高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步练习题，共2页。
知识点1 抛物线的几何性质及其应用
1.以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是( )
A.y2=8x
B.y2=−8x
C.y2=8x或y2=−8x
D.x2=8y或x2=−8y
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆C:(x+1)2+(y−2)2=9相切,则p=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3.[2022江西赣州高三二模]抛物线x2=2py(p>0)与椭圆x212+y22=1交于A,B两点,若△AOB的面积为6(其中O为坐标原点),则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4.已知抛物线的离心率为e,焦点为(0,e),则抛物线的标准方程为 .
5.[2022天津一中高二上期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为x=−1.若M为C上的一个动点,N(3,0),则|MN|的最小值为 .
6.[2022江苏省前黄高级中学学情检测]平面直角坐标系中xOy中,已知顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线恰好经过四个点(1, 1),(2,12),(2,1),(4,2)中的两个,则该抛物线的焦点坐标可以是 .
知识点2 直线与抛物线的位置关系
7.已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(−2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[−1,1]
B.[−1,0)∪(0,1]
C.(−∞,−1]∪[1,+∞)
D.(−∞,−1)∪(1,+∞)
8.抛物线y=−x2上的点到直线4x+3y−8=0的距离的最小值是( )
A.43 B.75 C.85 D.3
9.直线y=x−2与抛物线y2= 2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB(O为坐标原点),则p=( )
A.12 B.1 C.32 D.2
10.[2022江苏南通如东高二上期中]已知O为坐标原点,A,B为抛物线y2=2px(p>0)上异于点O的两个动点,且∠AOB=90°.若点O到直线AB的距离的最大值为8,则p的值为 .
11.[2022陕西西安长安一中高二上期中]已知点M(−1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点有斜率存在且不为0的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则直线AB的方程为( )
A.2x−y−2=0 B.x−y−1=0
C.2x+y−2=0 D.x+y−1=0
12.(多选)[2022山东高二“山东学情”期中联考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4,直线l过点F且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若M(m,2)是线段AB的中点,则( )
A.p=4
B.抛物线的方程为y2=16x
C.直线l的方程为y=2x−4
D.|AB|=10
13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10).因为焦点与原点之间的距离为2,所以p2=2,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=−8x.故选C.
2.C 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=−p2.由题意知直线x=−p2与圆C:(x+1)2+(y−2)2=9相切,所以−p2=−1−3,解得p=8,故选C.
3.B 由抛物线与椭圆的对称性,知A,B关于y轴对称,不妨设A(x0,y0),B(−x0,y0)(x0>0).因为△AOB的面积为6,所以S△AOB=12×2x0y0=x032p=6.又x0212+y022=1,即x02+3x042p2=12,所以x04−12x02+36=0,解得x02=6,则p=3.
4.x2=4y 解析 由e=1,得焦点为(0,1),所以抛物线的标准方程为x2=4y.
5.22 解析 由题意知p=2,所以抛物线C:y2=4x.设M(x0,y0)(x0≥0).由题意知y02=4x0,则|MN|2=(x0−3)2+y02=(x0−3)2+4x0=(x0−1)2+8≥8,当x0=1时,|MN|2取得最小值8,所以|MN|的最小值为22.
6.(14,0)(答案不唯一) 解析 因为题中的四个点均在第一象限,所以抛物线的方程为y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0).若抛物线的方程为y2=2px(p>0),将(1,1)代入得p=12,则y2=x,此时点(4,2)在抛物线上,符合题意,所以抛物线的焦点坐标为(14,0).(焦点坐标还可以是(0,2).)
7.A 由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0.当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2−8)2−4k2·4k2=64(1−k2)≥0,解得−1≤k