高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第三课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第三课时复习练习题，共4页。试卷主要包含了已知<α<π,cs α=-，化简=，若θ为锐角,cs=,则cs=等内容，欢迎下载使用。

1.(2023年新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cs α=,则sin =( )
A. B.
C.D.
解析:因为cs α=,
且cs α=1-2sin2,
所以2sin2=1-cs α=,即sin2===,
因为α为锐角.
所以sin>0,
所以sin=.故选D.
答案:D
2.若α为第二象限角,sin α=,则sin 2α=( )
A.- B.- C. D.
答案:A
3.若tan θ=-,则cs 2θ=( )
A.-B.-
C.D.
答案:D
4.若x∈(-,0),cs x=,则tan 2x等于( )
A.B.-
C.D.-
答案:D
5.已知<α<π,cs α=-.
(1)求tan α的值;
(2)求sin 2α+cs 2α的值.
解:(1)因为cs α=-,<α<π,所以sin α=,
所以tan α==-.
(2)由(1)易得sin 2α=2sin αcs α=-,
cs 2α=2cs2α-1=,
所以sin 2α+cs 2α=-+=-.
B级 能力提升
6.化简(1+tan x·tan )=( )
A.cs xB.tan x
C.sin xD.sin 2x
解析:原式=(1+·)=sin x·=sin x·
==tan x.
答案:B
7.若θ为锐角,cs(θ+15°)=,则cs(2θ-15°)=.
解析:因为θ为锐角,cs(θ+15°)=,
所以sin(θ+15°)=.
所以sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cs(θ+15°)=,
cs(2θ+30°)=2cs2(θ+15°)-1=2×-1=-.
所以cs(2θ-15°)=cs(2θ+30°-45°)
=cs(2θ+30°)cs 45°+sin(2θ+30°)sin 45°
=-×+×
=.
8.(2023年广东模拟)已知θ为第一象限角,sin θ-cs θ=,则tan 2θ=( )
A.B.
C.-D.-
解析:因为sin θ-cs θ=,
两边平方,可得1-2sin θcs θ=,
所以2sin θcs θ=.
又θ为第一象限角,所以sin θ+cs θ====.
所以sin θ=,cs θ=,
所以tan θ==.
所以tan 2θ===-.故选D.
答案:D
9.已知函数f(x)=cs2x+sin xcs x,x∈R.
(1)求f()的值;
(2)若sin α=,α∈(,π),求f(+).
解:(1)f()=cs2+sin cs =()2+×=.
(2)因为f(x)=cs2x+sin xcs x=+sin 2x=+(sin 2x+cs 2x)=+sin(2x+),
所以f(+)=+sin(α++)=+sin(α+)=+(sin α+cs α).
又因为sin α=,且α∈(,π),所以cs α=-.
所以f(+)=+×(×-×)=.
C级 挑战创新
10.开放探究题某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cs217°-sin 13°cs 17°;
②sin215°+cs215°-sin 15°cs 15°;
③sin218°+cs212°-sin 18°cs 12°;
④sin2(-18°)+cs248°-sin(-18°)·cs 48°;
⑤sin2(-25°)+cs255°-sin(-25°)·cs 55°.
(1)请根据②式求出这个常数.
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
解:(1)sin215°+cs215°-sin 15°cs 15°=1-sin 30°=1-=.
(2)三角恒等式为sin2α+cs2(30°-α)-sin αcs(30°-α)=.
证法1:sin2α+cs2(30°-α)-sin αcs(30°-α)
=sin2α+(cs 30°cs α+sin 30°sin α)2-sin α(cs 30°·cs α+sin 30°sin α)
=sin2α+cs2α+sin αcs α+sin2α-sin αcs α-sin2α
=sin2α+×cs2α
=.
证法2:sin2α+cs2(30°-α)-sin αcs(30°-α)
=+-sin α(cs 30°cs α+sin 30°sin α)
=-cs 2α++(cs 60°cs 2α+sin 60°sin 2α)-sin αcs α-sin2α
=-cs 2α++cs 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cs 2α)
=1-cs 2α-+cs 2α
=.