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    20222023学年度第一学期期中五校联考

    高三数学试卷

    出题学校:宝坻一中  静海一中

    一、选择题(本题共9小题,每题5分,共45分)

    1. 已知全集,集合,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】利用列举法即可.

    【详解】由题知

    故选:C.

    2. 数列的通项公式为,则为递增数列的(   

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

    C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可

    【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立,

    对任意恒成立,故

    所以为递增数列的充分不必要条件,

    故选:A

    3. 函数,且)的图像大致为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用奇偶性和函数值的特点即可.

    【详解】因为,所以

    所以函数为奇函数,排除B,C

    时,,所以

    排除A

    故选:D

    4. 对任意实数abcd,命题:

    ①若,则   

    ②若,则

    ③若,则   

    ④若,则

    其中真命题的个数是(   

    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据不等式的性质判断即可.

    【详解】①当时,,故①错;

    ②当时,,故②错;

    ③若,则,则,故③正确;

    ④若,则,故④错.

    故选:B.

    5. 已知,则(   

    A  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】利用对数函数、指数函数、正弦函数的性质比较大小即可.

    【详解】,∴.

    故选:B.

    6. 已知,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】结合,利用诱导公式和二倍角公式即可求解

    【详解】

    所以

    所以

    故选:D

    7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为(   

    A. 63 B. 126 C. 192 D. 228

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由题意知,每天走的路程构成一个公比为等比数列,已知和求首项,代入公式即可得到.

    【详解】由已知,设等比数列首项为,前n项和为    公比为,

    ,等比数列首项.

    故选:C.

    8. 已知函数,现给出下列四个结论,其中正确的是(   

    A. 函数的最小正周期为

    B. 函数的最大值为2

    C. 函数上单调递增

    D. 将函数的图象向右平移个单位长度;所得图象对应的解析式为

    【答案】C

    【解析】

    【分析】首先利用三角恒等变换化简函数,再根据函数的性质依次判断选项

    【详解】对于AB

    所以的最小正周期为的最大值为1,故A错误,B错误,

    对于C,当时,

    因为上单调递增,所以函数上单调递增,故C正确;

    对于D,将函数的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数解析式为,故D不正确,

    故选:C

    9. 已知定义在R上的函数,若函数恰有2个零点,则实数m的取值范围为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】把函数恰有2个零点转化为有两个交点.利用图像法解.

    【详解】因为函数恰有2个零点,

    所以有两个交点.

    作出函数的图像如图所示:

    因为时,相交,所以只需再有一个交点.

     

    .

    时,若相切,则有的判别式,此时.

    时,若相切,则有的判别式,此时.

    时,若相切,设切点为.

    则有,解得:.

    所以要使函数恰有2个零点,

    只需,解得:

    .

    故选:D

    【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

    (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;

    (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;

    (3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.

    二、填空题(本题共6小题,每题5分,共30分)

    10. 设命题.为假命题,则实数的取值范围是______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】分析可知命题的否定为真命题,可得出,即可解得的取值范围.

    【详解】命题的否定为:

    由题意可知,命题的否定为真命题,所以,,解得.

    故答案为:.

    11. 设等差数列的前项和为,若,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】利用等差数列通项公式和前项公式列方程组即可.

    【详解】由题知:等差数列的前项和为

    ,当时,取得最小值

    .

    故答案为:.

    12. 中,角ABC所对的边分别为abc,且成等差数列,若,则b边的最小值为______.

    【答案】2

    【解析】

    【分析】利用等差中项的性质得到,然后利用正弦定理和和差公式得到,然后利用余弦定理和基本不等式求最值即可.

    【详解】由题意得,,又,所以,则

    因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为2.

    故答案为:2.

    13. 已知函数上有且仅有2个零点,则实数的取值范围为______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】,解得,然后根据上有且只有2个零点列不等式,解不等式即可.

    【详解】,则,解得

    因为上有且只有2个零点,所以,解得.

    故答案为:.

    14. 已知函数,若正数ab满足,则______的最小值为______.

    【答案】    ①.     ②.

    【解析】

    【分析】分析出函数上的增函数且为奇函数,由已知条件可得出,将所求不等式变形得出,然后再利用基本不等式可求得结果.

    【详解】函数的定义域为

    ,故函数为奇函数,

    因为函数均为上的增函数,故函数上的增函数,

    可得

    可得,则

    所以,

    .

    当且仅当时,等号成立,

    所以,的最小值为.

    故答案为:.

    15. 已知函数,若恰有2个零点,则实数a的值为______,若关于x的方程恰有4个不同实数根,则实数m的取值范围为______.

    【答案】    ①.     ②.

    【解析】

    【分析】先利用导数研的图象,再作出的图象,恰有2个零点,则2个交点,数形结合即可得实数a的值;若关于x的方程恰有4个不同实数根,令,通过分析可得2个不等根,,再数形结合即可建立的不等式组,即可求解

    【详解】,则

    ,解得

    所以当时,,单调递增,时,,单调递减,

    再根据题意可作出图象如下:

     

    2个零点,2个交点,数形结合可知;

    若关于x的方程恰有4个不同实数根,

    ,则有两个不等实数根

    都有2个交点或者1个交点,3个交点;

    都有2个交点,根据图象可得,不满足,舍去;

    1个交点,3个交点,则

    时,,解得,故,解得,舍去;

    两个实数根的范围为

    所以解得

    所以实数m的取值范围为

    故答案为:

    【点睛】关键点点睛:本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象,再通过图象得到1个交点,3个交点,并通过分析得到

    三、解答题(本题共5小题,共75分)

    16. 已知函数的最小正周期为.

    1的值和函数的单调递增区间;

    2求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.

    【答案】1   

    2.

    【解析】

    【分析】1)利用二倍角公式和辅助角公式化简,然后利用正弦型函数的性质求和单调区间即可;

    2)利用整体代入法求对称轴和对称中心即可.

    【小问1详解】

    因为最小正周期为,所以,解得

    ,解得

    所以单调递增区间为.

    【小问2详解】

    ,解得,所以对称轴方程为

    ,解得,所以对称中心为.

    17. 已知abc分别为三个内角ABC的对边,且.

    1A

    2,求的值;

    3的面积为,求的周长.

    【答案】1   

    2   

    38.

    【解析】

    【分析】1)利用正弦定理进行边角互换,然后利用和差公式进行化简得到,即可得到

    2)利用二倍角公式得到,然后利用和差公式得到,最后代入即可;

    3)利用面积公式得到,利用余弦定理得到,两式结合可得,然后求周长即可.

    【小问1详解】

    根据正弦定理得,

    ,∴,则

    ,∴.

    【小问2详解】

    ,

    .

    【小问3详解】

    面积为,且

    ,整理得①,

    根据余弦定理可得,②,

    联立①②,可得,所以周长为8.

    18. 已知函数在点处的切线斜率为4,且在处取得极值.

    1求函数的单调区间;

    2若函数恰有两个零点,求实数m取值范围.

    【答案】1答案见详解   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据题意,列出方程组求得,得到,进而求得函数的单调区间;

    2)由题意得到,利用导数求得函数的单调性与极值,列出不等式组,即可求解.

    【小问1详解】

    解:由题意,函数,可得

    因为函数在点处的切线斜率为4

    且在处取得极值,

    可得,即

    解得   所以

    可得

    ,解得

    ,得,即在区间上单调递增,在上单调递增;

    ,得,即上单调递减.

    所以函数的单调递减区间是;单调递增区间是

    【小问2详解】

    解:由(1)得,

    ,由(1)知,

    时,

    时,,即

    时,,即.

    所以,函数处取得极大值,在处取得极小值,

    要使得有两个零点,则满足

    ,解得

    所以的取值范围为

    19. 已知数列是等差数列,其前n项和为;数列的前n项和为.

    1求数列通项公式;

    2求数列的前n项和

    3求证;.

    【答案】1   

    2   

    3证明见解析.

    【解析】

    【分析】1)利用等差数列的通项公式和求和公式列方程,解得,即可得到,利用时,,得到数列为等比数列,然后求即可;

    2)根据(1)得到,然后利用裂项相消的方法求和即可;

    3)利用放缩的方法得到,然后用错位相减的方法求和,得到,即可证明.

    【小问1详解】

    设数列的公差为,则,解得,∴

    ①可得,当时,,则

    时,②,

    ①②相减得,,整理得,所以数列为等比数列,.

    【小问2详解】

    由(1)可得,

    所以

    .

    【小问3详解】

    由(1)可得,,又

    ,则

    两式相减得,

    .

    20. 已知函数.

    1时,若曲线与直线相切,求k的值;

    2时,证明:

    3若对任意,不等式恒成立,求a的取值范围.

    【答案】1   

    2证明见解析;    3.

    【解析】

    【分析】1)设切点坐标为,然后利用导数的几何意义列方程,解方程即可得到

    2)证明即证明,然后求导,利用单调性求最值,即可证明

    3)将不等式转化为,然后构造函数,根据的单调性得到恒成立,即,构造函数,根据的单调性得到,然后代入解不等式即可.

    【小问1详解】

    时,,则

    设切点坐标为,则,解得

    所以.

    【小问2详解】

    时,,定义域为

    ,则,当时,,则上单调递增,

    ,所以当时,时,,所以上单调递减,上单调递增,

    所以,则.

    【小问3详解】

    由题可知,,则不等式恒成立,

    上恒成立,

    ,易知上单调递增,

    所以上恒成立,即

    ,则,当时,,当时,,所以上单调递减,上单调递增,

    ,所以,解得

    所以的取值范围为.

    【点睛】对于恒成立问题,常用到以下两个结论:

    1恒成立

    2恒成立.


     

     

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