【期中真题】宁夏吴忠市吴忠中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题.zip

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吴忠中学2022-2023学年第一学期期中考试高二年级（理科）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题列出的四个选项只有一项是最符合题目要求的）1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求对数函数的定义域化简集合，再解二次不等式化简集合，从而利用集合的交集运算求得结果.【详解】因为，所以，得，故，由得，解得，故，所以利用数轴法易得.故选：B.2. 若且，则下列不等式成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用不等式的性质即可判断.【详解】对于A，令，则，但，故A错误；对于B，令，则，但，故B错误；对于C，令，则，故C错误；对于D，因为，则，即，又，所以，故D正确.故选：D.3. 已知中，，，则B等于（    ）A.  B.  C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】已知两边一角，由正弦定理可求角B的正弦值，进而得到角B的大小.【详解】解：，，，由正弦定理，得，，，而，则或，故选：C.4. 等差数列中，，则的前9项和等于（    ）A. -18 B. 27 C. 18 D. -27【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质可求前9项和.【详解】．故选：B5. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 14【答案】B【解析】【详解】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B． 6. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则【答案】C【解析】【分析】ABD均可举出反例，由线面垂直的性质可得得到C正确.【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误；对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，满足，，但相交，B错误；对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，如图3，满足，，但相交，故D错误. 故选：C.7. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）A.  B.  C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据约束条件得可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，作出直线，可知z要取最小值，即直线经过点A，解方程组得，所以，故选：C．8. 由实数构成的等比数列的前n项和为，，且成等差数列，则（    ）A. 62 B. 124 C. 126 D. 154【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，利用等比数列的通项公式列出关于基本量的方程组，求得等比数列的首项和公比，然后利用等比数列求和公式计算即可.【详解】由题意知，，设的公比为，则解得，则故选：C.【点睛】本题考查等比数列的求和，涉及利用等比数列的通项公式求基本量，等差数列的性质，属中档题.9. 若直线 经过圆的圆心，则 的最小值是（    ）A.  B. 4 C. 5 D. 【答案】D【解析】【分析】由圆的方程与基本不等式求解，【详解】圆的圆心为，则，，当且仅当时等号成立，故选：D10. 在△ABC中，B＝，AB＝2，D为AB中点，△BCD的面积为，则AC等于（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出即可.【详解】因为S△BCD＝BD·BCsin B＝×1×BCsin，所以BC＝3，由余弦定理得AC2＝4＋9－2×2×3cos，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.11. 若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用定义运算得到二次不等式恒成立问题，利用判别式来解答即可.【详解】由已知得，则对任意实数恒成立整理得对任意实数恒成立，，解得.故选：C.12. 已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ）A. 230 B. 115 C. 110 D. 100【答案】B【解析】【分析】利用倒序相加法即可求得前20项的和.【详解】，①，②两式相加，又因为故，所以所以的前20项的和为 故选：B二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）13. 设等差数列的前n项和为，则=      .【答案】16【解析】【详解】由等差数列性质知：也成等差，所以成等差，即，因此,故答案为16.考点：等差数列性质14. 已知是第三象限的角，且，则_________.【答案】##【解析】【分析】由同角三角函数关系可求得；由两角和差正弦公式可求得结果.【详解】因为是第三象限的角，    所以，，由得：，，，故答案为：.15. 已知数列满足，，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可．详解】，，，，由累加得，所以，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，或5时最小，时，；时，；所以的最小值为故答案为：．16. 在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量与向量夹角的余弦值为，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据向量夹角的计算公式求出角，再根据余弦定理求得，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简，即可得出答案.【详解】解：∵，，∴，即，∴，解得或（舍），∵，∴，∵，∴，则，∵，∴，∴，∴的取值范围是．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）转化为证明平面；（2）设与的交点为，连结，可得，再由线面平行的判定定理即可证得结果.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，所以，又因为，，，则，所以，又，所以平面，所以.（2）设与的交点为，连结，∵是的中点，是的中点，∴∵平面，平面， ∴平面.18. 已知关于x，y的方程C：（1）当m何值时，方程C表示圆；（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值.【答案】（1）m＜5；（2）m＝4【解析】【分析】（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；
（2）利用半径，弦长，弦心距的关系列方程求解即可．【详解】解：（1）方程C可化，显然只要5−m＞0，即m＜5时，方程C表示圆；
（2）因为圆C的方程为，其中m＜5，
所以圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x＋2y−4＝0的距离为，
因为|MN|＝，所以|MN|＝，
所以，解得m＝4．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键．19. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A＋cos A＝2.（1）求角A的大小；（2）现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)【答案】（1）；（2）选择①②，＋1；选择①③，；选择②③，无法确定△ABC.【解析】【分析】（1）化简sin A＋cos A＝2得2sin ＝2，即可求出角A的大小；（2）选择①②，先由正弦定理求出，再由sin C＝sin (A＋B)得sin C，即可根据三角形面积公式求出；选择①③，由正弦定理可求出，继而求出即可求出面积；选择②③，无法确定△ABC.【详解】（1）依题意得2sin ＝2，即sin ＝1，∵0<A<π，∴<<，∴A＋＝，∴A＝.（2）选择①②.由正弦定理 ，得b＝＝2.∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝＋1.选择①③， c＝b，由正弦定理得，即，可得sin A cos B＋cos A sin B， A＝，得，解得，，.选择②③，sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，由 c＝b结合正弦定理得，矛盾，所以此种方案无法确定△ABC.【点睛】本题考查辅助角公式化简，考查正弦定理，考查三角形面积公式，属于基础题.20. 已知的三个内角的对边分别为，，，内角成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）.    （2）.【解析】【分析】（1）由题意求得，根据正弦定理求得等比数列的首项和公比，可得答案；（2）利用（1）的结论可得的表达式，利用错位相减法即可求得答案.【小问1详解】∵内角成等差数列,∴，又,∴,又 所以 ，即数列是等比数列，且首项、公比均为，所以.【小问2详解】由（1）可得∶ ∴，又，两式相减 ,整理得︰．21. 已知向量，，，且、、分别为的三边、、所对的角.（1）求角大小；（2）若，，成等差数列，且，求边的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的数量积可得的三角函数关系式，结合内角和为可得关于的方程，解方程后可得的大小.（2）根据内角的正弦为等差数列可得，利用向量数量积的定义和余弦定理可得与三边相关的方程，从而可求的值.【详解】（1），对于，，.∴，∴，，因为，故，而，故.（2）由，，成等差数列，得，由正弦定理得.∵，即，，由余弦定理，∴，，∴.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积以及三角变换，一般地，在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，解三角形时，注意对三角形中已知的几何量和未知的几何量进行分析，从而确定用合适定理解决问题，本题属于中档题.22. 已知数列的前项和满足，其中．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）数列的通项公式为；（2）实数的取值范围是．【解析】【详解】试题分析：（1）已知数列的前项和满足，利用，求出数列是等比数列，然后求出通项公式即可；（2）根据第一问的结论，先表示出，因此对都成立，即，解出实数的取值范围即可．试题解析:（1）∵， ①当，∴，当，∵， ②①-②：，即：又∵，∴对都成立，所以是等比数列，∴（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴对都 成立∴，∴或，∴实数的取值范围为考点：1、数列通项公式的求法；2、恒成立问题．