【期中真题】四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题.zip

树德中学外国语校区高2021级秋期半期考试

（理科）数学试题

一、选择题（每题5分，每题只有一个正确的选项）

1. 以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用椭圆和抛物线几何意义求解即可.

【详解】由椭圆可得，

所以左焦点坐标为，

所以以为焦点的抛物线的标准方程为，

故选：C.

2. 曲线​（    ）

A. 关于​轴对称 B. 关于​轴对称 C. 关于原点对称 D. 不具有对称性

【答案】C

【解析】

【分析】将点，，分别代入方程，即可检验对称性.

【详解】对于A，将点代入曲线方程得：，

所以曲线不关于轴对称，A错误；

对于B，将点代入曲线方程得：，

所以曲线不关于轴对称，B错误；

对于C，将点代入曲线方程得：，

所以曲线关于原点对称，C正确，D错误.

故选：C

3. 已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.

【详解】如图，由题意得：，，其中，

所以，

由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，

则，解得：，

故动圆圆心M的轨迹方程为.

故选：D

4. 已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（    ）

A. 7 B. 14 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解.

【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距.

故选：B

5. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

6. 直线l过点与圆C：交于两点且，则直线l的方程为（    ）

A.  B. 或

C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案.

【详解】将圆C：的方程化为 ，

则圆心C的坐标为，半径为2.

当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为时，代入圆的方程得 ，

解得 ，此时，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，

由，得圆心C到直线l的距离为 ，

故，解得，故此时直线的方程为 ，即，

综上可得，直线l的方程为 或，

故选：D.

7. 执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的S的最大值为（    ）．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】在直角坐标系内画出可行解域，根据平移的方式求出S的最大值，再与进行比较即可.

【详解】不等式组在直角坐标系内表示的平面区域如下图所示：

平移直线，当直线经过时，有最大值，最大值为，

故选：C

8. 若椭圆​的动弦​斜率为​，则弦中点坐标可能是（    ）

A. ​ B.  C. ​ D. ​

【答案】B

【解析】

【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标.

【详解】设，，则由已知得，，，

两式作差可得，，整理可得.

中点D的坐标为，则有.

又点D在椭圆的内部，所以

故选：B.

9. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（    ）

A. 8 B.  C.  D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值．

【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设

由题意知，直线l方程为，则，得

所以，得

由，当三点共线时取等号，

又

所以的最小值为

故选：B

【点睛】关键点点睛：作点关于的对称点，将化为，利用三点共线是求得最小值的关键点．

10. 在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知，点在所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为、，长轴长为，然后以线段的中点为坐标原点，直线所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.

【详解】如图所示，在平面内，，

所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，

则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，

所以，椭圆方程为.

点在底面的投影设为点，则点为的中心，，

故点正好为椭圆短轴的一个端点，

，则，

因为，故只需计算的最大值.

设，则，

则，

当时，取最大值，

即，

因此可得，故的最大值为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值求解，根据椭圆的定义得知点的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用.

11. 已知圆，，过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是　　

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】本题首先可以通过圆的方程得出圆的圆心轨迹，然后画出圆的圆心轨迹图像以及圆的图像，通过图像可以得出线段的取值范围以及的解析式，最后通过函数性质即可得出结果．

【详解】由可得：

圆的圆心在圆的圆周上运动，

设，则，

由图可知：，

，

由在上为增函数可知，

当时，取最小值6，故选A．

【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题．

12. 设，是双曲线左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（    ）

A. 到直线l的距离为a B. 双曲线的离心率为

C. 的外接圆半径为 D. 的面积为9

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断A选项；利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断B选项；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断C选项；利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断D选项．

【详解】由题意，到准线的距离，又，∴，如图过向作垂线，垂足为，

由，为中点，则为△的中位线，所以，即是的中点，因为，，，，，因此到直线的距离为，故A错误；

在中，，又，得到，

解得，，，所以双曲线的离心率，故B正确；

，设△的外接圆半径，

因此，所以，故C错误；

△的面积．故D错误.

故选：B．

二、填空题（每题5分，请将正确的答案填写在答题卡的对应位置）

13. 若4进制数2m01（4）（为正整数）化为十进制数为177，则______.

【答案】3

【解析】

【分析】将各数位上的数乘以其权重累加后，即可求解

【详解】将4进制数2m01（4）化为十进制数为，解得.

故答案为：3

【点睛】本题考查进制间的转化，属于基础题.

14. 设；．若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】若是的必要而不充分条件，可得是的必要而不充分条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.

【详解】由题意得，命题，解得，记

命题，即，

解得：，记，

又因为是的必要而不充分条件，

即是的必要而不充分条件，所以真包含于，

所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围为.

故答案为：

15. 已知M为抛物线上一点，过抛物线C的焦点F作直线的垂线，垂足为N，则的最小值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意先确定出N点的轨迹为圆，再由抛物线的定义转化，所求最小值转化为圆上动点到抛物线准线距离的最小值即可得解.

【详解】由知，焦点，准线的方程为，

由可得，

由解得，即直线恒过定点，

设中点为，则，由题意知，

所以的轨迹为以为直径的圆，

则圆的方程为，

过作于，则，

所以由图知，当运动到时，运动到，共线时，

的最小值为圆上动点到准线的距离的最小值，即.

故答案为：

16. 已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用函数求解.

【详解】设

因为点在椭圆上，所以①

又因为点在双曲线上，所以②

则①②得；①②

中由余弦定理得：

即

即，即即

所以，

令，则

所以.

故答案：.

三、解答题（本题共6个小题，共70分，请写出必要的推理与演算过程）

17. 已知命题 ​: “方程​表示双曲线”，命题​: 方程​表 示椭圆”

（1）若 ​为真命题，求​的取值范围;

（2）若 ​为真命题，求​的取值范围.

【答案】（1）​   

（2）​

【解析】

【分析】(1)先分别求出命题​为真，​为真的条件，然后根据​为真命题求出结果即可；

(2) 先分别求出命题​为真，​为真的条件，然后根据​为真命题求出结果即可.

【小问1详解】

若 ​为真，有​，即​;

若​为真，则有​，即 ​.

若 ​为真，则有​，即​.

【小问2详解】

若 ​为真，有​，即​;

若​为真，则有​，即 ​.

若 ​为真，则有​，即​.

18. 已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为

（1）求圆C的方程；

（2）由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程.

（2）先求得，通过求的最小来求得的最小值.

【小问1详解】

依题意，设圆的圆心坐标为，半径为，

到直线的距离为，

所以，解得，

所以圆的方程为.

【小问2详解】

由（1）得，圆的圆心为，半径，

，所以当最小时，最小.

到直线的距离为，

所以的最小值为，

所以四边形PACB面积的最小值为.

19. 已知平面内两个定点，，过动点M作直线的垂线，垂足为N，且.

（1）求点M轨迹E的方程；

（2）若直线与曲线E有且仅有一个交点，求实数k的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）设点M坐标为，然后求出、、的坐标，然后根据可得答案；

（2）由可得，然后分、两种情况求解即可.

【小问1详解】

设点M坐标为，则，，，，

，，

即：，点M的轨迹方程为；

【小问2详解】

将直线方程与曲线方程联立，，

①当，即时，直线与曲线E渐近线平行，满足

②当时，直线与曲线E相切，满足题意，解得

综上，的取值范围为或.

20. 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．

（1）求直线PA与PB的斜率之积；

（2）任意过且与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过点A．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的方程，可得参数的值，则得到顶点坐标，设出点，利用椭圆方程和斜率公式，可得答案；

（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用圆的性质，结合向量数量积建立方程，可得答案.

【小问1详解】

由椭圆，可得，则，．

设点，则有，即，

所以．

【小问2详解】

证明：设，，

因为MN与x轴不重合，所以设直线，

由，化简得；

由题意可知成立，且 ；

，

将韦达定理代入上式，可得，

所以，即以MN为直径的圆恒过点A．

21. 设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．

（1）求抛物线的方程；

（2）当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在定点，使得为定值．

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；

（2）由已知可得，直线经过点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，得到，，表示出，整理完成得到，可知当所有的形式前面的系数均为0时为定值，即可解出T的坐标和该定值.

【小问1详解】

设抛物线焦点为F，，根据抛物线的定义有，

则，

即，所以（舍去负值），

则抛物线的方程为．

【小问2详解】

∵，∴K、A、B三点共线．

∴设直线AB方程为，

设，，，

联立得，

，则或.

，，，，

且有，

而

，

因为，的任意性，要使该值为定值，需满足

，可得，此时.

22. 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；

（3）证明：为定值？并求的最大值．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析；    （3）证明见解析，最大值为．

【解析】

【分析】（1）由存在圆M与两坐标轴都相切确定圆心M坐标，由离心率及点M坐标即可列方程组求参数；

（2）分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得，是该方程的两个不相等的实数根，由韦达定理及点在椭圆C上可得为定值；

（3）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，由（2）得，结合，在椭圆C上，可得，，即有，当直线OP，OQ落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得的最大值.

【小问1详解】

由椭圆的离心率，则，

又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，

代入，解得：，则，

∴椭圆方程：．

【小问2详解】

因为直线，与圆M相切，

由直线与圆联立，

可得，

同理，

由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，∴，

因为点在椭圆C上，所以，所以．

【小问3详解】

当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，

因为，所以，

因为，在椭圆C上，所以，整理得，

所以，所以．

当直线落在坐标轴上时，显然有，

综上，，所以，

所以的最大值为．

【点睛】（2）中由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，以及点在椭圆上可得方程，即可进一步消元化简.