2023_2024学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式质量评估新人教A版必修第一册 试卷

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第二章质量评估(时间:120分钟　分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不等式x2+5x-6>0的解集是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.{x|x<-2,或x>3}B.{x|-2<x<3}C.{x|x<-6,或x>1} D.{x|-6<x<1}解析:因为x2+5x-6>0,所以(x-1)(x+6)>0,所以x>1或x<-6.答案:C2.若实数a,b满足ab>0,则a2+4b2+的最小值为 (　　)A.8　　  B.6　　  C.4　　  D.2解析:实数a,b满足ab>0, 则a2+4b2+≥4ab+≥4,当且仅当a2=1,b2=时等号成立.答案:C3.某产品的总成本y(单位:万元)关于产量x(单位:台)的函数解析式为y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是              (　　)A.100台　 B.120台　 C.150台　 D.180台解析:由题意,得3 000+20x-0.1x2≤25x,即x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故选C.答案:C4.若集合A={x|x2-10x+21≤0},B={x|-7≤5-2x≤4},则A∩B= (　　)A.{}x|≤x≤3} B.{x|3≤x≤6}C.{x|-2≤x≤7} D.{x|6≤x≤7}解析:因为A={x|3≤x≤7},B={x|≤x≤6},所以A∩B={x|3≤x≤6}.答案:B5.若a,b都为正实数,2a+b=1,则ab的最大值是 (　　)A.　    B.　    C.　    D.解析:因为a,b都为正实数,2a+b=1,所以ab=≤=,当且仅当2a=b,即a=,b=时,ab取得最大值.答案:B6.若关于x的不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为 (　　)A.m< B.-<m<C.-≤m≤ D.m≥解析:因为关于x的不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,所以Δ>0,即1-4m2>0,所以-<m<.答案:B7.如图所示,在锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是              (　　)A.15≤x≤20　 B.12≤x≤25 C.10≤x≤30  D.20≤x≤30 解析:设矩形花园的宽为y m,由三角形相似,得=,且0<x<40,0<y<40,xy≥300.整理,得y+x=40,将y=40-x代入xy≥300整理,得x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30.答案:C8.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+2y-m2-2m<0恒成立,则实数m的取值范围为 (　　)A.m<-2 或m>4　 B.m<-4或m>2C.-2<m<4　　　 D.-4<m<2解析:由题意,得x+2y<m2+2m恒成立,且x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当y=2,x=4时等号成立,则m2+2m>8,解得m<-4或m>2.答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论中正确的说法是              (　　)A.当m=0时,x1=2,x2=3B.m>-C.当m>0时,2<x1<x2<3D.当m>0时,x1<2<3<x2答案:ABD10.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (　　)A.ab≤1 B.+≤C.a2+b2≥2 D.+≥2答案:ACD11.若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是              (　　)A.6    B.7     C.8     D.9答案:ABC12.对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为 (　　)A.⌀   B.(-1,a)   C.(a,-1)   D.R答案:ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为-1<x<.解析:由3x2+x-2<0,得(x+1)·(3x-2)<0,所以-1<x<.14.(本题第一空2分,第二空3分)已知正数x,y满足x2+y2=1,则当x=时,+取得最小值,最小值为2.15.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P=150-2x,生产x件风衣所需成本为C=50+30x元,要使日获利不少于1 300元,则该厂日产量x的范围为{x|15≤x≤45,x∈N*}(日产量=日销售量).解析:由题意,得(150-2x)x-(50+30x)≥1 300,化简,得x2-60x+675≤0,解得15≤x≤45,且x为正整数.16.若x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为.解析:由x+2y=4,得x+2y=4≥2,所以xy≤2.所以===2+≥2+=,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.故所求的最小值为.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知不等式x2-3x-4<0的解集为A,不等式x2-x-6<0的解集为B.(1)求A∩B;(2)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求a,b的值.解:(1)由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-1<x<4,所以A={x|-1<x<4}.由x2-x-6<0,得(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3,所以B={x|-2<x<3}.所以A∩B={x|-1<x<3}.(2)因为关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|-1<x<3},所以-1,3为方程x2+ax+b=0的两根,所以所以18.(12分)已知a>0,b>0.(1)若+=1,求证:a+b≥9;(2)求证:a+b+1≥++.证明:(1)因为a>0,b>0,且+=1,所以a+b=(a+b)(+)=1+4++≥5+2=9,当且仅当2a=b=6时取等号,所以a+b≥9.(2)因为a+b≥2,a+1≥2,b+1≥2,上面三式相加,得2(a+b+1)≥2+2+2,所以a+b+1≥++(当a=b=1时取等号).19.(12分)某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为a kW·h,本年度计划将电价降低到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h),而用户期望电价为0.4元/(kW·h),经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),即新增用电量=,该地区电力的成本价为0.3元/(kW·h).(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(单位:元)关于实际电价x[单位:元/(kW·h)]的函数解析式.(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?解:(1)由题知,下调后的实际电价为x元/(kW·h).用电量增至+a,电力部门的收益为y=+a(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).(2)由已知,得解得0.60≤x≤0.75,所以当电价最低定为0.60元/(kW·h)时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.20.(12分)已知a>0,b>0,且a2+=1,求a的最大值.解:因为a>0,b>0,a2+=1,所以a===≤==,当且仅当正数a,b满足a2=,且a2+=1,即a=,b=时等号成立.所以a的最大值为.21.(12分)已知关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0.(1)当a=2时,求不等式的解集;(2)当a为常数时,求不等式的解集.解:(1)当a=2时,不等式为x2+2x-3≤0,即(x-1)(x+3)≤0,解得-3≤x≤1.所以不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.(2)当a为常数时,由题意,得原不等式为 [x+(1-a)]·[x+(1+a)]≤0,不等式对应的方程的两根为x1=-a-1,x2=a-1.①当a>0时,则-a-1<a-1,解得-a-1≤x≤a-1;②当a=0时,不等式为x2+2x+1=(x+1)2≤0,解得x=-1;③当a<0时,则a-1<-a-1,解得a-1≤x≤-a-1.综上可得,当a>0时,不等式的解集为{x|-a-1≤x≤a-1};当a=0时,不等式的解集为{-1};当a<0时,不等式的解集为{x|a-1≤x≤-a-1}.22.(12分)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底作业.潜水员用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为v2;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间),每个单位时间用氧量为0.2.记该潜水员此次考古活动中总用氧量为y.(1)将y表示为v的函数;(2)设0<v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最小,并求y的最小值.解:(1)潜入水底用时,用氧量为·v2=75v.水底作业时用氧量为5×0.4=2,返回水面用时,用氧量为·0.2=,所以总用氧量y=75v+2+(v>0).(2)由(1)可知y=75v+2+≥2+2=62,当且仅当75v=,即v=时,等号成立.故当下潜速度v=0.4(米/单位时间)时,总的用氧量最小,最小值为62.