2023_2024学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质质量评估新人教A版必修第一册 试卷

第三章质量评估

(时间:120分钟　分值:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数f(x)=的定义域是 (　　)

A.　　　　　　　　

B.

C. 

D.

答案:D

2.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7) 的值为 (　　)

A. 15　　　　B.17　　　　C.-17　　　　D. 31

答案:D

3.已知函数y=ax和y=-在区间(0,+∞)上都是减函数,则f(x)=bx+a是 (　　)

A.增函数,且f(0)>0 

B.增函数,且f(0)<0

C.减函数,且f(0)>0 

D.减函数,且f(0)<0

答案:D

4.若不等式x2+2x-a>0对任意x∈[1,+∞)恒成立,则a的取值范围是 (　　)

A. (-∞,3]      B.(3,+∞)

C.(-∞,3)      D.[3,+∞)

答案:C

5.若奇函数f(x)在区间[1,3]上单调递增,且有最小值0,则它在区间[-3,-1]上 (　　)

A.单调递减,有最小值0 

B.单调递增,有最小值0

C.单调递减,有最大值0 

D.单调递增,有最大值0

答案:D

6.若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)= (　　)

A.-3   B.-2   C.0    D.1

解析:令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x)⇒f(x+1)=f(x)-f(x-1),

故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),

消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=-f(x),

故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即f(x)周期为6.

令 x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)⇒f(0)=2,

f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,

f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,

f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,

f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2.

故f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)

=f(1)+f(2)+ f(3)+ f(4)

=1+(-1)+(-2)+(-1)

=-3.

即f(k)=-3.故选A.

答案:A

7.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)(t∈Z)是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则实数t的值为              (　　)

A.-1   B.0    C.1    D.-1或1

答案:

8.若函数f(x)=满足f(f(x))=x,则常数c等于(　　)

A.3    B.-3   C.3或-3  D.5或-3

答案:

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知函数f(x)=则 (　　)

A.f(f(-2))=-4 

B.f(f(-2))=4

C.f(f(2))=-2 

D.f(f(2))=2

答案:

10.设f(x)是定义在区间[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是(　　)

A.f(-1)<f(4) 

B.f(4)>f(3)

C.f(2)>f(0) 

D.f(1)<f(-4)

答案:

11.偶函数y=f(x)的部分图象如图所示,根据图象所给的信息,下列结论正确的是 (　　)

A.函数f(x)一定有最小值

B.f(-1)-f(2)=0

C.f(-1)-f(2)<0

D.f(-1)+f(2)>0

答案:

12.某工厂生产某产品x t所需费用为P元,而卖出的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150 t时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有              (　　)

A.a=45      B.a=30 

C.b=45      D.b=-30

答案:AD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.函数f(x)=+的定义域是(-∞,0)∪(0,1].

14.若函数f(x)=是奇函数,则f(2)=2.

15.如图所示,定义在区间[-1,+∞)内的函数 f(x) 的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则函数 f(x) 的解析式为y=.

16.已知函数f(x)=若f(x)+2m=0有三个根,则实数m的取值范围是.

四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.

(1)画出偶函数f(x)的大致图象,并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间;

(2)当直线y=k(k∈R)与函数y=f(x)的图象恰有4个交点时,求k的取值范围.

解:(1) 大致图象如图,

单调递增区间为[-1,0],[1,+∞).

(2) 由图象可知,当-1<k<0时,直线y=k(k∈R)与函数y=f(x)的图象恰有4个交点.

18.(12分)已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)满足 f(2)<f(3).

(1)求实数k的值,并写出函数f(x)的解析式.

(2)对于(1)中的函数f(x),试判断是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)对于幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)满足f(2)<f(3),因此(2-k)(1+k)>0,解得-1<k<2,

因为k∈Z,所以k=0或k=1,当k=0时,f(x)=x2,当k=1时,f(x)=x2.

综上所述,k的值为0或1,f(x)=x2.

(2)函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,

因为m>0,所以抛物线开口向下,对称轴方程为x==1-<1,因为g(x)在区间[0,1]上的最大值为5,

所以或

解得m=+,且满足题意.

19.(12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,有f(x)=.

(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并证明;

(2)求函数f(x)的解析式(写成分段函数的形式).

解:(1)f(x)=在区间[0,+∞)上单调递增.

证明:设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=-=,又x1>x2≥0,

所以x1-x2>0,x1x2≥0,x1+x2>0,

所以>0.

则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

故函数f(x)=在区间[0,+∞)上单调递增.

(2)因为当x≥0时,有f(x)=,而当x<0时,-x>0.

所以f(-x)===f(x),即f(x)=(x<0).

所以f(x)=

20.(12分)由于共享单车停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的喜爱.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20 000元,每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的销售额(单位:元)满足分段函数h(x),其中h(x)=

x是新样式单车的月产量(单位:辆),利润=销售总额-总成本.

(1)试将自行车厂的利润y(单位:元)表示为月产量x(单位:辆)的函数;

(2)当月产量为多少辆时,自行车厂的利润最大?最大利润是多少?

解:(1)依题设,总成本为20 000+100x,

则y=

(2)当0<x≤400时,y=-(x-300)2+25 000,

则当x=300时,ymax=25 000;

当x>400时,y=60 000-100x是减函数,

则ymax<60 000-100×400=20 000,

所以当月产量x=300辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为25 000元.

21.(12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别为M,m.集合A={x|f(x)=x}.

(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;

(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.

解:(1)由f(0)=2,可知c=2.又A={1,2},故1,2是关于x的方程ax2+(b-1)x+2=0的两个实数根,

所以解得

所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2],所以f(x)min=f(1)=1,即m=1;

所以f(x)max=f(-2)=10,即M=10.

(2)由题意知,关于x的方程ax2+(b-1)x+c=0有两个相等的实数根,即x1=x2=1,

所以即所以f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],

其对称轴方程为x==1-,

又a≥1,故1-∈,

所以M=f(-2)=9a-2,m=f=1-,

g(a)=M+m=9a--1,又g(a)在区间[1,+∞)上单调递增,

所以当a=1时,g(a)min=g(1)=.

22.(12分)记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,则称(x0,x0)为函数f(x)图象上的“稳定点”.

(1)是否存在实数a,使函数f(x)=的图象上有且仅有两个相异的稳定点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,求证函数f(x)必有奇数个稳定点.

(1)解:设函数f(x)=的图象上有且仅有两个相异的稳定点,

则f(x)==x,

即有两个不相等的实数根,

所以

解得a<1或a>5,且a≠-.

因此存在a∈∪∪(5,+∞)使得函数f(x)=的图象上有且仅有两个相异的稳定点.

(2)证明:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.

因此(0,0)是f(x)的一个稳定点.

假设函数还有稳定点(x0,x0),

即f(x0)=x0,则必定有f(-x0)=-x0.

这说明(-x0,-x0)也是函数的稳定点.

故奇函数f(x)的稳定点除原点外,若还有稳定点,则稳定点是成对出现的.

综上所述,函数f(x)必有奇数个稳定点.