2023_2024学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语质量评估新人教A版必修第一册 试卷

第一章质量评估

(时间:120分钟　分值:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数为 (　　)

A.1　　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

答案:B

2.已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B= (　　)

A.{-1,2}  

B.{1,2} 

C.{1,4} 

D.{-1,4}

答案:B

3.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩(∁UB)= (　　)

A.{3}       B.{1,6} 

C.{5,6}      D.{1,3}

答案:B

4.若集合M={x|x>1},N={x∈Z|0≤x≤4},则(∁RM)∩N等于 (　　)

A.{0}       B.{0,1} 

C.{0,1,2}      D.{2,3,4}

答案:B

5.设x是实数,则“x>0”是“|x|>0”的 (　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案:A

6.命题“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是 (　　)

A.∃x0>0,使得-x0 ≤0

B.∃x0>0,使得-x0>0

C.∀x>0,都有x2-x>0

D.∀x≤0,都有x2-x>0

答案:B

7.已知集合A={0,a},B={x|-1<x<2},且A⊆B,则a可以是 (　　)

A.-1       B.0 

C.1        D.2

答案:C

8.已知集合A为实数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的 (　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案:B

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知M={x∈R|x≥2},a=π,下列式子正确的是 (　　)

A.a∈M 

B.{a}⊆M

C.a⊆M 

D.{a}∩M=π

答案:AB

10.已知命题p:∃x∈R,x2+1<2x;命题q:若mx2-mx-1≠0恒成立,则-4<

m<0.则  (　　)

A.p的否定是假命题 

B.q的否定是真命题

C.p与q都为假命题 

D.p与q都为真命题

答案:BC

11. 对任意实数a,b,下列命题中为真命题的是 (　　)

A.“|a|=|b|”是“a=b”的充要条件

B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件

C.“a<5”是“a<3”的必要条件

D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

答案:CD

12.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数可能是              (　　)

A.5        B.6 

C.7        D.8

答案:AB

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.设集合A={1,2,3,4},B={0,1,2,4,5},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有3个.

14.如图,I是全集,M,P,S是I的子集,阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS) . 

15.若“函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交”是“a>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是m>3.

16.已知命题p:∀m∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1≠0恒成立.若p与q不同时为真命题,则m的取值范围是{m|m≤-2或m>-1}.

四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10分)已知全集U为R,集合A={x|0<x≤2},B={x|x<-3或x>1}.求:

(1)A∩B;

(2)(∁UA)∩(∁UB);

(3)∁U(A∪B).

解:∁UA={x|x≤0或x>2},∁UB={x|-3≤x≤1},A∪B={x|x<-3或x>0}.

(1)A∩B={x|1<x≤2}.

(2)(∁UA)∩(∁UB)={x|-3≤x≤0}.

(3)∁U(A∪B)={x|-3≤x≤0}.

18. (12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.

(1)能被6整除的数一定是偶数;

(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;

(3)矩形的对角线相等;

(4)∃x0∈Z, =2.

解:(1)本题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的能被6整除的数都为偶数”,是全称量词命题,且为真命题.

(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,且为真命题.

(3) 本题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的矩形的对角线都相等”,是全称量词命题,且为真命题.

(4)命题中含有存在量词“∃”,是存在量词命题,且为假命题.

19. (12分)已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a<x≤a+1,a<1},B⊆A,求实数a的取值范围.

解:因为a<1,所以2a<a+1,所以B≠⌀.

画数轴如图所示.

由B⊆A知,a+1<-1或2a≥1,即a<-2或a≥.

由已知a<1,所以a<-2或≤a<1,

即所求a的取值范围是(-∞,-2)∪.

20. (12分)已知U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={4},求A∪B.

解:因为(∁UA)∩B={2},所以2∈B,且2∉A.

因为A∩(∁UB)={4},所以4∈A,且4∉B.

分别代入得42+4p+12=0,22-5×2+q=0,

所以p=-7,q=6,所以A={3,4},B={2,3},

所以A∪B={2,3,4}.

21. (12分)已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R}.

(1)若A是空集,求a的取值范围;

(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.

解:(1)若A是空集,则方程ax2-3x+1=0无实数根.

当a=0时,x=,不符合题意,舍去;

当a≠0时,Δ=9-4a<0,解得 a>.

因此若A是空集,则a的取值范围是.

(2)若A中至多有一个元素,则A=⌀或A中只有一个元素.

当A=⌀时,由(1)知a∈;

当A中只有一个元素时,可得a=0或即a=0或 a=.

综上所述,若A中至多有一个元素,则a的取值范围是.

22. (12分)设a,b,c为△ABC中与∠A,∠B,∠C分别对应的三边,求证:关于x的方程 x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是

∠A=90°.

证明:充分性:因为∠A=90°,所以a2=b2+c2.

于是方程x2+2ax+b2=0 可化为x2+2ax+a2-c2=0,

即(x+a+c)(x+a-c)=0,

所以该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),

同理另一方程x2+2cx-b2=0 也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,即(x+c+a)(x+c-a)=0,

所以该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).

可以发现,x1=x3,所以方程有公共根.

必要性:设x是方程的公共根,则

由①+②,解得x=-(a+c)或x=0.当x=0时,此时b=0,不合题意(舍去).当x=-(a+c)时,此时将x的取值代入①并整理,得a2=b2+c2.所以∠A=90°.

所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.