人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第二课时课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第二课时课时练习，共4页。试卷主要包含了函数f=cs2,x∈R,则f，已知函数f=，已知tan α=2,则的值为，函数f=的值域为[-,4)等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=cs2(x+),x∈R,则f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
答案:D
2.函数f(x)=sin x-cs x可化简为 ( )
A.2sin(x-)
B.2sin(x+)
C.2sin(x-)
D.2sin(x+)
答案:A
3.设a=cs 6°-sin 6°,b=2sin 13°·cs 13°,c=,则有( )
A.cB.aC.aD.b答案:C
4.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则∠AEH=或.
解析:设∠AEH=x,正方形钢板的边长为a,截后正方形的边长为b,则
=,==.
又因为a=GC+CF=bsin x+bcs x,
所以sin x+cs x=,所以sin(x+)=.
因为0所以x+=或x+=,所以x=或,
即∠AEH=或.
5.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期.
(2)求f(x)的单调递增区间.
解:(1)由sin x≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)=
=2cs x(sin x-cs x)
=sin 2x-cs 2x-1
=sin(2x-)-1,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)因为函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ)和(kπ,kπ+](k∈Z).
B级 能力提升
6.若函数f(x)=(1+tan x)cs x,0≤x<,则f(x)的最大值是( )
A.1B.2
C.+1D.+2
解析:f(x)=(1+tan x)·cs x
=(1+)·cs x
=sin x+cs x
=2sin(x+).
因为0≤x<,所以≤x+<,
所以当x+=时,f(x)取到最大值2.
答案:B
7.(2023年佛山顺德区月考)已知tan α=2,则的值为( )
A.B.
C.D.
解析:由tan α=2,可知===.
答案:A
8.函数f(x)=的值域为[-,4).
解析:f(x)===2sin x+2sin2x,由已知,可得-1≤sin x<1.
令sin x=t,则t∈[-1,1),f(x)=g(t)=2t2+2t=2(t+)2-,故当t=-时,函数g(t)取得最小值-;当t的值趋于1时,g(t)的值趋于4,故函数g(t)的值域为[-,4),所以f(x)∈[-,4).
9.多空题如图,有半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,则当α为时,矩形的面积最大,最大面积的值为1.
解析:因为OP=1,∠SOP=α,所以SP=sin α,OS=cs α,所以S矩形PQRS=sin α×2cs α=sin 2α,所以当α为时,S矩形PQRS最大,最大值为1.
C级 挑战创新
10.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
解:如图,过点B作BH⊥OA,垂足点为点H.
设∠OAD=θ(0<θ<),则∠BAH=-θ,
OA=2cs θ,BH=sin(-θ)=cs θ,
AH=cs(-θ)=sin θ,
所以点B的坐标为(2cs θ+sin θ,cs θ),
OB2=(2cs θ+sin θ)2+cs2θ=7+6cs 2θ+2sin 2θ=7+4sin(2θ+).
由0<θ<,得<2θ+<,
所以当2θ+=,即θ=时,
OB2取得最大值7+4.