2023_2024学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式第一课时实数大小的比较与不等式分层演练新人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式 第1课时 实数大小的比较与不等式

A级　基础巩固

1.若M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是 (　　)

A.M>N　　　　　　　

B.M=N

C.M<N 

D.与x有关

答案:A

2.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论正确的是 (　　)

A.a+b>0 

B.a-b>0

C.ab>0 

D.>0

解析:由题意得-1<a<0,b>1,所以a,b异号,且|a|<|b|.

所以a+b>0,A正确;

a-     b=-|a+b|<0,B错误;

b-     ab<0,C错误;

c-     <0,D错误.

答案:A

3.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是 (　　)

A.P<Q 

B.P=Q

C.P>Q 

D.不能确定

解析:因为P2-Q2=2-2=2-

2<0,

P>0,Q>0,所以P<Q.故选A.

答案:A

4.若x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则x与y的大小关系是x<y.

解析:因为x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,所以x<y.

5.若a>b,则a3与b3的大小关系是a3>b3.

解析:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·[(a+)2+b2].

因为a>b,所以a-b>0,a+2+b2>0,

所以a3-b3>0,所以a3>b3.

B级　能力提升

6.多选题下列不等式成立的是 (　　)

A.a2+2>2a 

B.a2+b2≥2(a-b-1)

C.a2+b2≥ab 

D.+1<

解析:因为a2+2-2a=(a-1)2+1>0,所以a2+2>2a,选项A正确;

因为a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以选项B正确;

因为a2+b2-ab=a2-ab++=(a-)2+≥0,所以选项C正确;

因为+1-=+>0,所以选项D错误.

答案:ABC

7.多空题某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员数和产值如下:

要使总产值最高,则A类电子器件应开发20件,总产值最高为330万元.

解析:设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件,总产值y万元.故有

+≤20,解得x≤20.

由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取最大值330.

所以应开发A类电子器件20件,总产值最高为330万元.

8.下表为几种球类比赛的门票价格.某人准备用 1 200元预订15张下表中球类比赛的门票,其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同,且预订篮球比赛门票的费用不超过预订足球比赛门票的费用,求可以预订的足球比赛的门票数.

解:设预订篮球比赛的门票数与乒乓球比赛的门票数都是n(n∈N*)张,则足球比赛门票预订了(15-2n)张,

由题意,得

解得5≤n≤.

由n∈N*,得n=5,所以15-2n=5.

所以可以预订的足球比赛的门票数为5.

C级　挑战创新

9.已知正数a,b,c满足ab+bc+ca=1,求证:(a+b+c)2≥3.

证明:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,

所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)(当且仅当a=b=c时取等号),

所以a2+b2+c2≥1,

所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥1+2,

所以(a+b+c)2≥3.