【期中真题】天津市五校联考2022-2023学年高三上学期期中数学试题.zip
展开2022~2023学年度第一学期期中五校联考
高三数学试卷
出题学校:宝坻一中 静海一中
一、选择题(本题共9小题,每题5分,共45分)
1. 已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法即可.
【详解】由题知,,
则,
故选:C.
2. 数列的通项公式为,则“”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立,
即对任意恒成立,故,
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件,
故选:A
3. 函数(,且)的图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性和函数值的特点即可.
【详解】因为,所以
所以函数为奇函数,排除B,C
当时,,,所以
排除A
故选:D
4. 对任意实数a,b,c,d,命题:
①若,,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则;
其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】①当时,,故①错;
②当时,,故②错;
③若,则且,则,故③正确;
④若,则,故④错.
故选:B.
5. 已知,,,则( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数、正弦函数的性质比较大小即可.
【详解】,,,∴.
故选:B.
6. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合,利用诱导公式和二倍角公式即可求解
【详解】因,
所以,
所以,
故选:D
7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为( )
A. 63里 B. 126里 C. 192里 D. 228里
【答案】C
【解析】
【分析】由题意知,每天走的路程构成一个公比为等比数列,已知和求首项,代入公式即可得到.
【详解】由已知,设等比数列首项为,前n项和为, 公比为,,
则 ,等比数列首项.
故选:C.
8. 已知函数,现给出下列四个结论,其中正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为2
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位长度;所得图象对应的解析式为
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用三角恒等变换化简函数,再根据函数的性质依次判断选项
【详解】对于A和B,,
所以的最小正周期为,的最大值为1,故A错误,B错误,
对于C,当时,,
因为在上单调递增,所以函数在上单调递增,故C正确;
对于D,将函数的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数解析式为,故D不正确,
故选:C
9. 已知定义在R上的函数,若函数恰有2个零点,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点.利用图像法解.
【详解】因为函数恰有2个零点,
所以和有两个交点.
作出函数的图像如图所示:
因为时,和相交,所以只需和再有一个交点.
.
当时,若与相切,则有的判别式,此时.
当时,若与相切,则有的判别式,此时.
当时,若与相切,设切点为.
则有,解得:.
所以要使函数恰有2个零点,
只需或或,解得:
或或.
故选:D
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
二、填空题(本题共6小题,每题5分,共30分)
10. 设命题,.若为假命题,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知命题的否定为真命题,可得出,即可解得的取值范围.
【详解】命题的否定为:,,
由题意可知,命题的否定为真命题,所以,,解得.
故答案为:.
11. 设等差数列的前项和为,若,,若对任意的,恒成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式和前项公式列方程组即可.
【详解】由题知:等差数列的前项和为,
,,
,
,
,
,当或时,取得最小值,
,
.
故答案为:.
12. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,成等差数列,若,则b边的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用等差中项的性质得到,然后利用正弦定理和和差公式得到,然后利用余弦定理和基本不等式求最值即可.
【详解】由题意得,,又,所以,则,
因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为2.
故答案为:2.
13. 已知函数在上有且仅有2个零点,则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】令,解得,然后根据在上有且只有2个零点列不等式,解不等式即可.
【详解】令,则,解得,
因为在上有且只有2个零点,所以,解得.
故答案为:.
14. 已知函数,若正数a、b满足,则______,的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分析出函数为上的增函数且为奇函数,由已知条件可得出,将所求不等式变形得出,然后再利用基本不等式可求得结果.
【详解】函数的定义域为,
,故函数为奇函数,
因为函数、、、均为上的增函数,故函数为上的增函数,
由可得,,
可得,则,
所以,
.
当且仅当,时,等号成立,
所以,的最小值为.
故答案为:;.
15. 已知函数,若恰有2个零点,则实数a的值为______,若关于x的方程恰有4个不同实数根,则实数m的取值范围为______.
【答案】 ①. ; ②.
【解析】
【分析】先利用导数研的的图象,再作出的图象,恰有2个零点,则与有2个交点,数形结合即可得实数a的值;若关于x的方程恰有4个不同实数根,令,通过分析可得有2个不等根,且,,再数形结合即可建立的不等式组,即可求解
【详解】当时,则,,
令,解得,
所以当时,,单调递增,时,,单调递减,
再根据题意可作出图象如下:
若有2个零点,则与有2个交点,数形结合可知;
若关于x的方程恰有4个不同实数根,
令,则有两个不等实数根,
故,与都有2个交点或者与仅1个交点,与有3个交点;
当,与都有2个交点,根据图象可得,不满足,舍去;
当与仅1个交点,与有3个交点,则,,
当时,,解得,故,解得或,舍去;
故两个实数根的范围为,,
所以解得,
所以实数m的取值范围为,
故答案为:;
【点睛】关键点点睛:本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象,再通过图象得到与仅1个交点,与有3个交点,并通过分析得到,
三、解答题(本题共5小题,共75分)
16. 已知函数的最小正周期为.
(1)求的值和函数的单调递增区间;
(2)求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.
【答案】(1),;
(2),.
【解析】
【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简,然后利用正弦型函数的性质求和单调区间即可;
(2)利用整体代入法求对称轴和对称中心即可.
【小问1详解】
,
因为最小正周期为,所以,解得,
令,解得,
所以单调递增区间为.
【小问2详解】
令,解得,所以对称轴方程为;
令,解得,所以对称中心为.
17. 已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.
(1)求A;
(2)若,求的值;
(3)若的面积为,,求的周长.
【答案】(1);
(2);
(3)8.
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理进行边角互换,然后利用和差公式进行化简得到,即可得到;
(2)利用二倍角公式得到,,然后利用和差公式得到,最后代入即可;
(3)利用面积公式得到,利用余弦定理得到,两式结合可得,然后求周长即可.
【小问1详解】
根据正弦定理得,
,
∵,∴,则,
∵,∴.
【小问2详解】
∵,
∴,,,,
∴
.
【小问3详解】
∵面积为,且,
∴,整理得①,
根据余弦定理可得,②,
联立①②,可得,所以周长为8.
18. 已知函数在点处的切线斜率为4,且在处取得极值.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数恰有两个零点,求实数m取值范围.
【答案】(1)答案见详解
(2)或
【解析】
【分析】(1)根据题意,列出方程组求得,得到,进而求得函数的单调区间;
(2)由题意得到,利用导数求得函数的单调性与极值,列出不等式组,即可求解.
【小问1详解】
解:由题意,函数,可得,
因为函数在点处的切线斜率为4,
且在处取得极值,
可得,即,
解得, 所以,
可得,
令,解得或.
解,得或,即在区间上单调递增,在上单调递增;
解,得,即在上单调递减.
所以函数的单调递减区间是;单调递增区间是,.
【小问2详解】
解:由(1)得,,
则,由(1)知,
当或时,
当或时,,即;
当时,,即.
所以,函数在处取得极大值,在处取得极小值,
要使得有两个零点,则满足或,
即或,解得或,
所以的取值范围为或.
19. 已知数列是等差数列,其前n项和为,,;数列的前n项和为,.
(1)求数列,通项公式;
(2)求数列的前n项和;
(3)求证;.
【答案】(1),;
(2);
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)利用等差数列的通项公式和求和公式列方程,解得,即可得到,利用时,,得到数列为等比数列,然后求即可;
(2)根据(1)得到,然后利用裂项相消的方法求和即可;
(3)利用放缩的方法得到,然后用错位相减的方法求和,得到,即可证明.
【小问1详解】
设数列的公差为,则,解得,∴,
由①可得,当时,,则,
当时,②,
①②相减得,,整理得,所以数列为等比数列,.
【小问2详解】
由(1)可得,,
所以
.
【小问3详解】
由(1)可得,,又,
∴,
设,则,
两式相减得,
,
∴,
∴.
20. 已知函数,.
(1)当时,若曲线与直线相切,求k的值;
(2)当时,证明:;
(3)若对任意,不等式恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1);
(2)证明见解析; (3).
【解析】
【分析】(1)设切点坐标为,然后利用导数的几何意义列方程,解方程即可得到;
(2)证明即证明,然后求导,利用单调性求最值,即可证明;
(3)将不等式转化为,然后构造函数,根据的单调性得到恒成立,即,构造函数,根据的单调性得到,然后代入解不等式即可.
【小问1详解】
当时,,则,
设切点坐标为,则,解得,
所以.
【小问2详解】
当时,,定义域为,,
令,则,当时,,则在上单调递增,
又,所以当时,,时,,所以在上单调递减,上单调递增,
所以,则.
【小问3详解】
由题可知,,则不等式恒成立,
即,
即,
即,
即在上恒成立,
令,易知在上单调递增,
所以在上恒成立,即,
令,则,当时,,当时,,所以在上单调递减,上单调递增,
则,所以,解得,
所以的取值范围为.
【点睛】对于恒成立问题,常用到以下两个结论:
(1)恒成立⇔;
(2)恒成立⇔.
【期中真题】陕西省西安市32校联考2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题.zip: 这是一份【期中真题】陕西省西安市32校联考2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题.zip,文件包含期中真题陕西省西安市32校联考2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题原卷版docx、期中真题陕西省西安市32校联考2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共18页, 欢迎下载使用。
【期中真题】贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题(A).zip: 这是一份【期中真题】贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题(A).zip,文件包含期中真题贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题A原卷版docx、期中真题贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题A解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。
【期中真题】湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题.zip: 这是一份【期中真题】湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题.zip,文件包含期中真题湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题原卷版docx、期中真题湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共31页, 欢迎下载使用。