高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第二课时当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第二课时当堂达标检测题，共7页。试卷主要包含了当x>0时,f=的最大值为，若x>0,则函数y=-x-，设a,b为正实数,且+=2等内容，欢迎下载使用。

1.当x>0时,f(x)=的最大值为( )
A.B.1
C.2D.4
答案:B
2.若x>0,则函数y=-x-( )
A.有最大值-2
B.有最小值-2
C.有最大值2
D.有最小值2
答案:A
3.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆长度是( )
A.30 mB.36 m
C.40 mD.50 m
答案:C
4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为2.
5.(2023年广东模拟)已知x>0,y>0,且4x+y=1,则+的最小值是25.
解析:因为x>0,y>0,且4x+y=1,
所以+=(4x+y)(+)=4+++9≥13+2=25,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立.
B级 能力提升
6.若正实数x,y满足+=1,且x+>a-3恒成立,则实数a的取值范围为a<7.
解析:由题意,知x+=(x+)(+)=2++.
因为x>0,y>0,所以>0,>0,
所以+≥2=2,当且仅当=,即
4x=y时取等号,
所以x+≥4,所以a-3<4,解得a<7.
7.多空题若实数a,b满足a2+b2+ab=1,则ab最大值为,a+b的最小值为-.
解析:由1=a2+b2+ab≥2ab+ab,得ab≤,当且仅当a=b=时等号成立.由1=a2+b2+ab=(a+b)2-ab,得ab=(a+b)2-1,而ab≤()2,所以(a+b)2-1≤()2,解得-≤a+b≤,当且仅当a=b=-时取得最小值.
8.设a,b为正实数,且+=2.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.
解:(1)由2=+≥2,得ab≥,
当且仅当a=b=时取等号.
故a2+b2≥2ab≥1,当且仅当a=b=时取等号.
所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=时取得最小值.
(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得≥4ab,
即-≥4ab,从而ab+≤2.
又因为ab+≥2,当且仅当ab=1时取等号,
所以ab+=2,所以ab=1.
9.某市准备建一个综合性休闲广场,其示意图如图所示.已知矩形广场的总面积为2 000 m2,其中阴影部分为通道,通道的宽均为1 m,中间的两个小矩形完全相同.
(1)用矩形的宽x(单位:m)表示中间的三个矩形的总面积S(单位:m2)的函数解析式,并给出定义域.
(2)当矩形的宽x为何值时,S取得最大值?并求出最大值.
解:(1)因为矩形广场的总面积为2 000 m2,
所以xy=2 000,即y=.
因为2a+2=y,所以2a=y-2=-2,
所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(-1)= 2 005-(+2x),3(2)S=2 005-(+2x)≤2 005-2=1 805.当且仅当2x=,即x=50时,等号成立,此时S取得最大值1 805 m2.
C级 挑战创新
10.多选题一个矩形的周长为l,面积为S,其中可作为(l,S)的取值的实数对是( )
A.(4,1)
B.(8,6)
C.(10,8)
D.(3,)
解析:依题意设矩形的长、宽分别为a,b,则有
即l=2(a+b)≥4=4,所以≥4.
对于选项A,=4;
对于选项B,<=4;
对于选项C,=<=4;
对于选项D,=
3>4.
因此,其中可作为(l,S)的取值的实数对是选项A和D.
答案:AD