答案；

（2）根据“”是“”的必要条件，进而确定出两个集合的端点位置，最后解得答案.

【小问1详解】

时，，则，

或，所以.

【小问2详解】

因为“”是“”的必要条件，则，所以.

18. 已知函数．

（1）若，解不等式：；

（2）若，解关于x不等式：．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）当时，不等式化为，由此可求得不等式的解集；

（2）原不等式等价于，分，，讨论求解可得不等式的解集.

【小问1详解】

解：当时，，不等式化为，即，即，

解得，所以不等式的解集为：.

【小问2详解】

解：因为，所以不等式化为，即，即，

所以，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（l）求函数的解析式；

（2）求关于的不等式的解集.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用奇函数的性质得出，设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在区间上的解析式，综合可得出函数的解析式；

（2）作出函数的图象，可知函数是定义在区间上的减函数，由可得出，然后利用函数的单调性和定义域列出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，满足.

设，则，所以，，

此时，.

综上所述，；

（2）作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数在定义域上既为奇函数，又为减函数，

由可得，

所以，解得或，

因此，关于的不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性与单调性解不等式，考查运算求解能力，属于中等题.

20. 受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．

（1）写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：

方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；

方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．

请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．

【答案】（1），从第3年开始盈利.   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由题意写出关于的函数式，由求得的范围，再由，即可得答案；

（2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论．

【小问1详解】

由题意得：．

由，得，即，

解得．

由于，故设备企业从第3年开始盈利；

【小问2详解】

方案一：总盈利额，当时．

故方案一总利润，此时；

方案二：每年平均利润，当且仅当时等号成立．

故方案二总利润，此时．

比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．

21. 已知关于x不等式的解集为M．

（1）当M为空集时，求的最小值；

（2）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围．

【答案】（1）4    （2）

【解析】

【分析】（1）根据M为空集，利用判别式法求得m的范围，然后由，利用基本不等式求解；

（2）根据M不为空集，由，利用根的分布求解.

【小问1详解】

解：因为M为空集，

所以，

即，

解得，

所以实数m的取值范围是，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值是4；

【小问2详解】

当M不为空集，由，

得：，即，

解得，

所以实数m的取值范围是．

22. 已知函数为定义在的奇函数，且满足．

（1）求函数的解析式；

（2）判断的单调性，并利用定义加以证明；

（3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）增函数，证明见解析   

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据，求出，，再检验是否满足奇函数的定义即得解；

（2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；

（3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解.

【小问1详解】

因为函数是定义在上的奇函数，

可得，即，解得：，

又因为，所以，

综上所述，，所以，

因为定义域关于原点对称，

所以，

所以为定义在的奇函数，

所以.

【小问2详解】

函数在为单调递增函数，证明如下：

任取，则

因为，所以，，

可得，即，

故在上为增函数.

【小问3详解】

由（2）可知，函数在区间上单调递增，则，

由于对恒成立，则，

即对任意的恒成立，

构造函数，其中，所以，即，

解得：或或，

所以实数的取值范围是.