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    2021-2022学年高二上学期期中联考

    数学试题

    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 在空间直角坐标系下,点关于轴对称的点的坐标为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据空间中点关于y轴的对称坐标的特点,可得答案

    【详解】设点关于y轴的对称点

    的中点在y轴上,且坐标为

    所以 ,则

    所以点关于y轴的对称点的坐标为.

    故选:B.

    2. 若椭圆的一个焦点为,则的值为(   

    A. 5 B. 3 C. 4 D. 2

    【答案】B

    【解析】

    【分析】由题意判断椭圆焦点在轴上,则,解方程即可确定的值.

    【详解】有题意知:焦点在轴上,则,从而,解得:.

    故选:B.

    3. 将直线绕着原点逆时针旋转,得到新直线的斜率是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】先将直线化为斜截式,写出直线的斜率和倾斜角,再求得新直线的倾斜角和斜率.

    【详解】化为

    则该直线的斜率为、倾斜角为

    所以旋转后新直线的倾斜角为

    则新直线的斜率为.

    故选:A.

    4. 已知实数满足方程,则的最大值为(   

    A. 3 B. 2 C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】将方程化为,由圆几何性质可得答案.

    【详解】将方程变形为,则圆心坐标为,半径

    则圆上的点的横坐标的范围为:

    x的最大值是

    故选:D.

    5. 已知直线,若圆上存在两点关于直线对称,则的值为(   

    A.  B.  C.  D. 5

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据题意可知圆的圆心坐标为,又圆上存在两点PQ关于直线对称,所以直线经过圆心,将圆心坐标代入直线方程,即可求出结果.

    【详解】∵圆,∴圆的圆心坐标为

    又圆上存在两点PQ关于直线对称,

    ∴直线经过圆心

    ,解得.

    故选:A.

    6. 已知直线与直线平行,则等于(   

    A. 3 —2 B. —2 C. 3 D. 2

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据两直线平行的条件求解,注意检验.

    【详解】由题意,解得

    时,两直线方程分别为,平行,

    时,两直线方程分别为,两直线重合,舍去.

    所以

    故选:C

    7. 在四棱锥中,,则这个四棱锥的高为(   

    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

    【答案】D

    【解析】

    【分析】结合点面距离的向量公式求解即可

    【详解】设平面ABCD的法向量为,则,即

    ,取,则,∴这个四棱锥的高.

    故选:D.

    8. 过圆上一点作圆的两条切线,切点分别为,若,则   

    A. 1 B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】由题设易知OAPB是正方形且,结合两圆的位置关系画示意图,即可求参数r.

    【详解】由题意知:

    ∴四边形OAPB是正方形,且

    .

    故选:D.

    9. 已知直线,若,则的倾斜角的取值范围是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】的斜率分别为,当时,根据,可知,求得的斜率为,根据正弦函数的性质可知,再结合斜率与倾斜角的关系即可求出倾斜角的范围;当时,易知的倾斜角为0;由此即可得到结果.

    【详解】的斜率分别为

    时,,∵,∴,∴

    ,∴.

    设直线的倾斜角为,则,∴

    时,直线的斜率不存在,倾斜角为,∵,∴的倾斜角为0.

    综上,.

    故选:D.

    10. 在正方体中,棱的中点分别为,则直线所成角的正弦值为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】D为坐标原点,DADC、分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量的数量积即可求解.

    【详解】设正方体的棱长为2

    D为坐标原点,DADC、分别为x轴,y轴,z轴,

    建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz

    设直线EF的所成角为

    .

    故选:B

    11. 已知圆,直线与圆没有公共点,斜率为的直线与直线垂直,则的取值范围是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据直线与圆没有公共点可求得,根据垂直可得,即可求出范围.

    【详解】由题意得,,即,∵直线与圆没有公共点,

    ,解得,∴.

    ∵直线与直线垂直,∴

    ,当且仅当,即时取等号,

    时,,∴的取值范围是.

    故选:B.

    12. 已知椭圆的离心率为,过右焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交得到的弦长为,且椭圆上存在4个点构成矩形,则矩形面积的最大值为(   

    A. 4 B.  C. 8 D. 16

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据,得到,设直线,与椭圆联立,根据与椭圆相交得到的弦长为求得椭圆方程;设,其中,得到,然后得到矩形MNPQ的面积求解.

    【详解】由题意得,,故,则直线

    联立,解得

    故所形成的弦长为,解得

    即椭圆.

    由对称性设,其中,则

    故矩形MNPQ的面积

    故矩形MNPQ面积的最大值为4

    故选:A.

    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分、将答案填写在题中的横线上)

    13. 设空间向量,且,则___________.

    【答案】1

    【解析】

    【分析】根据,由求解.

    【详解】因为向量,且

    所以,即

    解得.

    故答案为:1

    14. 设圆,圆,则圆有公切线___________.

    【答案】2

    【解析】

    分析】将圆转化成标准式,结合圆心距判断两圆位置关系,进而求解.

    【详解】由题意得,圆,圆

    ,∴相交,有2条公切线.

    故答案为:2

    15. 是椭圆的左,右焦点,点上,为坐标原点,且,则的面积为___________.

    【答案】7

    【解析】

    【分析】根据题意可得,利用勾股定理和椭圆定义可求得,即可求出面积.

    【详解】由题意得,,∴在以线段为直径的圆上,

    ,∴①,

    由椭圆的定义知,②,由①②,解得

    .

    故答案为:7.

    16. 在如图所示的实验装置中,四边形框架为正方形,为矩形,且,且它们所在的平面互相垂直,为对角线上的一个定点,且,活动弹子在正方形对角线上移动,当取最小值时,活动弹子与点之间的距离为___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据给定条件建立以直线分别为轴,轴,轴的空间直角坐标系,利用空间向量即可计算作答.

    【详解】解:∵四边形ABCD为正方形,则

    又平面平面ABEF,平面平面,∴平面

    ∵四边形为矩形,∴

    B为坐标原点,以射线BABEBC分别为xyz轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系,

    .

    ∵点NBF上,且,∴,又M在线段AC上移动,

    则有,易得点,∴,∴,∴当时,取得最小值,此时点,则,∴,∴活动弹子M与点B之间的距离为.

    故答案为:

    三、解答题

    17. 已知点.

    1若直线与直线分别交于点,且线段的中点坐标为,求直线的斜率;

    2若直线过点,且原点到该直线的距离为,求直线的方程.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)、根据题意线段的中点坐标为,求出两点坐标,即可求出直线的斜率;

    2)、当直线的斜率不存在时,直接写出直线的方程;当直线的斜率存在时,先用点斜式设出直线的方程,再用原点到直线的距离求出直线的斜率,进而求出直线的方程.

    【小问1详解】

    的中点坐标为

    直线的斜率为.

    小问2详解】

    ①当直线的斜率不存在时,其直线方程为,满足题意;

    ②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即

    原点到该直线的距离为,则直线的方程为.

    综上所述,直线的方程为.

    18. 已知定点,动点满足,设点的轨迹为.

    1求轨迹的方程;

    2若点分别是圆和轨迹上的点,求两点间的最大距离.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)设动点,根据条件列出方程,化简求解即可;

    2)设,求出圆心到轨迹上点的距离,配方求最值即可得解.

    【小问1详解】

    设动点

    化简得,即

    ∴动点的轨迹E的方程为.

    【小问2详解】

    圆心到轨迹E点的距离

    ∴当时,

    .

    19. 如图所示,在三棱锥中,平面.

    1)求证:平面

    2)求与平面所成的角正弦值.

    【答案】1)证明见解析;(2.

    【解析】

    【分析】为原点建立空间直角坐标系,

    1)利用向量法证明,即可得证;

    2由(1)可得1为平面的一个法向量,求出所成角的余弦值,即可得出答案.

    【详解】解:如图所示:

    为原点建立空间直角坐标系,

    由题意得:00120

    1)证明:110

    平面

    2)解:由(1)可得1为平面的一个法向量,

    ,则

    与平面所成的角为

    所以

    所以与平面所成的角正弦值为.

    20. 设圆的圆心为,半径为,圆过点,直线交圆两点,.

    1求圆的方程;

    2已知,过点的直线与圆相交于两点,其中,若存在,使得轴为的平分线,求正数的值.

    【答案】1   

    24

    【解析】

    【分析】1)设圆C的方程为,根据题意,利用待定系数法,即可求出结果;

    2)由(1)知,圆C的方程为,设直线PQ的方程为,联立直线与圆的方程,化简整理得到韦达定理,然后再根据轴平分,可得,化简整理可得,求解方程即可得到结果.

    【小问1详解】

    解:设圆C的方程为

    由题意得,,解得

    ∴圆C的方程为.

    【小问2详解】

    解:由(1)知,圆C的方程为.

    设直线PQ的方程为

    联立,化简得

    .

    轴平分,∴,则

    ,解得

    ∴当时,轴为的平分线.

    21. 如图,在几何体中,底面是边长为2的正三角形,平面,且的中点.

    1求证:平面

    2求二面角的余弦值.

    【答案】1证明见解析   

    2

    【解析】

    【分析】1)取的中点F,连接EF,由四边形是平行四边形即可求解;

    (2)采用建系法,以轴,轴,垂直底面方向为轴,求出对应点坐标,结合二面角夹角余弦公式即可求解.

    【小问1详解】

    的中点F,连接EF,∵

    ,且,∴

    ∴四边形是平行四边形,∴

    平面平面,∴平面

    【小问2详解】

    AC的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系

    ,∴.

    设平面的法向量是,则

    ,令,得

    易知平面的一个法向量是

    又二面角是钝二面角,

    ∴二面角的余弦值为.

    22. 已知椭圆的离心率为,左,右焦点分别为,过的直线交于两点,若轴垂直时,

    1求椭圆的标准方程;

    2若点在椭圆上,且为坐标原点),求的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)由离心率得出关系,由通径得出关系,结合椭圆关系式即可求解;

    2)需分类讨论,分直线的斜率不存在、直线的斜率为0、直线的斜率存在且不为0三种情况,对第三种情况,可联立直线与椭圆方程,结合弦长公式求出,利用求出直线方程,并将代入椭圆方程,代换出,化简并结合不等式即可求解.

    【小问1详解】

    由题意得,,即,则,把代入椭圆方程可得

    ,∴,即

    ,∴,∴椭圆C的标准方程为

    【小问2详解】

    由(1)知,的坐标为

    ①当直线的斜率不存在时,,则

    ②当直线的斜率为0时,,则

    ③当直线的斜率存在且不为0时,设直线的方程为

    联立,得

    ,则

    设点,则,即,代入椭圆方程得

    ,则,∴

    ,∴的取值范围是

    综上所述,的取值范围是.

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