【期中真题】湖北省武汉市第三中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试题.zip
展开2022~2023学年度汉阳三中高二年级期中联考模拟演练
数学
一、单选题(每小题5分,共40分)
1. 设是双曲线的右焦点,为坐标原点,过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若的内切圆与轴切于点,且,则C的离心率为( )
A B. C. D.
2. 已知点A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A. (0,1) B. C. D.
3. 在中,,.若空间点满足,则直线与平面所成角的正切的最大值是( )
A. B. C. D. 1
4. 已知梯形中,,,,,是线段的中点将沿所在的直线翻折成四面体,翻折的过程中下列选项错误的是( )
A. 与始终垂直
B. 当直线与平面所成角为时,
C. 四面体体积的最大值为
D. 四面体外接球的表面积的最小值为
5. 如图,在棱长为1的正方体中,P为棱的中点,Q为正方形内一动点(含边界),则下列说法中不正确的是( )
A. 若平面,则动点Q的轨迹是一条线段
B. 存在Q点,使得平面
C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时,三棱锥的体积最大
D. 若,那么Q点的轨迹长度为
6. 已知直三棱柱中,,当该三棱柱体积最大时,其外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7. 为庆祝国庆,立德中学将举行全校师生游园活动,其中有一游戏项目是夹弹珠.如图,四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中,每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面,则这个容器的容积是( )
A. B.
C. D.
8. 在棱长为3的正方体中,点为侧面内一动点,且满足平面,若,三棱锥的所有顶点均在球的球面上,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题(每小题5分,共20分)
9. 已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上,,为内部(含边界)的动点,则( )
A. 平面 B. 球的表面积为
C. 的最小值为 D. 与平面所成角的最大值为60°
10. 已知点,点是双曲线:左支上的动点,为其右焦点,是圆:上的动点,直线交双曲线右支于(为坐标原点),则( )
A. 过点作与双曲线有一个公共点直线恰有条
B. 的最小值为
C. 若的内切圆与圆外切,则圆的半径为
D. 过作轴垂线,垂足为(与不重合),连接并交双曲线右支于,则(为直线斜率,为直线斜率)
11. 已知抛物线的焦点为F,过F的直线与抛物线相交于A,B两点.过A,B两点分别作抛物线的切线,两切线交于点Q.直线l为抛物线C的准线,与x轴交于点D,则( )
A. 当时, B. 若,P是抛物线上一个动点,则的最小值为2
C. D. 若点Q不在坐标轴上,直线AB的倾斜角为,则
12. 拋物线的焦点为,过的直线交拋物线于两点,点在拋物线上,则下列结论中正确的是( )
A. 若,则的最小值为4
B. 当时,
C. 若,则的取值范围为
D. 在直线上存在点,使得
三、填空题(每小题5分,共20分)
13. 三棱锥中,顶点P在平面ABC的射影为O,满足,A点在侧面PBC上的射影H是的垂心,,此三棱锥体积的最大值是____________.
14. 三棱锥中,,底面是边长为2的正三角形,分别是的中点,且,若为三棱锥外接球上的动点,则点到平面距离的最大值为___________.
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点(在同一象限内),且满足. 联结,满足. 若该双曲线的离心率为,求的值_______.
16. 阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出:过椭圆上任意一点的切线方程为.若已知△ABC内接于椭圆E:,且坐标原点O为△ABC的重心,过A,B,C分别作椭圆E的切线,切线分别相交于点D,E,F,则______.
四、解答题(共70分)
17. 已知、分别是椭圆左右顶点,为坐标原点,,点在椭圆上.过点,且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部,求直线的斜率的取值范围;
(3)当直线的倾斜角为锐角时,设直线、分别交轴于点、,记,,求的取值范围.
18. 已知点在椭圆C:()上,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,的面积为.
(1)求椭圆C方程;
(2)设点A,B在椭圆C上,直线PA,PB均与圆O:()相切,试判断直线AB是否过定点,并证明你的结论.
19. 已知椭圆的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及的最大值.
20. 平面直角坐标系中,已知点.点满足,记点的轨迹.
(1)求的方程;
(2)设点与点关于原点对称,的角平分线为直线l,过点作l的垂线,垂足为,交于另一点,求的最大值.
21. 一个楔子形状几何体的直观图如图所示,其底面 为一个矩形,其中 ,,顶部线段 平面,棱 ,二面角 的余弦值为 ,设 , 分别是 , 的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22. 如图,已知四棱锥中,平面,平面平面,且,,,点在平面内的射影恰为的重心.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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