【期中真题】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高一上学期期中数学试题.zip

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哈三中2021-2022学年度上学期高一学年第一模块考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列关系正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用集合与集合之间的关系以及元素与集合之间的关系即可求解.【详解】A，，错误；B，，正确；C，与没有包含关系，错误；D，为无理数，所以，错误.故选：B2. 函数的定义域为，则的定义域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】令，进而解出即可得到答案.【详解】令.故选：A.3. 设，，，则，，的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数，的单调性比较大小即可【详解】解：因为函数在区间上单调递增，所以，即，因为函数在上单调递减，所以，即，所以故选：D4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据解析式依次判断即可得出.【详解】对A，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；对B，根据幂函数的性质可得是偶函数又在上单调递增，故B正确；对C，不是偶函数，故C错误；对D，当时，单调递减，故D错误.故选：B.5. 函数的值域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解．【详解】解：令，当时，，又，所以，，即所以，故选：D．6. 函数的图象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，进而确定正确选项.【详解】当时，，所以排除A，D，当时，，所以排除B，故选：C7. 有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（    ）A. 50 B. 53 C. 60 D. 66【答案】A【解析】【分析】根据题意得，进而根据指数方程求解即可得答案.【详解】解：因为，所以，整理得所以，由于为非零常数，所以.故选：A8. 若函数图象上存在不同的两点，关于轴对称，则称点对是函数的一对“黄金点对”（注：点对与可看作同一对“黄金点对”）.已知函数则此函数的“黄金点对”有（    ）A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对【答案】D【解析】【分析】设出，结合已知条件对分类讨论，将问题转化成函数的交点问题即可求解.【详解】由题意，不妨设，且，①当时，，即为与在的交点的横坐标，如下图：故此函数在的“黄金点对”有2对；②当时，，为与在的交点的横坐标，如下图：故此函数在的“黄金点对”有1对，综上所述，此函数的“黄金点对”有3对.故选：D（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列函数是指数函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】根据指数函数的概念依次判断即可得答案.【详解】解：根据指数函数的定义，形如（且）的函数，其系数为，故A选项不满足形式；B选项的指数为；C选项，满足；D选项满足.故选：CD10. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ）A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为0C. 函数图象与轴有无数个交点 D. 函数是增函数【答案】BC【解析】【分析】根据题意,画出函数的图像,根据图像分析函数的性质即可.【详解】解：根据符号的意义,讨论当自变量取不同范围时函数的解析式：当时,,则当时,,则当时,,则当时,,则画出函数图像如下图所示：从图像可知,函数最高点处取不到,所以A错误；函数图像最低点处函数值为0,所以B正确；函数图象与轴有无数个交点，所以C正确函数在特定区间内为增函数,在整个定义域内没有增减性,所以D错误故选：BC11. 设函数，，，下列函数说法正确的是（    ）A. 在区间上为增函数 B. 的图象关于点成中心对称C. 的图象关于轴成轴对称 D. 的值域为【答案】ABC【解析】【分析】写出解析式，根据指数函数的性质可判断A；利用可判断B；利用函数为偶函数可判断C；利用指数函数的性质以及基本不等式可判断D.【详解】A，由题意可得，因为在区间上单调递增，所以在区间上为增函数，A正确；B，，所以的图象关于点成中心对称，故B正确；C，，，即，的图象关于轴成轴对称，故C正确；D，，，，当且仅当，即时取等号，所以，的值域为 ，故D错误.故选：ABC12. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】AD【解析】【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可.【详解】令①，当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，当时，不等式可整理为，解得，故，所以不等式①的解为；由上可得，不等式的解为或，所以，令，解得，令，解得或，令，解得或，令，解得或，所以区间的最小长度为1，最大长度为.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）13. 已知函数，则函数的解析式为______.【答案】，【解析】【分析】根据凑配法求解函数解析式即可.【详解】解：因为，所以，因为，所以，故答案为：，14. 函数的增区间为______.【答案】##【解析】【分析】令，则，再根据复合函数的单调性可得出答案.【详解】令，则，二次函数的性质可得 的减区间为，所以函数的增区间为故答案为：.15. 若正数、满足，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意得，进而利用基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为正数、满足，所以，且 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：16. 已知函数为偶函数，若，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【详解】因为函数为偶函数，所以，可得 ，经检验满足题意，且易得在上递减，又因为,，且，所以，解得 ，即实数的取值范围是，故答案为.三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17. 计算下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】(1)利用指数幂运算法则即可求解；(2)利用对数运算和换底公式即可求解；(3)利用指数幂的运算法则和对数运算即可求解.【小问1详解】由指数幂的运算可知，.【小问2详解】由对数运算可知，                                                .【小问3详解】由指数幂运算法则和对数运算法则可知，.18. 已知定义域为的奇函数，且时，.（1）求当时，函数的解析式；（2）求证：在上为增函数.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】(1)结合已知条件，首先求出当时，的解析式，然后结合奇函数性质求的解析式，最后利用奇函数定义求出即可；(2)结合已知条件，利用单调性定义证明即可.【小问1详解】由题意，当时，，①当时，则，故，又因为为奇函数，从而，故；②因为为奇函数，所以，即，综上所述，当时，.【小问2详解】不妨设、，且，，又因为，，，即，所以，即，从而在上为增函数.19. 已知全集，集合，集合.（1）求及；（2）若的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；.    （2）【解析】【分析】（1）由题知，，再根据集合关系求解即可；（2）根据题意得，再根据集合关系求解即可.【小问1详解】解：根据题意得，，所以，，所以【小问2详解】解：因为的解集为，所以或，因为是的充分条件，所以，所以或，解得或，所以实数的取值范围是20. 今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示.（1）试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产、两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金.（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金）【答案】（1）；.    （2）公司最大利润为9千万，此时生产芯片投入的资金为4千万.【解析】【分析】(1)结合已知条件和图像分别求解即可；(2)根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可.【小问1详解】(i)不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：，从而，故；(ii)、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式，由图像可知，的图像过点，即，解得，故所求函数关系式.【小问2详解】由题意可知，，由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值9.21. 设函数是定义在上的函数，并且满足下列三个条件：①对任意正数，，都有；②当时，；③.（1）求和的值；（2）如果不等式成立，求取值范围；（3）如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.【答案】（1）；    （2）    （3）【解析】【分析】（1）对于任意的，，，令，，，即可求得、的值； （2），根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．（3）把根据条件转化为，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．【小问1详解】因为对于正数，都有，令，即，则又，再令，，解得，令，则.【小问2详解】已知，，根据题干给出的条件有：，当，时，，即，于是等价于；当时，，取，且，则则令，代入等式得：，所以函数单调递减，，，解得：，所以的取值范围为.【小问3详解】同上理，不等式可化为且，得，此不等式有解，等价于，在的范围内，易知，故即为所求范围．22. 已知函数（为常数，且，）.请在下面三个函数：①，②，③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性.（1）请写出表达式，并求的值；（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（3）当为偶函数时，请讨论关于的方程解的个数.【答案】（1）答案见解析；    （2）    （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据所选条件，结合奇函数和偶函数的定义可得出的等式或表达式，可求得对应的实数的值；（2）由已知条件可得出，由参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围；（3）设，由参变量分离法得出，分析函数在区间上的单调性，由此可得出当在不同取值下方程的解的个数.【小问1详解】解：当时， ，定义域为，若函数为奇函数，则，故函数不能是奇函数，若函数为偶函数，则，由，可得，化简可得，则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；若选②，，则.若函数为奇函数，则，不合乎题意；若函数为偶函数，则，由，可得，整理可得，则不为常数，不合乎题意.选③，，，，当为奇函数，则，即，可得；当为偶函数，则，则，可得；【小问2详解】解：由（1）知，当为奇函数时，，，所以，由于函数在上为增函数，函数在为减函数，所以，函数在上增函数，则，若对于任意的，都有成立，所以，设，，任取、，且，即，则，，则，，可得，即，所以，函数在上为增函数，所以，，即.所以的取值范围是；【小问3详解】解：当为偶函数时，，，令，当且仅当时，等号成立，所以关于的方程解的个数等价于方程解的个数，所以，又在单调递增，所以.①当，此时方程无解；②当，存在唯一解，又因为为偶函数，不妨设，，因为，则，，所以，，，所以在单调递增，在单调递减，（i）当时，，此时方程有唯一解；（ii）当时，，此时方程有两个解；下证必要性：令，该函数的定义域为，，则为偶函数，在单调递增，，，所以在有一个零点，又因为函数是偶函数，则函数在也有一个零点，所以当，时原方程一共有两个解.【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.