2023_2024学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质章末复习课新人教A版必修第一册 试卷

第三章 函数的概念与性质 章末复习课

章末复习课

要点训练一　函数的概念及表示

函数有三要素:定义域、值域和对应关系,其中定义域是研究函数问题的前提条件.

(1)函数的定义域问题,可分为三类:第一类是由使解析式有意义求函数定义域;第二类是抽象函数问题,如知道f(x)的定义域,求 f(g(x))的定义域;第三类是应用问题,使自变量有实际意义的取值范围即为函数的定义域.

(2)函数的值域问题,函数的值域是函数值的集合,它是由函数的定义域与对应关系确定的.

(3)分段函数问题,先要确定自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应关系.　　　　　　　　　　　　

1.若函数y=f(x)的值域是[,3],则函数F(x)=f(x)+的值域是 (　　)

A.[,3] 

B.[2,]

C.[,] 

D.[3,]

解析:令t=f(x),则≤t≤3,由函数g(t)=t+在区间[,1]上是减函数,在区间[1,3]上是增函数,且g()=,g(1)=2,g(3)=,可得值域为[2,].

答案:B

2.设f(x)=若 f(a)=f(a+1),则f()= (　　)

A.2        B.4 

C.6        D.8

解析:由x≥1时f(x)=2(x-1)是增函数可知,

若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1.

由f(a)=f(a+1),得=2(a+1-1),

解得a=,则f()=f(4)=2×(4-1)=6,故选C.

答案:C

3.函数y=的定义域是[-1,7].

解析:由已知,得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故函数的定义域为[-1,7].

4.若函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=-2.

解析:将点(-1,4)代入f(x)=ax3-2x,得4=-a+2,解得a=-2.

要点训练二　函数的性质及应用

本章主要学习了函数的单调性和奇偶性这两个基本性质,其中函数的单调性是研究函数的有力工具,利用单调性可以比较函数值的大小、求函数的值域和最值、作函数的图象等,它反映了函数值随自变量大小变化的情况.函数的奇偶性是函数图象对称性的表示.

(1)比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性转化单调区间,再利用单调性比较函数值的大小,例如幂函数中经常用直接法、转换法、中间量法比较大小.

(2)函数的最值是函数值域的端点值,求最值与求值域的思路基本上是相同的,常用数形结合法、换元法、单调性法以及分离常数法等.

1.函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是              (　　)

A.[-2,2] 

B.[-1,1]

C.[0,4] 

D.[1,3]

解析:因为f(x)为奇函数,f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1,

于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).

又因为f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,

所以-1≤x-2≤1,所以1≤x≤3.

答案:D

2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=12.

解析:f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.

3.已知a∈R,函数f(x)=ax3-x,若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是.

解析:存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,

即有|a(t+2)3-(t+2)-at3+t|≤,

整理得|2a(3t2+6t+4)-2|≤,

可得-≤2a(3t2+6t+4)-2≤,

即≤a(3t2+6t+4)≤,

由3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,可得实数a的最大值是.

4.已知函数f(x)=ax++c(a,b,c是常数)是奇函数,且满足f(1)=,f(2)=.

(1)求a,b,c的值;

(2)试判断函数f(x)在区间0,上的单调性,并证明.

解:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以c=0.

因为所以所以

(2)由(1)可得,f(x)=2x+.

f(x)在区间(0,)上单调递减,证明如下:

设x1,x2∈(0,),且0<x1<x2<,

则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+-=2(x1-x2)+=,

因为0<x1<x2<,

所以x2-x1>0,0<x1x2<,1-4x1x2>0,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

所以f(x)=2x+在区间(0,)上单调递减.

要点训练三　数形结合思想

函数的图象是函数的重要表示方法,广泛应用于解题过程中,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够把函数重要的性质体现出来,由此可通过数形结合解决问题.

数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象的思维和形象思维相结合,把问题灵活转化、化难为易、化抽象为具体、化数为形.

1.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2020年1月至2022年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是 (　　)

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月

D.各年1—6月的月接待游客量相对于7—12月,波动性更小,变化比较平稳

解析:由折线图可知,每年8—9月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,A项错误;折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,B项正确;由折线图可知,每年的月接待游客量高峰期大致在7—8月,C项正确;每年1—6月的折线图平稳,月接待游客量波动性更小,7—12月折线图不平稳,月接待游客量波动性大,D项正确.所以选A.

答案:A

2.函数y=在区间[-6,6]上的图象大致为 (　　)

A

B

C

D

解析:设y=f(x)=,

则f(-x)==-=-f(x),

所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C.

又因为f(4)=>0,排除选项D;

f(6)=≈7,排除选项A,故选B.

答案:B

3.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=-x2+2x.

(1)求函数f(x)在R上的解析式;

(2)若函数f(x)在区间(-1,a-2)上单调递增,求实数a的取值范围.

解:(1)设x<0,则-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.

于是x<0时,f(x)=x2+2x.

所以f(x)=

(2)作出函数f(x)=的图象,如图.

由图象可知,要使f(x)在区间(-1,a-2)上单调递增,

则解得1<a≤3,

故实数a的取值范围是(1,3].