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【挑战满分】压轴小题3：平面向量（70） 试卷
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这是一份【挑战满分】压轴小题3：平面向量（70） 试卷，共70页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
【挑战满分】压轴小题3：平面向量
一、单选题
1．设向量，，满足，，，则的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线上有两点，且.已知满足，若，则这样的点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知P是函数（）图象上的动点，点，，O为坐标原点，若存在实数，使得成立，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是（ ）．
A．12 B．6 C． D．
6．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
A． B． C． D．
7．若，且，，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．已知平面向量满足：，且，则的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
9．已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则
A． B．4 C．3 D．1
14．如图，在等腰梯形中，，，高为，为的中点，为折线段上的动点，设的最小值为，若关于的方程有两不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．x21 B．
C． D．
16．已知单位向量，满足，若存在向量，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．记在中，为斜边上一动点．设，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
18．已知单位向量，且，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
19．在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则
A． B． C． D．
20．已知向量，满足，，且对任意的，的最小值为1，向量满足，记，，则下列说法正确的是（ ）．
A．存在，使得 B．存在，使得
C．对任意的，恒有 D．对任意的，恒有
21．已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
22．定义域为的函数的图象的两个端点为､，是的图象上任意一点，其中，()，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”.若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
23．已知、、分别是的三边、、上的点，且满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
24．已知，是非零向量，若对任意的实数，有，则（ ）
A． B． C． D．
25．设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26．已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为
A． B． C． D．
27．在三角形中，、分别是边、的中点，点在线段上（不含端点），且，则代数式的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
29．已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时，
A．0 B．1 C． D．
30．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
二、多选题
31．下列说法正确的是（ ）
A．若非零向量，且，则为等边三角形
B．已知，且四边形为平行四边形，则
C．已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1
D．已知向量，则与夹角的范围是
32．在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ）
A． B．1 C．5 D．9
34．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题
35．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为______
36．已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.
37．已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（且、、）．若，则的最大值为__________．
38．在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．
39．已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为________.
40．已知三点到点的距离都是它到直线的距离的倍且，当直线与的斜率之积为（其中为坐标原 点）时，则点与点的距离之和的值为____________
41．已知平面向量满足：.若对满足条件的任意，的最小值恰为.设，则的最大值为_______________________.
42．已知平面向量，，，满足，，，若平面向量（且），则的最小值是______.
43．已知非零向量、不共线，设，定义点集，若对于任意的，当、且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
44．圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值为__________.
45．在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.
46．给出以下几个结论：
①若，，则；
②如果且都不为，则，；
③若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为；
④在中，三内角所对的边分别为，则；
其中正确结论的序号为______．
47．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，其中，则的最小值是_____．
48．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．
49．在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为________.
50．在△中，，，点为△内（包括边界）任意一点，若，则的取值范围为________
【挑战满分】压轴小题3：平面向量
答案解析
1．D
【分析】
由题设知，的夹角为，又，若，则四点共圆或在以O为圆心的圆上，求两种情况下的最值，再确定其最大值即可.
【解析】
由，知：，的夹角为，又，
∴若，即，，
1、如上图，当四点共圆，而，设圆的半径为R，则，即
∴当且仅当OC为圆的直径时，有最大值.
2、如上图，当在以O为圆心的圆上，此时，
综上：的最大值为2.
故选：D.
【小结】
将平面向量转化为点共圆，根据，的夹角为，又，讨论位置关系，进而应用圆的性质确定的最大值.
2．B
【分析】
作，，，取的中点，连接，分析出为等边三角形，可求得，计算得出，利用圆的几何性质求出面积的最大值，即可得出结果.
【解析】
如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，
，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
【小结】
结论小结：已知圆心到直线的距离为，且圆的半径为，则圆上一点到直线距离的最大值为.
3．D
【分析】
根据题设中的等式可得或，所以外接圆的半径，故的个数记为圆心的个数，根据到直线的距离可判断出圆上存在4个不同的点到直线的距离为1，故可得正确答案.
【解析】
因为，故，
故，故，
而，故或.
因为，故外接圆的半径满足，故.
故外接圆的圆心在圆，
设外接圆的圆心为，
则为直线与圆的两个交点，
故的个数即为圆心的个数.
因为，故圆心到直线的距离，
因为到直线的距离为，而，
故圆上存在4个不同的点到直线的距离为1，
故这样的点个数为4个.
故选：D.
【小结】
关键小结：根据向量数量积的坐标形式构建向量的等式关系，从而计算出三角形的外接圆的半径，再根据定弦长把点的存在性问题归结为外接圆的圆心的存在性问题.
4．D
【分析】
设，由把用表示出来，则得出关于的函数，再利用导数的知识求得其最小值．
【解析】
解析：设，由得，解得，
，记，则，所以单调递减，
所以.
故选：D．
【小结】
本题考查向量共线的坐标表示，考查用导数求函数的最值．解题关键是由向量线性运算把表示为的函数．
5．A
【分析】
可证明点是△的垂心，又点是△的外心，可知△是正三角形，则，进而建立直角坐标系，可求得，进而可求出最大值.
【解析】
，即，所以，
同理可得，，所以点是△的垂心.
又，所以点是△的外心，
故△是正三角形，且，
建立如图所示的直角坐标系，，
所以，则，，，
设，由，可设，，
因为，所以为的中点，所以，
则，，
所以，
所以当时，取得最大值12，
即的最大值为12.
故选：A.
【小结】
本题考查平面向量数量积的基本运算，考查平面向量在解决几何问题中的运用，考查学生的计算求解能力，属于难题.
6．B
【分析】
先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.
【解析】
以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，
因此，
因此，设
所以
当时，最小值为选B.
【小结】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
7．D
【解析】
如图所示：，，，
∵，∴点C在劣弧AB上运动，
表示C、D两点间的距离．
的最大值是，最小值为.
故选D
8．C
【分析】
设，且，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果.
【解析】
设，且，如图所示：
则，且等号可以取到.
故选：C.
【小结】
本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题.
9．C
【分析】
建立直角坐标系，设出坐标，求出，然后化简，利用三角函数知识即可求解出它的范围.
【解析】
解：如图建立平面直角坐标系.
设，，则，.
，其中，，从而.
的最大值为：，最小值为：.
当时，取最大值.
，当时，取最小值.
故的取值范围是为.
故选：.
【小结】
本题考查向量数量积的应用，考查转化思想和运算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算时解答本题的关键，属于中档题.
10．A
【分析】
设, ,，由题意可得点在以为直径的圆周上，设圆心为,
作出图形，过作,交于点,交圆于点,向量在上的投影的长等于向量在上的投影的长.所以向量在上的投影的长的最大值为（当重合时取最大值.），设,则，
则，可得答案.
【解析】
设, ,,则,
对任意实数x，y都有，成立
即对任意实数x，y都有，成立
即，.所以点在以为直径的圆周上.设圆心为.
为向量在上的投影的长.
过作,交于点,交圆于点,如图,由，则
所以向量在上的投影的长等于向量在上的投影.
所以向量在上的投影的长的最大值为（当重合时取最大值.）.
则
设,则，
则
当时，有最大值
所以的最大值以为
故选：A
【小结】
本题考查向量的数量积的最值问题，考查向量的几何意义，考查向量的投影的计算，属于难题.
11．D
【分析】
以为原点，所在直线为轴，建立坐标系.由余弦定理可求出，
结合同角三角函数的基本关系可求出，从而可求出，，，设，用表示向量的坐标，从而可求出的表达式，进而可求出最小值.
【解析】
解：由余弦定理可知，
所以，
如图，以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，则，，设，
因为，，
则，所以，，，
因为，
所以，
则，因为，
当时等号成立，所以，
故选:D.
【小结】
本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.
12．B
【分析】
利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质可得结果.
【解析】
依据题意，建立如图所示平面直角坐标系
设，
由，
所以
则
所以
令，则
所以
当时，有
故选：B
【小结】
本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题.
13．C
【分析】
利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解.
【解析】
连接,设椭圆的基本量为，
,
故答案为：3.
【小结】
本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.
14．A
【分析】
先以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，设的横坐标为，将用表示分段表示出来，再求最小值，再对有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出的取值范围.
【解析】
解：以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系如图所示:
则，，，，
设的横坐标为，则
当时，在上动，，则
当时，的最小值；
当，时，在上动，则，
则，
当时，的最小值
又，
故，，
又有两不等实根，则在有两不等实根，
则在有两不等实根，
则与，有两个交点.
当时，有最小值为，当时，，当时，，
则，的图象如图所示，
即方程有两不等实根有：.
故选：A
【小结】
本题考查了平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，还考查了分析推理能力，运算能力，分类讨论思想，数形结合思想，难度较大.
15．D
【分析】
由向量的加减运算和数量积的性质，可得，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【解析】
解：由题可知，，
若，即为，
可得，即有，
由双曲线的定义可知，
可得，
由于过F2的直线斜率为，
所以在等腰三角形中，，
则，
由余弦定理得：，
化简得：，
即，，
可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为：.
故选：D．
【小结】
本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．
16．C
【分析】
由题意,设向量,的夹角为,由化简求得，设,则,由化简可知即在以为圆心,半径为1的圆上,由点与圆的位置关系分析可得即可得答案.
【解析】
根据题意,设向量,的夹角为,若,
则,
即,解得:.
则在直角坐标系中,设,
则,
则有,若,
则有,
即,
变形可得: ,
点C在以为圆心,半径为1的圆上,设,
则,则有,
则有,
所以的取值范围是
故选:C.
【小结】
本题考查数量积的运算,将平面向量的模转化为点与圆的位置关系问题,属于较难题.
17．C
【分析】
当时，讨论点位置，计算得到，得到时，取最小值，再利用射影定理计算得到答案.
【解析】
当，即，亦即，此时计点位置为，，
当在上时，
；
当在上时，
；
故时，取最小值，
根据直角三角形的射影定理，可得，
故选：C．
【小结】
本题考查了向量数量积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定时，取最小值是解题的关键.
18．B
【分析】
根据题意可设,,则可化简整理为
,其可理解为动点到两定点的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值.
【解析】
由题知是单位向量,且,
故不妨取,,
设
设,,,
则表示动点到两定点的距离之和,
所以,
故选:B.
【小结】
本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.
19．A
【分析】
由，利用正弦定理得到，再由，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到，进而得到，然后利用余弦定理，求得角B，A，C，再由的两边点乘，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x，y的方程组求解.
【解析】
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
如图所示：
由正弦定理得：，
因为，
则，
所以，
即，
则，
所以，
即，
，
.
故选：A.
【小结】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求解的能力，属于难题.
20．C
【分析】
首先根据题中条件得到，的夹角的大小，然后建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
【解析】
记，的夹角为，由，，得，所以．
因为对任意的，的最小值为1，则，所以，．
记，，，以为坐标原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，．由，可设，
则，，
则，
故选：C．
【小结】
本题主要考查向量的数量积与向量的几何意义，考查化归与转化思想、数形结合思想．试题围绕平面向量的有关知识设题，可通过选择基底表示出向量的数量积，或是建立坐标系求解，将向量知识迁移到几何情境中考查，重点考查直现想象、数学运算的核心素养．求解有关平面向量的问题时，若考生能用数形结合的方法，往往可以达到事半功倍的效果，从而快速解题．
21．A
【分析】
将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，由等和线性质可知，，从而可求出实数的取值范围.
【解析】
解：设，则，且，
所以，即，
因为，
所以，
由等和线性质得，解得.
故选:A.
【小结】
本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积运算，考查了等和线性质.本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量.
22．A
【分析】
由题意易知点，的横坐标相等，恒成立，即，将恒成立问题转化为函数的最值问题，进而求解.
【解析】
由题意知，点，的横坐标相等，由恒成立，即，
因为向量，所以点､､三点共线.
由在线段上，得，，
因此的方程为，
由图象可知：，，
故选：A.
【小结】
本题考查函数与方程的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
23．D
【分析】
如图，由，可知，得到，由，可得，得到，由，可得，得到，连接，可得四点共圆，因此，又，可得∽，又，，可得，即可得出.
【解析】
解：如图所示，
因为，
所以
，所以，
因为，
所以
，所以，
因为，
所以，
所以，
连接，因为，
所以四点共圆，所以，
又因为，所以，
所以，
所以∽，所以,
因为，，
所以，所以，
所以
所以
故选：D
【小结】
此题考查向量垂直和数量积的关系，四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质、向量共线定理等知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题.
24．D
【分析】
将目标式两边平方，根据向量数量积的运算，得到关于的一元二次不等式恒成立，由，即可求得结果.
【解析】
因为，两边平方可得恒成立，
因为，故只需，即，
整理得，故只能是，即.
两边同加，则，即，解得.故排除.
两边同加，则，
即.故；
因为，则，
则容易得，则.
故选：D.
【小结】
本题考查向量数量积的运算，涉及一元二次不等式恒成立的条件转化，属综合中档题.
25．C
【分析】
连接分别与两圆交于，连，延长交圆与，连，可得，
，从而有，先固定，根据向量数量积的定义，求出在上投影的最大值和最小值，再利用的范围，即可求解.
【解析】
连接分别与两圆交于，又两圆外切于点，
三点共线，连，延长交圆与，连，
分别为圆，圆的直径，
，
又，，
设为中点，连，
先固定，根据向量数量积的定义，
当在同向投影最大值时为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影
，
当且仅当，等号成立，
同理当在投影最小（在反向上）时，
为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影，
，
当且仅当时，等号成立，
，
所以的数量积取值范围是.
故选：C.
【小结】
本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题.
26．A
【分析】
不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值. 当运动到时且反向时，取得最小值得解.
【解析】
，,易得
设，中点为，中点为
则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形,
，所在直线方程为
因为恒成立，
,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)
即求最小值.
三角形是等边三角形，在单位圆上运动，是中点，
的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆.
又在直线方程为上运动，
当运动到时且反向时，取得最小值
此时到直线的距离
故选：A
【小结】
本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.
平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
27．D
【分析】
根据平面向量基本定理，求得之间的关系式，构造函数，利用导数求其最大值即可.
【解析】
根据题意，作图如下：
设，，故可得，
故可得，，则，且，则，
构造函数，
则，令，解得，
故在区间单调递增，在区间单调递减，
故可得.
故选：D.
【小结】
本题考查平面向量的基本定理，以及利用导数求函数的最值，属综合困难题；本题的关键在于寻找到之间的等量关系，且要注意参数的范围.
28．A
【分析】
在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【解析】
在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
【小结】
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
29．A
【分析】
由可得，又由可得，，则，可知，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，则，平方即可得出答案．
【解析】
解：∵，
∴，即，
又∵，，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，
即，
显然，均小于0不成立，且均不为0，
若一正一负，则，也不成立，
∴，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立，
此时，即，
∴，即，
∴，
故选：A．
【小结】
本题主要考查平面向量的数量积的应用，考查基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题．
30．C
【分析】
先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可.
【解析】
记圆的圆心为，设，则，设，记，则
，令，
因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）.
故选：C
【小结】
此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.
31．AC
【分析】
利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A；利用向量的加法运算可判断B；利用向量的加、减运算可判断C；由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.
【解析】
A，因为非零向量，所以的平分线与垂直，
为等腰三角形，又，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
B，,
，
在平行四边形中，有，
所以原式，故B错误；
C，设正三角形内切圆半径，
由面积相等可得，
解得，令的中点为，从而,
则，,
两式平方作差可得,
即，若要使最大，只需最大
由于为的中点，也为圆与的切点，所以的最大值为，
所以，故C正确；
D，设，，
所以，，
所以，
即在以为圆心，为半径的圆上，
如图：
，所以，
当与圆在下方相切时，与夹角最小，此时为，
当与圆在上方相切时，与夹角最大，此时为，
所以与夹角的范围是，故D错误.
故选：AC
【小结】
本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.
32．ABC
【分析】
先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.计算出，设，结合，可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论.
【解析】
先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.
充分性：若、、三点共线，则存在，使得，即，所以，，
因为，则，充分性成立；
必要性：因为且，
所以，，即，所以，，
所以，、、三点共线.
本题中，取的中点，连接，如下图所示：
、分别为、的中点，则且，
，，即，
，即，，，
，，
、、三点共线，为直线外一点，则且.
，，则，
所以，，可得，由可得，
由基本不等式可得.
当且仅当时，等号成立.
所以，的最小值为，ABC选项均不满足.
故选：ABC.
【小结】
解本题的关键在于以下两点：
（1）利用三点共线的结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.利用该结论推出；
（2）利用基本不等式求出的最小值.
33．BC
【分析】
根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时，只需考虑图中以为起点，6个顶点为终点向量，分别求出即得结论．根据其对称性，可知x+y的最小值．
【解析】
如下图所示：设＝，＝，求x+y的最大值，只需考虑下图中以为起点，6个顶点为终点向量即可，讨论如下：
（1）∵＝，∴；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）﹒
∴x+y的最大值为2+3＝5﹒
根据其对称性，可知x+y的最小值为﹣5﹒
故x+y的取值范围是[﹣5，5]，
观察选项，选项B、C均符合题意．
故选：BC
【小结】
本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，
34．ABD
【分析】
由平面向量的数量积运算可得：，=，
再结合直角三角形中的射影定理可得选项A,B正确，由的符号可得选项C错误，由三角形全等可得选项D正确，综合可得解.
【解析】
解：由,由射影定理可得，
即选项A正确，
由=,由射影定理可得，
即选项B正确，
由,又，即选项C错误，
由图可知，所以，
由选项A,B可得 ，即选项D正确，
故选ABD.
【小结】
本题考查了平面向量的数量积运算、直角三角形中的射影定理及三角形全等，属中档题.
35．
【分析】
根据平面向量加法的几何意义结合圆的几何性质可以确定四边形是菱形，结合菱形的性质、圆的几何性质、平面向量运算法则进行求解即可.
【解析】
如图，与交于点，由得：，
四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴.
故答案为：
【小结】
关键小结：根据及半径相等得到四边形是菱形，以及运用平面向量的运算的性质是解题的关键.
36．
【分析】
设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.
【解析】
由题意，，
∴令，，故有共线，
∵，故当且仅当为最小时，最小，
∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，
∴，即.
故答案为：.
【小结】
应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.
37．
【分析】
分析出点、的位置，作出点所在的平面区域，取的中点，可得出，求出的最大值，即可得解.
【解析】
，
，即，
因为且、、，则、，所以，，
所以，点在的边界及其内部，
因为，则点在如下图所示的封闭区域内，该区域由、、三条线段以及三段分别以、、为圆心，半径为且圆心角为的圆弧围成的区域，
其中四边形、、均为矩形，且，
取的中点，则，，，
所以，，
连接并延长交于点，此时，
因此，.
故答案为：.
【小结】
思路小结：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
38．
【分析】
以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设，可得的坐标，根据数量积公式，可得的表达式，即可求得答案.
【解析】
以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：
因为，，，
所以，设，
则，
所以
=，
当时，有最小值，且为，
故答案为：
【小结】
解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
39．
【分析】
由题意知，由向量的运算性质可得、关于t的函数关系，进而根据所得函数式的几何含义即可求最小值.
【解析】
，
∵，是平面内两个夹角为的单位向量，
∴，
∴，
，
∴，，
即可知：，
令的几何含义为到两定点的距离之和，
∴的最小值，即求的最小值，而关于x轴对称点为，
∴，故的最小值为.
故答案为：.
【小结】
应用向量的数量积及向量的运算性质求向量的模，并得到目标代数式关于t的函数关系，根据将军饮马模型、两点距离公式求最值.
40．2
【分析】
不妨设，根据题意，列出方程，可求得T的轨迹方程，即为的轨迹方程，设，根据，可求得x，y的表达式，代入T的方程，化简整理，可得，即可得N的轨迹方程，根据椭圆的定义，即可求得答案.
【解析】
不妨设，则到直线的距离为，
又，
化简得：，
动点的轨迹方程为，
设
，，
将代入得：，
整理得：，
即，
，
又在曲线上，，，
，即，
的运动轨迹为半长轴，半短轴的椭圆，
，即，
点即为椭圆的两个焦点，
根据椭圆的定义可得，
故答案为：
【小结】
解题的关键是根据向量关系，得到坐标间的关系，结合的方程及题意，可得，再利用椭圆定义求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
41．
【分析】
设，固定后，确定的，过点作的垂线，垂足为，则，故点在定直线上，故的最小值即为点到直线的距离，由此得．点的轨迹为以点为焦点，准线为的抛物线．建立如图直角坐标系得抛物线的标准方程，同时得出的坐标，取的中点，平行于直线作抛物线的切线，切点分别为，切线交轴于点，由向量的运算有，因此当点与点重合时，有最大值，最大值为.求出切线方程后可得．
【解析】
解：如图，设，由于，则
，故．由于，过点作的垂线，垂足为，则，故点在定直线上.
故的最小值即为点到直线的距离.由此.
故点的轨迹为以点为焦点，准线为的抛物线．以的中点为原点建立直角坐标系，则抛物线的方程为，.
取的中点，平行于直线作抛物线的切线，切点分别为，切线交轴于点.
由于，即，故当点位于点时，有最大值，最大值为.
设抛物线上的点，该点处抛物线切线为.令，则，则切线，故点.从而.
故答案为：3．
【小结】
本题考查平面向量的线性运算，解题关键是作在平面上作出固定的三点，然后根据数量积的定义得出点轨迹是一条直线，再根据抛物线定义得出点轨迹是抛物线，建立平面直角坐标系，得出抛物线标准方程，及坐标，特别是利用平行线性质，向量的线性运算的性质，取中点，作与平行的切线，切点为，当与重合时，取得最大值．
42．
【分析】
利用建系的方法，假设，依据条件可得然后作出双曲线，表示出，即可得结果.
【解析】
设
由题可知：，
如图
由
所以，又
所以
则
则
所以
即，其中
如图
即
所以
当三点共线时，
有
当且仅当时，取等号
则的最小值是
故答案为：
【小结】
本题考查向量的综合应用，关键在于平面直角坐标的建立以及得到向量的坐标满足双曲线的方程，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.
43．
【分析】
推导出且为的角平分线，可得出，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出点的轨迹是圆，结合可得出，求出函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围.
【解析】
，即，
，，
由于，则，
所以，为的角平分线，
则点到和的距离相等，所以，，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，
则，，，设点，
由可得，化简可得，
故点是以点为圆心，为半径为圆上的一点，
要使得不等式对圆上任意两点恒成立，而，所以只需对任意的恒成立，，
由于函数在区间上单调递增，则，.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【小结】
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
44．
【分析】
设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值.
【解析】
设，则，
由切线长定理可得，，，
，
圆心的坐标为，则，
由图可得，即，则，
由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
【小结】
本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.
45．
【分析】
通过表示，再利用可计算出，再计算出可得答案.
【解析】
由于M，N分别是边AD，BC的中点，故，，所以
，所以，所以，而，所以，即，故，故答案为
【小结】
本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大.
46．②④
【分析】
根据不等式性质知①错误；根据等比数列求和公式知②正确；根据平面向量数量积和夹角的运算知③错误；利用余弦定理化简知④正确.
【解析】
对于①，由知：，又，，①错误；
对于②，数列是以为公比的等比数列，
，②正确；
对于③，，
，，
，
，，③错误；
对于④，由余弦定理得：
，④正确.
故答案为：②④.
【小结】
本题考查命题真假性的判断，涉及到不等式的性质、等比数列求和、平面向量夹角的计算、余弦定理化简等知识，考查学生对于上述四个部分知识的掌握的熟练程度，属于综合型考题.
47．
【分析】
根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可.
【解析】
中，为边的中点，为的中点，
且，
，
，
同理，，
又与共线，
存在实数，使，
即，
，解得，
，
当且仅当时， “=”成立，故答案为.
【小结】
本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
48．
【分析】
根据题意，设，根据向量的线性运算，利用表示出，求出和，然后利用双钩函数的单调性求出的取值范围.
【解析】
解：由题可知，，设，
则，
所以，
而，
可得：，
所以，
设，
由双钩函数性质可知，在上单调递减，
则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【小结】
本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力.
49．
【分析】
由，可得为的外心，又可得为的垂心，则为的中心，即为正三角形．运用向量的数量积定义可得的边长，以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求得的坐标，再设，由中点坐标公式可得的坐标，运用两点的距离公式可得的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．
【解析】
解: 由，可得为的外心，
又
可得 ，即，
即有，可得为的垂心，
则为的中心，即为正三角形，
由即有，
解得，的边长为，
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，
由，可设，
由，可得为中点，即有，
则
，
当，即时，取得最大值，且为．
故答案为：．
【小结】
本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
50．
【分析】
记，可得出，设直线交于点，设，证明出，设，可得出，然后过点作的平行线交于点，进而得出，求出的最大值和最小值，进而可得出的取值范围.
【解析】
记，从而，
在直线上任取一点，设，
由于，则存在实数，使得，即，
，则，
设直线交直线于点，过点作直线的平行线交直线于点，
则，设，则，
且，即，
由于、不共线，则，，
由于与方向相反，则且，
过点作直线的平行线交于点，
当点与点重合时，此时取得最小值，此时，即；
当点与点重合时，此时取得最大值，
设直线交于点，直线交于点，
易证，可得，
，可得，所以，为线段的中点，
，则，
，则，
取的中点，连接，则，且，从而，
，则，所以，，
所以，的最大值为，即.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【小结】
本题考查利用平面向量的基本定理求含参代数式的取值范围，考查了等和线性质的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于难题.
【挑战满分】压轴小题3：平面向量
一、单选题
1．设向量，，满足，，，则的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线上有两点，且.已知满足，若，则这样的点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知P是函数（）图象上的动点，点，，O为坐标原点，若存在实数，使得成立，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是（ ）．
A．12 B．6 C． D．
6．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
A． B． C． D．
7．若，且，，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．已知平面向量满足：，且，则的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
9．已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则
A． B．4 C．3 D．1
14．如图，在等腰梯形中，，，高为，为的中点，为折线段上的动点，设的最小值为，若关于的方程有两不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．x21 B．
C． D．
16．已知单位向量，满足，若存在向量，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．记在中，为斜边上一动点．设，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
18．已知单位向量，且，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
19．在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则
A． B． C． D．
20．已知向量，满足，，且对任意的，的最小值为1，向量满足，记，，则下列说法正确的是（ ）．
A．存在，使得 B．存在，使得
C．对任意的，恒有 D．对任意的，恒有
21．已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
22．定义域为的函数的图象的两个端点为､，是的图象上任意一点，其中，()，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”.若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
23．已知、、分别是的三边、、上的点，且满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
24．已知，是非零向量，若对任意的实数，有，则（ ）
A． B． C． D．
25．设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26．已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为
A． B． C． D．
27．在三角形中，、分别是边、的中点，点在线段上（不含端点），且，则代数式的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
29．已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时，
A．0 B．1 C． D．
30．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
二、多选题
31．下列说法正确的是（ ）
A．若非零向量，且，则为等边三角形
B．已知，且四边形为平行四边形，则
C．已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1
D．已知向量，则与夹角的范围是
32．在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ）
A． B．1 C．5 D．9
34．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题
35．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为______
36．已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.
37．已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（且、、）．若，则的最大值为__________．
38．在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．
39．已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为________.
40．已知三点到点的距离都是它到直线的距离的倍且，当直线与的斜率之积为（其中为坐标原 点）时，则点与点的距离之和的值为____________
41．已知平面向量满足：.若对满足条件的任意，的最小值恰为.设，则的最大值为_______________________.
42．已知平面向量，，，满足，，，若平面向量（且），则的最小值是______.
43．已知非零向量、不共线，设，定义点集，若对于任意的，当、且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
44．圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值为__________.
45．在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.
46．给出以下几个结论：
①若，，则；
②如果且都不为，则，；
③若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为；
④在中，三内角所对的边分别为，则；
其中正确结论的序号为______．
47．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，其中，则的最小值是_____．
48．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．
49．在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为________.
50．在△中，，，点为△内（包括边界）任意一点，若，则的取值范围为________
【挑战满分】压轴小题3：平面向量
答案解析
1．D
【分析】
由题设知，的夹角为，又，若，则四点共圆或在以O为圆心的圆上，求两种情况下的最值，再确定其最大值即可.
【解析】
由，知：，的夹角为，又，
∴若，即，，
1、如上图，当四点共圆，而，设圆的半径为R，则，即
∴当且仅当OC为圆的直径时，有最大值.
2、如上图，当在以O为圆心的圆上，此时，
综上：的最大值为2.
故选：D.
【小结】
将平面向量转化为点共圆，根据，的夹角为，又，讨论位置关系，进而应用圆的性质确定的最大值.
2．B
【分析】
作，，，取的中点，连接，分析出为等边三角形，可求得，计算得出，利用圆的几何性质求出面积的最大值，即可得出结果.
【解析】
如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，
，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
【小结】
结论小结：已知圆心到直线的距离为，且圆的半径为，则圆上一点到直线距离的最大值为.
3．D
【分析】
根据题设中的等式可得或，所以外接圆的半径，故的个数记为圆心的个数，根据到直线的距离可判断出圆上存在4个不同的点到直线的距离为1，故可得正确答案.
【解析】
因为，故，
故，故，
而，故或.
因为，故外接圆的半径满足，故.
故外接圆的圆心在圆，
设外接圆的圆心为，
则为直线与圆的两个交点，
故的个数即为圆心的个数.
因为，故圆心到直线的距离，
因为到直线的距离为，而，
故圆上存在4个不同的点到直线的距离为1，
故这样的点个数为4个.
故选：D.
【小结】
关键小结：根据向量数量积的坐标形式构建向量的等式关系，从而计算出三角形的外接圆的半径，再根据定弦长把点的存在性问题归结为外接圆的圆心的存在性问题.
4．D
【分析】
设，由把用表示出来，则得出关于的函数，再利用导数的知识求得其最小值．
【解析】
解析：设，由得，解得，
，记，则，所以单调递减，
所以.
故选：D．
【小结】
本题考查向量共线的坐标表示，考查用导数求函数的最值．解题关键是由向量线性运算把表示为的函数．
5．A
【分析】
可证明点是△的垂心，又点是△的外心，可知△是正三角形，则，进而建立直角坐标系，可求得，进而可求出最大值.
【解析】
，即，所以，
同理可得，，所以点是△的垂心.
又，所以点是△的外心，
故△是正三角形，且，
建立如图所示的直角坐标系，，
所以，则，，，
设，由，可设，，
因为，所以为的中点，所以，
则，，
所以，
所以当时，取得最大值12，
即的最大值为12.
故选：A.
【小结】
本题考查平面向量数量积的基本运算，考查平面向量在解决几何问题中的运用，考查学生的计算求解能力，属于难题.
6．B
【分析】
先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.
【解析】
以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，
因此，
因此，设
所以
当时，最小值为选B.
【小结】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
7．D
【解析】
如图所示：，，，
∵，∴点C在劣弧AB上运动，
表示C、D两点间的距离．
的最大值是，最小值为.
故选D
8．C
【分析】
设，且，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果.
【解析】
设，且，如图所示：
则，且等号可以取到.
故选：C.
【小结】
本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题.
9．C
【分析】
建立直角坐标系，设出坐标，求出，然后化简，利用三角函数知识即可求解出它的范围.
【解析】
解：如图建立平面直角坐标系.
设，，则，.
，其中，，从而.
的最大值为：，最小值为：.
当时，取最大值.
，当时，取最小值.
故的取值范围是为.
故选：.
【小结】
本题考查向量数量积的应用，考查转化思想和运算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算时解答本题的关键，属于中档题.
10．A
【分析】
设, ,，由题意可得点在以为直径的圆周上，设圆心为,
作出图形，过作,交于点,交圆于点,向量在上的投影的长等于向量在上的投影的长.所以向量在上的投影的长的最大值为（当重合时取最大值.），设,则，
则，可得答案.
【解析】
设, ,,则,
对任意实数x，y都有，成立
即对任意实数x，y都有，成立
即，.所以点在以为直径的圆周上.设圆心为.
为向量在上的投影的长.
过作,交于点,交圆于点,如图,由，则
所以向量在上的投影的长等于向量在上的投影.
所以向量在上的投影的长的最大值为（当重合时取最大值.）.
则
设,则，
则
当时，有最大值
所以的最大值以为
故选：A
【小结】
本题考查向量的数量积的最值问题，考查向量的几何意义，考查向量的投影的计算，属于难题.
11．D
【分析】
以为原点，所在直线为轴，建立坐标系.由余弦定理可求出，
结合同角三角函数的基本关系可求出，从而可求出，，，设，用表示向量的坐标，从而可求出的表达式，进而可求出最小值.
【解析】
解：由余弦定理可知，
所以，
如图，以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，则，，设，
因为，，
则，所以，，，
因为，
所以，
则，因为，
当时等号成立，所以，
故选:D.
【小结】
本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.
12．B
【分析】
利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质可得结果.
【解析】
依据题意，建立如图所示平面直角坐标系
设，
由，
所以
则
所以
令，则
所以
当时，有
故选：B
【小结】
本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题.
13．C
【分析】
利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解.
【解析】
连接,设椭圆的基本量为，
,
故答案为：3.
【小结】
本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.
14．A
【分析】
先以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，设的横坐标为，将用表示分段表示出来，再求最小值，再对有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出的取值范围.
【解析】
解：以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系如图所示:
则，，，，
设的横坐标为，则
当时，在上动，，则
当时，的最小值；
当，时，在上动，则，
则，
当时，的最小值
又，
故，，
又有两不等实根，则在有两不等实根，
则在有两不等实根，
则与，有两个交点.
当时，有最小值为，当时，，当时，，
则，的图象如图所示，
即方程有两不等实根有：.
故选：A
【小结】
本题考查了平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，还考查了分析推理能力，运算能力，分类讨论思想，数形结合思想，难度较大.
15．D
【分析】
由向量的加减运算和数量积的性质，可得，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【解析】
解：由题可知，，
若，即为，
可得，即有，
由双曲线的定义可知，
可得，
由于过F2的直线斜率为，
所以在等腰三角形中，，
则，
由余弦定理得：，
化简得：，
即，，
可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为：.
故选：D．
【小结】
本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．
16．C
【分析】
由题意,设向量,的夹角为,由化简求得，设,则,由化简可知即在以为圆心,半径为1的圆上,由点与圆的位置关系分析可得即可得答案.
【解析】
根据题意,设向量,的夹角为,若,
则,
即,解得:.
则在直角坐标系中,设,
则,
则有,若,
则有,
即,
变形可得: ,
点C在以为圆心,半径为1的圆上,设,
则,则有,
则有,
所以的取值范围是
故选:C.
【小结】
本题考查数量积的运算,将平面向量的模转化为点与圆的位置关系问题,属于较难题.
17．C
【分析】
当时，讨论点位置，计算得到，得到时，取最小值，再利用射影定理计算得到答案.
【解析】
当，即，亦即，此时计点位置为，，
当在上时，
；
当在上时，
；
故时，取最小值，
根据直角三角形的射影定理，可得，
故选：C．
【小结】
本题考查了向量数量积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定时，取最小值是解题的关键.
18．B
【分析】
根据题意可设,,则可化简整理为
,其可理解为动点到两定点的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值.
【解析】
由题知是单位向量,且,
故不妨取,,
设
设,,,
则表示动点到两定点的距离之和,
所以,
故选:B.
【小结】
本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.
19．A
【分析】
由，利用正弦定理得到，再由，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到，进而得到，然后利用余弦定理，求得角B，A，C，再由的两边点乘，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x，y的方程组求解.
【解析】
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
如图所示：
由正弦定理得：，
因为，
则，
所以，
即，
则，
所以，
即，
，
.
故选：A.
【小结】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求解的能力，属于难题.
20．C
【分析】
首先根据题中条件得到，的夹角的大小，然后建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
【解析】
记，的夹角为，由，，得，所以．
因为对任意的，的最小值为1，则，所以，．
记，，，以为坐标原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，．由，可设，
则，，
则，
故选：C．
【小结】
本题主要考查向量的数量积与向量的几何意义，考查化归与转化思想、数形结合思想．试题围绕平面向量的有关知识设题，可通过选择基底表示出向量的数量积，或是建立坐标系求解，将向量知识迁移到几何情境中考查，重点考查直现想象、数学运算的核心素养．求解有关平面向量的问题时，若考生能用数形结合的方法，往往可以达到事半功倍的效果，从而快速解题．
21．A
【分析】
将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，由等和线性质可知，，从而可求出实数的取值范围.
【解析】
解：设，则，且，
所以，即，
因为，
所以，
由等和线性质得，解得.
故选:A.
【小结】
本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积运算，考查了等和线性质.本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量.
22．A
【分析】
由题意易知点，的横坐标相等，恒成立，即，将恒成立问题转化为函数的最值问题，进而求解.
【解析】
由题意知，点，的横坐标相等，由恒成立，即，
因为向量，所以点､､三点共线.
由在线段上，得，，
因此的方程为，
由图象可知：，，
故选：A.
【小结】
本题考查函数与方程的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
23．D
【分析】
如图，由，可知，得到，由，可得，得到，由，可得，得到，连接，可得四点共圆，因此，又，可得∽，又，，可得，即可得出.
【解析】
解：如图所示，
因为，
所以
，所以，
因为，
所以
，所以，
因为，
所以，
所以，
连接，因为，
所以四点共圆，所以，
又因为，所以，
所以，
所以∽，所以,
因为，，
所以，所以，
所以
所以
故选：D
【小结】
此题考查向量垂直和数量积的关系，四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质、向量共线定理等知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题.
24．D
【分析】
将目标式两边平方，根据向量数量积的运算，得到关于的一元二次不等式恒成立，由，即可求得结果.
【解析】
因为，两边平方可得恒成立，
因为，故只需，即，
整理得，故只能是，即.
两边同加，则，即，解得.故排除.
两边同加，则，
即.故；
因为，则，
则容易得，则.
故选：D.
【小结】
本题考查向量数量积的运算，涉及一元二次不等式恒成立的条件转化，属综合中档题.
25．C
【分析】
连接分别与两圆交于，连，延长交圆与，连，可得，
，从而有，先固定，根据向量数量积的定义，求出在上投影的最大值和最小值，再利用的范围，即可求解.
【解析】
连接分别与两圆交于，又两圆外切于点，
三点共线，连，延长交圆与，连，
分别为圆，圆的直径，
，
又，，
设为中点，连，
先固定，根据向量数量积的定义，
当在同向投影最大值时为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影
，
当且仅当，等号成立，
同理当在投影最小（在反向上）时，
为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影，
，
当且仅当时，等号成立，
，
所以的数量积取值范围是.
故选：C.
【小结】
本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题.
26．A
【分析】
不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值. 当运动到时且反向时，取得最小值得解.
【解析】
，,易得
设，中点为，中点为
则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形,
，所在直线方程为
因为恒成立，
,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)
即求最小值.
三角形是等边三角形，在单位圆上运动，是中点，
的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆.
又在直线方程为上运动，
当运动到时且反向时，取得最小值
此时到直线的距离
故选：A
【小结】
本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.
平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
27．D
【分析】
根据平面向量基本定理，求得之间的关系式，构造函数，利用导数求其最大值即可.
【解析】
根据题意，作图如下：
设，，故可得，
故可得，，则，且，则，
构造函数，
则，令，解得，
故在区间单调递增，在区间单调递减，
故可得.
故选：D.
【小结】
本题考查平面向量的基本定理，以及利用导数求函数的最值，属综合困难题；本题的关键在于寻找到之间的等量关系，且要注意参数的范围.
28．A
【分析】
在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【解析】
在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
【小结】
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
29．A
【分析】
由可得，又由可得，，则，可知，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，则，平方即可得出答案．
【解析】
解：∵，
∴，即，
又∵，，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，
即，
显然，均小于0不成立，且均不为0，
若一正一负，则，也不成立，
∴，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立，
此时，即，
∴，即，
∴，
故选：A．
【小结】
本题主要考查平面向量的数量积的应用，考查基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题．
30．C
【分析】
先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可.
【解析】
记圆的圆心为，设，则，设，记，则
，令，
因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）.
故选：C
【小结】
此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.
31．AC
【分析】
利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A；利用向量的加法运算可判断B；利用向量的加、减运算可判断C；由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.
【解析】
A，因为非零向量，所以的平分线与垂直，
为等腰三角形，又，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
B，,
，
在平行四边形中，有，
所以原式，故B错误；
C，设正三角形内切圆半径，
由面积相等可得，
解得，令的中点为，从而,
则，,
两式平方作差可得,
即，若要使最大，只需最大
由于为的中点，也为圆与的切点，所以的最大值为，
所以，故C正确；
D，设，，
所以，，
所以，
即在以为圆心，为半径的圆上，
如图：
，所以，
当与圆在下方相切时，与夹角最小，此时为，
当与圆在上方相切时，与夹角最大，此时为，
所以与夹角的范围是，故D错误.
故选：AC
【小结】
本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.
32．ABC
【分析】
先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.计算出，设，结合，可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论.
【解析】
先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.
充分性：若、、三点共线，则存在，使得，即，所以，，
因为，则，充分性成立；
必要性：因为且，
所以，，即，所以，，
所以，、、三点共线.
本题中，取的中点，连接，如下图所示：
、分别为、的中点，则且，
，，即，
，即，，，
，，
、、三点共线，为直线外一点，则且.
，，则，
所以，，可得，由可得，
由基本不等式可得.
当且仅当时，等号成立.
所以，的最小值为，ABC选项均不满足.
故选：ABC.
【小结】
解本题的关键在于以下两点：
（1）利用三点共线的结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.利用该结论推出；
（2）利用基本不等式求出的最小值.
33．BC
【分析】
根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时，只需考虑图中以为起点，6个顶点为终点向量，分别求出即得结论．根据其对称性，可知x+y的最小值．
【解析】
如下图所示：设＝，＝，求x+y的最大值，只需考虑下图中以为起点，6个顶点为终点向量即可，讨论如下：
（1）∵＝，∴；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）﹒
∴x+y的最大值为2+3＝5﹒
根据其对称性，可知x+y的最小值为﹣5﹒
故x+y的取值范围是[﹣5，5]，
观察选项，选项B、C均符合题意．
故选：BC
【小结】
本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，
34．ABD
【分析】
由平面向量的数量积运算可得：，=，
再结合直角三角形中的射影定理可得选项A,B正确，由的符号可得选项C错误，由三角形全等可得选项D正确，综合可得解.
【解析】
解：由,由射影定理可得，
即选项A正确，
由=,由射影定理可得，
即选项B正确，
由,又，即选项C错误，
由图可知，所以，
由选项A,B可得 ，即选项D正确，
故选ABD.
【小结】
本题考查了平面向量的数量积运算、直角三角形中的射影定理及三角形全等，属中档题.
35．
【分析】
根据平面向量加法的几何意义结合圆的几何性质可以确定四边形是菱形，结合菱形的性质、圆的几何性质、平面向量运算法则进行求解即可.
【解析】
如图，与交于点，由得：，
四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴.
故答案为：
【小结】
关键小结：根据及半径相等得到四边形是菱形，以及运用平面向量的运算的性质是解题的关键.
36．
【分析】
设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.
【解析】
由题意，，
∴令，，故有共线，
∵，故当且仅当为最小时，最小，
∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，
∴，即.
故答案为：.
【小结】
应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.
37．
【分析】
分析出点、的位置，作出点所在的平面区域，取的中点，可得出，求出的最大值，即可得解.
【解析】
，
，即，
因为且、、，则、，所以，，
所以，点在的边界及其内部，
因为，则点在如下图所示的封闭区域内，该区域由、、三条线段以及三段分别以、、为圆心，半径为且圆心角为的圆弧围成的区域，
其中四边形、、均为矩形，且，
取的中点，则，，，
所以，，
连接并延长交于点，此时，
因此，.
故答案为：.
【小结】
思路小结：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
38．
【分析】
以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设，可得的坐标，根据数量积公式，可得的表达式，即可求得答案.
【解析】
以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：
因为，，，
所以，设，
则，
所以
=，
当时，有最小值，且为，
故答案为：
【小结】
解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
39．
【分析】
由题意知，由向量的运算性质可得、关于t的函数关系，进而根据所得函数式的几何含义即可求最小值.
【解析】
，
∵，是平面内两个夹角为的单位向量，
∴，
∴，
，
∴，，
即可知：，
令的几何含义为到两定点的距离之和，
∴的最小值，即求的最小值，而关于x轴对称点为，
∴，故的最小值为.
故答案为：.
【小结】
应用向量的数量积及向量的运算性质求向量的模，并得到目标代数式关于t的函数关系，根据将军饮马模型、两点距离公式求最值.
40．2
【分析】
不妨设，根据题意，列出方程，可求得T的轨迹方程，即为的轨迹方程，设，根据，可求得x，y的表达式，代入T的方程，化简整理，可得，即可得N的轨迹方程，根据椭圆的定义，即可求得答案.
【解析】
不妨设，则到直线的距离为，
又，
化简得：，
动点的轨迹方程为，
设
，，
将代入得：，
整理得：，
即，
，
又在曲线上，，，
，即，
的运动轨迹为半长轴，半短轴的椭圆，
，即，
点即为椭圆的两个焦点，
根据椭圆的定义可得，
故答案为：
【小结】
解题的关键是根据向量关系，得到坐标间的关系，结合的方程及题意，可得，再利用椭圆定义求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
41．
【分析】
设，固定后，确定的，过点作的垂线，垂足为，则，故点在定直线上，故的最小值即为点到直线的距离，由此得．点的轨迹为以点为焦点，准线为的抛物线．建立如图直角坐标系得抛物线的标准方程，同时得出的坐标，取的中点，平行于直线作抛物线的切线，切点分别为，切线交轴于点，由向量的运算有，因此当点与点重合时，有最大值，最大值为.求出切线方程后可得．
【解析】
解：如图，设，由于，则
，故．由于，过点作的垂线，垂足为，则，故点在定直线上.
故的最小值即为点到直线的距离.由此.
故点的轨迹为以点为焦点，准线为的抛物线．以的中点为原点建立直角坐标系，则抛物线的方程为，.
取的中点，平行于直线作抛物线的切线，切点分别为，切线交轴于点.
由于，即，故当点位于点时，有最大值，最大值为.
设抛物线上的点，该点处抛物线切线为.令，则，则切线，故点.从而.
故答案为：3．
【小结】
本题考查平面向量的线性运算，解题关键是作在平面上作出固定的三点，然后根据数量积的定义得出点轨迹是一条直线，再根据抛物线定义得出点轨迹是抛物线，建立平面直角坐标系，得出抛物线标准方程，及坐标，特别是利用平行线性质，向量的线性运算的性质，取中点，作与平行的切线，切点为，当与重合时，取得最大值．
42．
【分析】
利用建系的方法，假设，依据条件可得然后作出双曲线，表示出，即可得结果.
【解析】
设
由题可知：，
如图
由
所以，又
所以
则
则
所以
即，其中
如图
即
所以
当三点共线时，
有
当且仅当时，取等号
则的最小值是
故答案为：
【小结】
本题考查向量的综合应用，关键在于平面直角坐标的建立以及得到向量的坐标满足双曲线的方程，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.
43．
【分析】
推导出且为的角平分线，可得出，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出点的轨迹是圆，结合可得出，求出函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围.
【解析】
，即，
，，
由于，则，
所以，为的角平分线，
则点到和的距离相等，所以，，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，
则，，，设点，
由可得，化简可得，
故点是以点为圆心，为半径为圆上的一点，
要使得不等式对圆上任意两点恒成立，而，所以只需对任意的恒成立，，
由于函数在区间上单调递增，则，.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【小结】
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
44．
【分析】
设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值.
【解析】
设，则，
由切线长定理可得，，，
，
圆心的坐标为，则，
由图可得，即，则，
由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
【小结】
本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.
45．
【分析】
通过表示，再利用可计算出，再计算出可得答案.
【解析】
由于M，N分别是边AD，BC的中点，故，，所以
，所以，所以，而，所以，即，故，故答案为
【小结】
本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大.
46．②④
【分析】
根据不等式性质知①错误；根据等比数列求和公式知②正确；根据平面向量数量积和夹角的运算知③错误；利用余弦定理化简知④正确.
【解析】
对于①，由知：，又，，①错误；
对于②，数列是以为公比的等比数列，
，②正确；
对于③，，
，，
，
，，③错误；
对于④，由余弦定理得：
，④正确.
故答案为：②④.
【小结】
本题考查命题真假性的判断，涉及到不等式的性质、等比数列求和、平面向量夹角的计算、余弦定理化简等知识，考查学生对于上述四个部分知识的掌握的熟练程度，属于综合型考题.
47．
【分析】
根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可.
【解析】
中，为边的中点，为的中点，
且，
，
，
同理，，
又与共线，
存在实数，使，
即，
，解得，
，
当且仅当时， “=”成立，故答案为.
【小结】
本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
48．
【分析】
根据题意，设，根据向量的线性运算，利用表示出，求出和，然后利用双钩函数的单调性求出的取值范围.
【解析】
解：由题可知，，设，
则，
所以，
而，
可得：，
所以，
设，
由双钩函数性质可知，在上单调递减，
则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【小结】
本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力.
49．
【分析】
由，可得为的外心，又可得为的垂心，则为的中心，即为正三角形．运用向量的数量积定义可得的边长，以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求得的坐标，再设，由中点坐标公式可得的坐标，运用两点的距离公式可得的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．
【解析】
解: 由，可得为的外心，
又
可得 ，即，
即有，可得为的垂心，
则为的中心，即为正三角形，
由即有，
解得，的边长为，
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，
由，可设，
由，可得为中点，即有，
则
，
当，即时，取得最大值，且为．
故答案为：．
【小结】
本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
50．
【分析】
记，可得出，设直线交于点，设，证明出，设，可得出，然后过点作的平行线交于点，进而得出，求出的最大值和最小值，进而可得出的取值范围.
【解析】
记，从而，
在直线上任取一点，设，
由于，则存在实数，使得，即，
，则，
设直线交直线于点，过点作直线的平行线交直线于点，
则，设，则，
且，即，
由于、不共线，则，，
由于与方向相反，则且，
过点作直线的平行线交于点，
当点与点重合时，此时取得最小值，此时，即；
当点与点重合时，此时取得最大值，
设直线交于点，直线交于点，
易证，可得，
，可得，所以，为线段的中点，
，则，
，则，
取的中点，连接，则，且，从而，
，则，所以，，
所以，的最大值为，即.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【小结】
本题考查利用平面向量的基本定理求含参代数式的取值范围，考查了等和线性质的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于难题.
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