【期中真题】山东师范大学附属中学2021届高三11月学业水平测试数学试题.zip

这是一份【期中真题】山东师范大学附属中学2021届高三11月学业水平测试数学试题.zip，文件包含期中真题山东师范大学附属中学2020-2021学年高三11月学业水平测试数学试题原卷版docx、期中真题山东师范大学附属中学2020-2021学年高三11月学业水平测试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
山东师大附中2018级数学2020年11月学业质量检测题（满分：150分  考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式确定集合B，然后由交集定义计算．【详解】由，得，解得，所以，又，所以.故选：D2. 设i为虚数单位，，“复数是纯虚数“是“”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简z，求出a，再判断即可.【详解】复数是纯虚数，则，，是的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（    ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】由条件和余弦定理可得，然后化简可得答案.【详解】因为，所以由余弦定理可得，即所以，所以三角形的形状为直角三角形故选：A4. 已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由已知条件求得，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.【详解】由题意可知，点在直线上，则，可得，因此，.故选：D.5. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为由题意可得：则数列为首项为，公比为的等比数列即则视力5.1的视标边长为故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.6. 向量，满足，，，则在方向上投影为（    ）A. -1 B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题条件，先求出，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.【详解】因为向量，满足，，，所以，即，则，所以在方向上的投影为.故选：B.7. 已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分析出函数为上的奇函数且为增函数，由，推导出，利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，当时，由于内层函数为增函数，外层函数也为增函数，所以，函数在上为增函数，由于函数为奇函数，则该函数在上也为增函数，因为函数在上连续，所以，函数在上为增函数，因为，，可得.因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列求和，利用函数在上的单调性与奇偶性推导出是求解的关键.8. 已知变量，且，若恒成立，则m的最大值为（为自然对数的底数）（    ）A. e B.  C.  D. 1【答案】A【解析】【分析】不等式两边同时取对数，然后构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论.【详解】，，恒成立，设函数，，，在上为增函数，函数的导数，，即函数的增区间是，则的最大值为.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数研究函数的单调性，本题的关键点是对已知等式变形，，转化为求函数的单调区间.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分．9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）A. 设，为非零向量，则“”是“”的充要条件B. 设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角C. 设，，为非零向量，则D. 若点G为的重心，则【答案】AD【解析】【分析】利用向量数量积的运算可判断A，利用数量积的定义可判断B，利用数乘及数量积定义可判断C，利用向量的线性运算可判断D.【详解】对于A，因为所以“”是“”的充要条件，A正确；对于B，若，则，的夹角为锐角或零角，B错误；对于C，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以两者不一定相等，故C错误；对于D，如图，设BC的中点为D，因为G为的重心，所以，即，D正确.故选：AD10. 等差数列的前n项和记为，若，，则（    ）A.  B. C.  D. 当且仅当时，【答案】AB【解析】【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；
因，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.11. 已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）A.  B. 的图象关于点对称C. 的图象关于对称 D. 在上的最大值是1【答案】ABC【解析】【分析】先由最小正周期求出，再根据函数的变换求出，结合三角函数的性质即可判断.【详解】因为最小正周期为，，解得，，将的图象向左平移个单位长度得，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得，即，则，故A正确；，的图象关于点对称，故B正确；，的图象关于对称，故C正确；当时，，则，即，故在上的最大值为，故D错误.故选：ABC.【点睛】结论点睛：判断对称轴和对称中心的方法：对于，若函数满足，则关于点对称；若函数满足，则关于对称.12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）A. 函数是偶函数，且在上不单调B. 函数是奇函数，且在上不单调递增C. 函数在上单调递增D. 对任意，都有，且【答案】AD【解析】【分析】先化简，根据函数偶函数的定义，再根据偶函数的性质即可判断A；求导后，利用导数判断函数的单调性即可判断B；利用导数和函数单调性的关系即可判断C；利用导数和函数最值的关系和偶函数的性质即可判断D.【详解】根据题意，函数的定义域为，且即函数是偶函数，且在上不单调，故A正确；又由，∴，∴函数是奇函数，∵恒成立，∴函数在上单调递增，故B不正确；当时，，，∴上恒成立，∴函数在上单调递减，故C不正确；∵函数为偶函数，∴对任意，都有，当时，，∴函数在上单调递增，∵函数为偶函数，∴函数在上单调递减，∴，∴，故D正确，故选：AD.【点睛】关键点点睛：（1）通过导数与0的关系判断函数的单调性；（2）奇偶性与单调性的关系：奇函数在对称区间内单调性相同，偶函数在对称区间内单调性相反.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若，其中、都是实数，是虚数单位，则________．【答案】【解析】【分析】利用复数除法和复数相等的知识得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出的值.【详解】，则，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 函数在其极值点处的切线方程为____________.【答案】【解析】【详解】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为考点：：导数的几何意义. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________．【答案】16【解析】分析】由可推出，即，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出的最值.【详解】由题可知，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：，化简得，即，所以，当且仅当即时，取等号.故答案为：.【点睛】思路点睛：利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.16. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】求出，由利用数量积公式求解的值即可；建立坐标系，设，则，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以；建立如图所示的坐标系，因为，，，可得，设，因为，则，所以，，当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：,. 【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已如函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先将函数整理，得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）根据题中条件，先求出，根据余弦定理，求出，进而可求出三角形面积的最值.【详解】（1），由，得，∴函数的单调递增区间为．（2）∵，∴，即，∵为锐角三角形，∴，∴．中，由余弦定理得：，又，∴，当且仅当时，，∴，∴当时，．【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.18. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，满足__________，__________；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）选择①②，可以判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由可判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；不能选择①③；根据的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【详解】（1）选择①②：当时，由得，两式相减，得，即，由①得，即，∴，得．∴，∴为，公比为的等比数列，∴．选择②③：当时，由③，得，两式相减，得，∴，又，得，∴，∴为，公比为的等比数列，∴．选择①③，由于和等价，故不能选择；设等差数列的公差为d，，且，，成等比数列．，即，解得，（舍去），∴．（2），，，∴，．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.19. 如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，，.（1）证明：平面平面；（2）点在棱上，且，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，先证，再证，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法计算.【详解】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，因为是正三角形，所以，因为，所以.在中，，，，所以，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可知，，，，，所以，，设平面ABM的法向量为，所以，令，得.取平面ABC的一个法向量为，记二面角的平面角为，，易知为锐角，所以二面角为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.20. 已知数列，的前n项和分别为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，若恒成立，求k的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用与的关系，可得，再利用等差数列的通项公式即可求解. （2）利用裂项求和法可得，再利用数列的单调性即可求解.【详解】（1）当时，，解得．当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，即，故是首项为3，公差为3的等差数列，所以．（2）．故，由于是单调递增数列，，所以．故k的最小值为．【点睛】易错点睛：（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩下两项，后面也剩下两项；或者前面剩下几项，后面也剩几项.（2）将通项裂项后，有时要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.21. 冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图． （1）由上面等高条形图，填写列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828 【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨.【解析】【分析】（1）根据所给等高条形图，得到的列联表，利用公式，求得的观测值，比较即可得到结论；（2）设修复费用为万元．得出可得0，0.1，0.2，0.3，求得相应的概率，得到的分布列，利用公式求得数学期望.【详解】（1）根据所给等高条形图，得到的列联表： A材料B材料合计成功453075不成功52025合计5050100的观测值，由于，故有99%的把握认为试验成功与材料有关．（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元．易知可得0，0.1，0.2，0.3．，，，，则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）X00.10.20.3P修复费用的期望：．所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标．【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.22. 已知函数，，其中．（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；（2）用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数．【答案】（1）增函数；；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出不等式的解集.（2）时，恒成立，当时，恒成立，故的零点即为函数的零点，讨论在的零点个数得到答案.【详解】（1），当时，，，∴，当时，，，∴，当时，，所以当时，，即在R上是增函数；又，所以的解集为．（2））函数的定义域为由（1）得，函数在单调递增，当时，，又，所以时，恒成立，即时，无零点.当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点下面讨论函数在的零点个数：，所以①当时，因为， 又函数在区间递减，所以即当时，，所以单调递减，由得：当时，递增当时，递减当时，，当时又，当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点；②当时，，由①得：当时，，递增，当时，，递减，所以，，所以当时函数有2个零点③当时，，，即成立，由，所以当时函数有1个零点综上所述：当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.【点睛】思路点睛：导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.