2023_2024学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数质量评估新人教A版必修第一册 试卷

第四章质量评估

(时间:120分钟　分值:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　)

A.a>c>b　　　　　　　

B.a>b>c

C.c>a>b 

D.b>c>a

答案:A

2. 计算:2lg 2+lg 25等于 (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

答案:B

3. 已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是 (　　)

A.c<b<a 

B.b<a<c

C.a<c<b 

D.a<b<c

答案:C

4. 函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点(　　)

A.(3,3)      B.(3,4)

C.(0,3)      D.(0,4)

答案:B

5. 下列四类函数中,具有性质“对任意的m,n∈R,函数f(x)满足f(m+

n)= f(m)·f(n)”的是 (　　)

A. 幂函数 

B. 对数函数

C. 指数函数 

D. 一次函数

答案:C

6. 已知函数f(x)=ax3+bx+4(a,b∈R),f(lg(log2 10))=5,则f(lg(lg2)) 的值为 (　　)

A.-3   B.-1   C.3    D.4

答案:C 

7. 函数f(x)=ln(x+3)的图象与函数g(x)=|x2-2|的图象的交点个数为(　　)

A.2    B. 3   C. 4   D. 0

解析:如图,可知函数f(x)=ln(x+3)的图象与函数g(x)=|x2-2|的图象的交点个数为4,故选C.

答案:C

8. 将甲桶中的a L水缓慢注入空的乙桶中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设5 min后甲桶和乙桶的水量相等.若再过m min甲桶中的水有 L,则m的值为              (　　)

A. 10   B. 9   C. 8   D. 5

答案:D

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9. 若2x=3,则x等于 (　　)

A. log32  B. log23  C.    D.

答案:BD

10. 设函数f(x)=若f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值可以是 (　　)

A.    B.1    C.-1   D.2

答案:AB

11. 若a,b是实数,其中a>0,且a≠1,则满足loga(a-b)>1的是 (　　)

A.a>1,b>0 

B.a>1,b<0

C.0<a<1,0<b<a 

D.0<a<1,b<0

答案:BC

12. 已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x,若g(x)有且仅有一个零点,则a的取值可以是 (　　)

A.-3       B.-2 

C.0        D.1

答案:CD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 求值:log3+lg 25+lg 4+=.

14. 已知函数f(x)=a>0,且a≠1,若f[f(0)]=2,则实数a的值是.

15. 若函数f(x)=ax-1+3(a≠0)的图象经过定点P,则点P的坐标是(1,4).

16. 已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),函数g(x)=2-ax(a>0,且a≠1).若当x∈[0,1)时,函数f(x)与函数g(x)的值域的交集非空,则实数a的取值范围为(2,+∞).

四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)计算下列各式:

(1)-0+-0.5+;

(2)lg 500+lg -lg 64+50(lg 2+lg 5)2.

解:(1)原式=+1-1++e-=+e.

(2)原式=lg 5+lg 102+lg 23 -lg 5-lg 26+50(lg 10)2 =lg 5+2+3lg 2-lg 5-3lg 2+50=52.

18.(12分)已知f(x)=(lox)2-2lox+4,x∈[2,4].

(1)设t=lox,x∈[2,4],求t的最大值与最小值;

(2)求f(x)的值域.

解:(1)因为函数t=lox在区间[2,4]上是单调递减的,

所以tmax =lo2=-1,tmin=lo4=-2.

(2)令g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3.

由(1),得t∈[-2,-1],

所以当t=-2时,g(t)max=12;当t=-1时,g(t)min=7,

所以当x=4时,f(x)max=12;当x=2时,f(x)min=7.

因此,函数f(x)的值域为[7,12].

19.(12分)已知函数f(x)=,g(x)=5x+5,其中a>0,且a≠1.

(1)若0<a<1,求满足不等式f(x)<1的x的取值范围;

(2)求关于x的不等式f(x)≥g(x)的解集.

解:(1)由不等式f(x)<1,得<1,所以<a0.

因为0<a<1,所以3x2-3>0,即(x+1)(x-1)>0,解得x<-1或x>1.

故满足不等式f(x)<1的x的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).

(2)由不等式f(x)≥g(x),得≥a-5x-5.

①若0<a<1,则3x2-3≤-5x-5,所以3x2+5x+2≤0,即(3x+2)(x+1)≤0,解得-1≤x≤-.

②若a>1,则3x2-3≥-5x-5,所以3x2+5x+2≥0,即(3x+2)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥-.

综上所述,若0<a<1,则所求解集为[-1,-];

若a>1,则所求解集为(-∞,-1]∪[-,+∞).

20.(12分)已知函数f(x)=x3-x2+1.

(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)上有实数解;

(2)请使用二分法,取区间的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.

(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)f(2)=-<0.

因为函数f(x)=x3-x2+1的图象是一条连续不断的曲线,

所以方程f(x)=0在区间(0,2)上有实数解.

(2)解:取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0.

因为f(1)f(2)=-<0,

所以下一个有解区间为(1,2).

再取x2=×(1+2)=,得f()=-<0.

因为f(1)f()=-<0,

所以下一个有解区间为(1,).

所以实数解x0在较小区间(1,)内.

21.(12分)某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则额外奖励2log5(A+1)万元.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).

(1)直接写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.

(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?

解:(1)由题意,得该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y=

(2)由(1)知,当x∈[0,10]时,0≤0.15x≤1.5.

因为业务员小李获得3.5万元的奖金,3.5>1.5,

所以x>10.

所以1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.

所以业务员小李的销售利润是14万元.

22.(12分)已知函数f(x)=|x|+-1(x≠0).

(1)若对任意的x>0,不等式f(x)>0恒成立,求m的取值范围;

(2)试讨论函数f(x)零点的个数.

解:(1)当x>0时,f(x)=x+-1,不等式f(x)>0恒成立等价于x+-1>0恒成立,

则有m>x-x2(x>0)恒成立,

而x-x2=-x-2+≤(x>0),

故m>.

(2)令f(x)=|x|+-1=0,

得m=

函数f(x)的零点个数即y=h(x)=m的图象和y=g(x)=的图象的交点个数,

如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=h(x),y=g(x)的图象.

结合图象可得:

①当m>或m<-时,有一个零点;

②当m=±或m=0时,有两个零点;

③当-<m<,且m≠0时,有三个零点.