【期中真题】北京市北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题.zip

2022北京北师大实验中学高二（上）期中

数学

班级_________姓名_________学号_________成绩_________

第I卷（共100分）

一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 已知空间向量，，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

2. 若直线与垂直，则（    ）

A.  B. 2 C.  D.

3. 若表示圆的方程，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 平行六面体中，设，，，若为的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是（    ）

①若，则与所成的角为30°；

②若与所成角，则；

③若，则平面与所成的锐二面角为60°；

④若平面与所成的角为60°，则

A. ③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④

7. 点关于直线的对称点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 三棱锥中，两两垂直，，，则点到平面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知点的坐标为，圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件

10. 设为函数图像上动点，是圆（其中）上的动点，若最小值为1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（    ）

A  B.  C.  D.

二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 过点，的直线的倾斜角为_________.

12. 若，，为共面向量，则的值为_________.

13. 正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________.

14. 平面直角坐标系中，已知直线过点，与坐标轴围成的三角形的面积为，则直线的方程为_________.

15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：

①直线与平面所成角为45°；

②二面角的余弦值为；

③点到平面的距离为定值；

④线段长度的取值范围是

其中所有正确结论的序号是____________

三､解答题（本大题共3小题，共35分）

16. 已知向量，.

（1）若，求；

（2）求证：对任意，与不垂直；

（3）若与轴平行，求、的值

17. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近四等分点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值：

（3）求点到平面的距离.

18. 用坐标法解答以下问题，如图，已知矩形中，，，分别为的中点，为延长线上一点，________.

从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分，

①连接并延长交于点，求证：；

②取上一点，使得，求证：三点共线.

第Ⅱ卷（共50分）

四､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

19. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，陆上的港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？________（填“是”或“否”）

20. 已知点，，，直线，若直线与线段有公共点，则的最大值为________；若直线与线段有公共点，则的取值范围是________.

21. 已知单位向量，两两夹角均为，则________；的最小值为________.

22. 已知四棱锥中，底面四边形是边长为正方形，，设.记直线与平面所成角为，二面角的大小为.给出下列四个结论：

①若，则；

②若，则；

③；

④.

其中所有正确结论的序号是________.

五､解答题（本大题共3小题，共34分）

23. 平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，半径是1，直线的方程为，点.

（1）若与圆相切，求的值；

（2）若经过点A，求直线与圆的交点的坐标；

（3）若过点A的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围.

24. 如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）棱上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

25. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值.

（1）已知，.

①写出，写出（用含的式子表示）；

②当，写出的最小值及此时x的值；

（2）设，，求证：

（3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标.