【期中真题】上海交通大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题.zip

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交大附中高二期中考试数学试卷2022.11一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 已知球的表面积为，则其体积为______.2. 若圆锥高为3，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为______.3. 若，，则符合条件不同有序集合对共有______对.4. 已知A、B、C是的内角，若，其中为虚数单位，则等于______.5. 正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法6. 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.7. 平行六面体，，，若，则______.8. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则_______9. 若对于定义在上函数，当且仅当存在有限个非零自变量，使得，则称为类偶函数，若函数为类偶函数，则实数的取值范围为______.10. 如图，函数图像与轴交于点，与轴交于点，则______.11. 用一个平面将圆柱切割成如图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为.则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______.12. 定义在上的函数、，且满足对任意恒成立，请判断以下命题：（1）若是周期函数，则函数也是周期函数；（2）若是偶函数，则函数也是偶函数；（3）若是上的严格增函数，则函数是上的严格增函数或者严格减函数；（4）若是上的增函数，则函数与函数也都是上的增函数.其中真命题的序号是______. 二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 314. 已知均为复数，则下列命题不正确的是（    ）A. 若则为实数 B. 若，则为纯虚数C. 若，则为纯虚数 D. 若，则15. 如果函数定义域为，且值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 16. 一个棱长为1正方体容器，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（    ）种不同的值A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知正三棱柱的底面边长为3cm，高为3cm，M、N、P分别是、、的中点.（1）用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）；（2）在（1）中作出过M、N、P三点正三棱柱的截面（保留作图痕迹）.18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.19. 已知数列和有，，而数列的前项和.（1）证明数列为等比数列，其中；（2）如果，试证明数列的单调性.20. 已知定义域为的函数满足：①对，恒有；②当时，.（1）求的值；（2）求出当，时的函数解析式；（3）求出方程在中所有解的和.21. 如果实数，且满足，则称x、y为“余弦相关”的.（1）若，请求出所有与之“余弦相关”的实数；（2）若两数、为“余弦相关”的，求证：；（3）若不相等的两数、为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数，使得x、z为“余弦相关”的，y、z也为“余弦相关”的.