河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

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一、选择题（每小题3分，总30分）
1．下列方程①，②，③，④，
⑤中，一定是一元二次方程有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
2．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．抛物线向左平移三个单位、再向上平移两个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．若则，有一根是（ ）
A．B．C．D．
6．函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的图像与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．且
8．如果，那么的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或3
9．已知二次函数的图像如下图所示，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（ ）
A．13B．11或13C．11D．12
二、填空题（每小题3分．其30分）
11．如果是关于的二次函数，则______．
12．某年中国足球超级联赛实行主客场的循环赛，即每两只球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的球队有多少支？设参加比赛的球队有支，可列方程为：______（不解方程）．
13．已知是关于的方程的一个根，则______．
14．已知抛物线与轴交于，则一元二次方程的根是______．
15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
16．已知点在抛物线，则的大小关系是______（用“”连接）．
17．某种商品经过两次降价后（每次降价的百分率相同）的价格为降价前的，则每次降价的百分率为______．
18．已知二次函数，当时、随的增大而增大，则的取值范围是______．
19．抛物线的顶点在坐标轴上，则的值为______．
20．抛物线与轴交于两点，点为抛物线上一点，且，则点坐标是______．
三、计算与解答（共60分）
21．解方程：
①②
③④
22．某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（最大可用长度为30米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲场（长方形的宽为米．
（1）饲养场的长为______米（用含的代数式表示）；
（2）若饲养场的面积为，求该饲养场的长和宽．
23．求二次函数在范围内的最小值和最大值．
24．已知二次函数图象的顶点是，且过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上．
25．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
26．如图①，抛物线与轴交与两点．
图① 图②
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设抛物线与轴交于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点．使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，是线段上的一个动点．过点作轴的平行规交抛物线于点，求线段长度的最大值：
参考答案
一、选择题（每小题3分，总30分）
1．【答案】 A
【解析】 解：①，是一元二次方程；
②，含有3次项，不是一元二次方程；
③，当时，原方程不是一元二次方程；
④，含有2个未知数，不是一元二次方程，
⑤，是分式方程，不是一元二次方程，故选A
2．【答案】 C
【解析】 解：依题意得八、九月份的产量为、，．故选：C．
3．【答案】 C
【解析】 解：抛物线向左平移三个单位、再向上平移两个单位，
得到的抛物线为，
即，顶点坐标为．故选C．
4．【答案】 C
【解析】 解：由题意得：，解得：，
，，，
抛物线的顶点在第三象限，故选C．
5．【答案】 D
【解析】 ，，
将代入中，得：，
将方程左边因式分解得：，当时，方程成立，
即方程的一个根为：，故选：D．
6．【答案】 C
【解析】 根据可得：函数的对称轴为：，
当时，二次函数的图象开口向上，抛物线在轴右侧，
一次函数的图象交于轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限；
当时，二次函数的图象开口向下，抛物线在轴左侧，
一次函数的图象交于轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限；
根据上述结果：可知A、B、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项C符合题意，故选：C．
7．【答案】 A
【解析】 当函数为一次函数时，即，
此时函数为：，即一次函数与轴有交点；
当函数为二次函数时，即，令，
根据二次函数与轴有交点，可知方程，方程的判别式，
即，解得：，
此时的取值范围是且；综上：的取值范围是．故选：A．
8．【答案】 C
【解析】 设，则原方程变形为，解得或．故选：C．
9．【答案】 D
【解析】 抛物线与轴有两个交点 ，故①正确；
抛物线开口向下 抛物线与轴交点在轴上方
对称轴 ，故②正确；
没有实数根 直线与抛物线没有交点，故③正确故选：D
10．【答案】 B
【解析】 ，分解因式得：，
可得或，解得：，
若3为底边，5为腰时，三边长分别为，周长为；
若3为腰，5为底边时，三边长分别为，周长为，
综上，的周长为11或13．故选B
11．【答案】
【解析】 根据二次函数的定义：，且，解得：故答案为
12．【答案】
【解析】 解：设参加比赛的球队有支，由题意得：每两只球队之间都要踢两场，
，整理得：；故答案为：．
13．【答案】
【解析】 解：是关于的方程的一个根，
，即，
，故答案为：．
14．【答案】
【解析】 解：抛物线与轴交于，
即自变量为和5时，函数值为0，
方程的两根为．故答案为：．
15．【答案】 且
【解析】 由题意，得
，且，
解得：且，故答案为：且．
16．【答案】
【解析】 解：，，对称轴为：，
抛物线的开口朝下，图象上点离对称轴越远，函数值越小，
，
；故答案为：．
17．【答案】
【解析】 解：设该种商品每次降价的百分率为，
依题意得：，解得：，或（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为．故答案为：
18．【答案】
【解析】 二次函数的解析式为，
二次函数图象的对称轴为，函数图象的开口向上，
在对称轴的右边函数值随着的增大而增大，
故只要时，当时，随的增大而增大，
的取值范围为．故答案为：．
19．【答案】 或
【解析】 当抛物线的顶点在轴上时
，即解得：或
当抛物线的顶点在轴上时
，解得
综上所述，的值为或．
20．【答案】
【解析】 设点的纵坐标为：，
令，解得，或则，
则抛物线与轴的交点两点的坐标为：，
则，，
，，
当时，有：，解得：，
即此时点的坐标为：；
当时，有：，解得：，
即此时点的坐标为：；
故答案为：．
21．【答案】 ①；②；③；
④，
【解析】 ①解：
，解得；
②，，解得：；
③，，
即，解得：；
④，，
即，
，解得：．
22．【答案】 （1）；（2）饲养场的长为27米，宽为11米．
【解析】 （1）如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，
饲养场的长为，故答案为：；
（2）由（1）饲养场面积为整理得：，解得，
当时，，不符合要求舍去
当时，，符合要求
，答：饲养场的长为27米，宽为11米．
23．【答案】 最大值为；最小值为
【解析】
抛物线的对称轴为，顶点坐标为
当时，取得最小值；当时，取得最大值．
24．【答案】 （1）（2）见解析
【解析】： （1）可设此二次函数的表达式为，把点代入即可解得值，所以，作图即可；
（2）把点代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．
试题解析：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，又点在它的图象上，所以，解得，，所求为，或．
（2）证明：若点在此二次函数的图象上，
则，得，
方程的判别式：，该方程无实根，
所以，对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上．
25．【答案】 （1）；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
【解析】 （1）．
（2）设每星期利润为元，．
时，最大值．每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
（3）由题意，解得，
当时，销售，当时，销售，
该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
26．【答案】 （1）（2）存在，（3）
【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，利用待定系数法求出直线的解析式为：，连接，利用勾股定理可得，则的周长为：，根据两点关于抛物线对称轴对称，点在抛物线的对称轴上，可得，即，即当点三点共线时，可得到的周长最小，将代入直线的解析式中，即可求出点坐标；
（3）根据是线段上的一个动点，设点坐标为：，且，则可得点坐标为：，结合图象，根据题意有：，即，整理得：，则问题随之得解．