数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式测试题

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一、选择题（共16小题）
1. P 点在直线 3x+y−5=0 上，且 P 点到直线 x−y−1=0 的距离为 2 ，则 P 点坐标为
A. 1,2B. 2,1
C. 1,2 或 2,−1D. 2,1 或 −1,2

2. 直线 l1，l2 分别过点 P−1,3，Q2,−1，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保持平行，则 l1，l2 之间的距离 d 的取值范围为
A. 0,+∞B. 0,5C. 0,5D. 0,17

3. 若两平行直线 l1:x−2y+m=0 （ m>0 ）与 l2:x+ny−3=0 之间的距离是 5 ，则 m+n=
A. 0B. 1C. −1D. 2

4. 点 F3m+3,0 到直线 3x−3my=0 的距离为
A. 3B. 3mC. 3D. 3m

5. 点 A5,0，B1,−43 到直线的距离都是 4，满足条件的直线有
A. 一条B. 两条C. 三条D. 四条

6. 设直线 l1:x+3y−7=0 与直线 l2:x−y+1=0 的交点为 P，则 P 到直线 l：x+ay+2−a=0 的距离最大值为
A. 10B. 4C. 32D. 11

7. 直线 l 过点 2,2，且点 5,1 到直线 l 的距离为 10，则直线 l 的方程是
A. 3x+y+4=0B. 3x−y+4=0C. 3x−y−4=0D. x−3y+4=0

8. 已知 D 为原点，点 P 在直线 x+y−1=0 上运动，那么 OP 的最小值为
A. 22B. 1C. 2D. 22

9. 已知点 P1,2，直线 l:y=2x−5，则点 P 到 l 的距离为
A. 5B. 5C. 3D. 1

10. 点 0,−1 到直线 y=kx+1 距离的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 2

11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的方程为 y=x+2，则原点 O 到直线 l 的距离是
A. 12B. 22C. 2D. 2

12. 经过两直线 x+3y−10=0 和 3x−y=0 的交点，且和原点相距为 1 的直线的条数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

13. 已知点 P 是 x 轴上的点，且点 P 到直线 3x−4y+6=0 的距离为 6，则点 P 的坐标为
A. −6,0B. −12,0
C. −12,0 或 8,0D. −6,0 或 6,0

14. 已知点 a,1 到直线 x−y+1=0 的距离为 1，则 a 的值为
A. 1B. −1C. 2D. ±2

15. 若 P，Q 分别为直线 3x+4y−12=0 与 6x+8y+5=0 上任意一点，则 PQ 的最小值为
A. 95B. 185C. 2910D. 295

16. 若方程 y=ax 和 y=x+aa>0 所表示的曲线有两个公共点，则实数 a 的取值范围是
A. a>1B. 0C. 01D. ∅

二、填空题（共7小题）
17. P 、 Q 分别为直线 3x+4y−12=0 与 6x+8y+6=0 上任意一点，则 ∣PQ∣ 的最小值为 ．

18. 若 O 为坐标原点，P 是直线 x−y+2=0 上的动点，则 OP 的最小值为 ．

19. 已知两平行线直线分别过点 P−2,−2，Q1,3，设此两平行直线之间的距离为 d，则 d 的取值范围为 ．

20. 若直线 l 的倾斜角是 34π，且与点 −1,−2 之间的距离是 32，则直线 l 的方程是 ．

21. 如图，△ABC 是边长为 1 的正三角形，M，N 分别为线段 AC，AB 上的点，满足 AM:MC=1:2，AN:NB=1:3，CN 与 BM 的交点为 P，则线段 AP 的长度为 ．

22. 已知点 A−2,0，B0,4 到直线 l：x+my−1=0 的距离相等，则 m 的值为 ．

23. 当 m 变化时，两条平行直线 3x−4y+m−1=0 和 3x−4y+m2=0 间的距离的最小值等于 ．

三、解答题（共5小题）
24. 两条平行直线间的距离公式要注意什么?

25. 已知点 A2,−3，B−3,−2，且直线 l:kx−y−k+1=0 与线段 AB 有公共点，求实数 k 的取值范围．

26. 已知 P11,0，P27,−8 两点分别在直线 l 的两侧，且 P1，P2 到直线 l 的距离均为 4，求直线 l 的方程．

27. 在 △ABC 中，A3,3，B2,−2，C−7,1，求 ∠BAC 的平分线 AD 所在直线的方程．

28. 已知点 P12,3，P2−4,5 和 A−1,2，求过点 A 且与点 P1，P2 距离相等的直线．
答案
1. C
【解析】设 P 点坐标为 x,5−3x，则 P 点到直线 x−y−1=0 的距离 d=∣x−5−3x−1∣2=4x−62=2，
所以 ∣2x−3∣=1，所以 x=1 或 x=2．所以 P 点坐标为 1,2 或 2,−1．
2. B
【解析】画出图形（图略），可得 0又 ∣PQ∣=−1−22+3+12=5，
所以 03. A
【解析】因为两平行直线 l1:x−2y+m=0m>0 与 l2:x+ny−3=0 之间的距离为 5，
所以 n=−2,m+35=5
所以 n=−2，m=2 （负值舍去）.
所以 m+n=0．
4. A
【解析】由点到直线的距离公式得点 F3m+3,0 到直线 3x−3my=0 的距离为 3⋅3m+33m+3=3．
5. C
6. A
【解析】由 x+3y−7=0,x−y+1=0 得 x=1,y=2,
故 P1,2．
直线 l 的方程可整理为 x+2+ay−1=0，故直线 l 过定点 Q−2,1．
因为 P 到直线 l 的距离 d≤∣PQ∣，当且仅当 l⊥PQ 时等号成立，
所以 dmax=1+22+2−12=10．
7. C
【解析】由已知，设直线 l 的方程为 y−2=kx−2，
即 kx−y+2−2k=0，所以 ∣5k−1+2−2k∣k2+−12=10，
解得 k=3，所以直线 l 的方程为 3x−y−4=0．
8. A
9. A
10. B
【解析】由 y=kx+1 可知直线过定点 P−1,0，设 A0,−1，
当直线 y=kx+1 与 AP 垂直时，点 A 到直线 y=kx+1 距离最大，即为 ∣AP∣=2．
11. C
【解析】由点到直线的距离公式得点 O 到直线 l 的距离是 0−0+212+12=2．
12. C
【解析】设所求直线 l 的方程为 x+3y−10+λ3x−y=0，
即 1+3λx+3−λy−10=0，
因为原点到直线的距离 d=∣−10∣1+3λ2+3−λ2=1，
所以 λ=±3，即直线方程为 x=1 或 4x−3y+5=0．
13. C
【解析】设点 P 的坐标为 x,0．
由点 P 到直线 3x−4y+6=0 的距离为 6，
得 3x−4×0+632+−42=6，
即 3x+6=30，
所以 3x+6=±30，
解得 x=8 或 x=−12．
所以点 P 的坐标为 8,0 或 −12,0．
故选C．
14. D
【解析】由题意，得 ∣a−1+1∣12+−12=1，即 ∣a∣=2，解得 a=±2．
15. C
【解析】因为 36=48≠−125，
所以两直线平行，
由题意可知 PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，
即 −24−562+82=2910，
所以 PQ 的最小值为 2910．
16. A
17. 3
【解析】6x+8y+6=0 化为 3x+4y+3=0，则 ∣PQ∣ 的最小值为 3+1232+42=3．
18. 2
19. 0,34
【解析】由题意，当两平行线无限接近于重合时距离 d 无限接近于 0，距离最大时两条平行线均与直线 PQ 垂直，
此时 d 为 P−2,−2，Q1,3 之间的距离 −2−12+−2−32=34．
20. x+y−3=0 或 x+y+9=0
21. 1911
22. −12 或 1
【解析】由点到直线的距离公式可得 −2−11+m2=4m−11+m2，
即 4m−1=3，
解得 m=−12或1．
23. 320
【解析】d=∣m2−m+1∣5=m−122+345≥320，
且当 m=12 时取等号．
24. ①把直线方程化为一般式方程；
②两直线方程中 x，y 的系数必须对应相等．
25. 直线 l 与线段 AB 有公共点，则点 A，B 或在直线 l 的两侧或有一点在直线 l 上，则 δ1⋅δ2≤0，即
δ1⋅δ2=2k+3−k+1k2+1⋅−3k+2−k+1k2+1=k+4−4k+3k2+1≤0．
解不等式，得 k≤−4 或 k≥34．
26. y=−4 或 24x−7y−124=0．
27. 设 Mx,y 为 ∠BAC 的平分线 AD 上的任意一点，
由已知可求得 AC 边所在直线的方程为 x−5y+12=0，AB 边所在直线的方程为 5x−y−12=0．
由角平分线的性质得 ∣x−5y+12∣26=∣5x−y−12∣26，
所以 x−5y+12=5x−y−12 或 x−5y+12=−5x−y−12，即 y=−x+6 或 y=x．
结合图形，如图，
可知 kAC所以 y=−x+6 不合题意，舍去．
故 ∠BAC 的平分线 AD 所在直线的方程为 y=x．
28. 方法一（待定系数法）：
若过点 A 的直线 l 的斜率不存在，则 l:x=−1，
点 P1 到直线 l 的距离 d1=∣2−−1∣=3，
点 P2 到直线 l 的距离 d2=∣−4−−1∣=3．
由于 d1=d2，故 x=−1 满足题意．
若过点 A 的直线 l 的斜率存在，
设过点 A 的直线 l 的方程为 y−2=kx+1，即 kx−y+k+2=0．
由点 P1，P2 到直线 l 的距离相等，
得 ∣2k−3+k+2∣k2+1=∣−4k−5+k+2∣k2+1，
化简得 ∣3k−1∣=∣−3k−3∣，
解得 k=−13．
综上，所求直线的方程为 y−2=−13x+1 或 x=−1，即 x+3y−5=0 或 x+1=0．
方法二（数形结合）：
设所求直线为 l，由于 l 过点 A 且与 P1，P2 距离相等，所以 l 有两种情况，如图．
①当 P1，P2 在 l 的同侧时，有 l∥P1P2，
此时求得 l 的方程为 y−2=5−3−4−2x+1，
即 y−2=−13x+1．
②当 P1，P2 在 l 的异侧时，l 必过 P1，P2 的中点 B−1,4，
此时 l 的方程为 x=−1，
综上，所求直线 l 的方程为 y−2=−13x+1 或 x=−1，即 x+3y−5=0 或 x+1=0．