2023_2024学年新教材高中数学第五章三角函数5.6函数y=Asinωx+φ第二课时函数y=Asinωx+φ的性质及其应用分层演练新人教A版必修第一册

5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用

A级　基础巩固　　

1.(2022年新高考全国Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期为T.若π<T<π,且y=f(x)的函数图象关于点(,2)中心对称,则f()=              (　　)

A.1     B.     C.     D.3

解析:ω=∈(2,3),y=f(x)的函数图象关于点(,2)中心对称,则有b=2,且f()=2,所以sin(ω+)+2=2,则ω+=kπ,k∈Z,解得ω=,由ω∈(2,3),得k=4,则ω=,故f()=sin(×+)+2=-1+2=1.

答案:A

2.若某函数图象的一部分如图所示,则这个函数的解析式是(　　)

A.y=sin(x+)       B.y=sin(2x-)

C.y=cos(4x-       D.y=cos(2x-)

答案:D

3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立平面直角坐标系,如图所示,设秒针位置为P(t,y).若初始位置为P0,,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是              (　　)

A.y=sin(t+)

B.y=sin(-t-)

C.y=sin(-t+)

D.y=sin(-t-)

答案:C

4.(2023年全国乙卷,理)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)内单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=              (　　)

A.-          B.-

C.           D.

解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)内单调递增,

所以=-=,且ω>0,则T=π,ω==2,

当x=时,f(x)取得最小值,则2·+φ=2kπ-,k∈Z,

则φ=2kπ-,k∈Z,不妨取k=0,

则f(x)=sin(2x-),

则f(-)=sin(-)=.故选D.

答案:D

5.已知函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象的一个最高点为(2,2),从这个最高点到相邻最低点之间的图象与x轴交于点(6,0),求这个函数的解析式.

解:已知函数图象的一个最高点为(2,2),

所以A=2.

又因为从此最高点到相邻最低点之间的图象与x轴交于点(6,0),

所以=6-2=4,所以T=16,所以ω==,

所以y=2sin(x+φ).

将最高点坐标(2,2)代入,得

2=2sin(×2+φ),所以sin(+φ)=1.

又因为|φ|<,所以φ=,

所以函数的解析式为y=2sin(x+).

B级　能力提升

6.如图,一个半径为3 m的水轮,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮自点A开始1 min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(单位:m)与时间x(单位:s)满足函数关系:y=Asin(ωx+φ)+2,则有              (　　)

A.ω=,A=3

B.ω=,A=3

C.ω=,A=5

D.ω=,A=5

解析:由题目可知y的最大值为5 m,所以5=A×1+2,所以A=3.由题意可得T=15 s,则ω=.故选A.

答案:A

7.(2023年广东模拟)若函数f(x)=2·sin(ωx+)在区间[0,]上单调递减,则ω的取值范围是              (　　)

A.(-∞,-]         B.[-,0)

C.[,+∞)         D.(0,]

解析:当ω=0时,显然不满足题意;

当ω>0时,x∈[0,],则ωx+∈[,+],

由正弦函数的图象可知f(x)在此区间上不可能为减函数,不满足题意;

当ω<0时,x∈[0,],则ωx+∈[+,],

由正弦函数的图象可知,y=sin x在区间[-,]上为增函数,

由复合函数的单调性可得+≥-,

解得ω≥-,

所以-≤ω<0.故选B.

答案:B

8.多选题若函数f(x)=cos(x+),则下列结论正确的是 (　　)

A.f(x)的一个周期为2π

B.y=f(x)的图象关于直线x=对称

C.f(x+π)的一个零点为x=

D.f(x)在区间(,π)上单调递减

解析:函数f(x)=cos(x+)的图象可由y=cos x的图象向左平移个单位长度得到,如图,f(x)在区间(,π)上先减后增,D项错误,其余选项均正确.

答案:ABC

9.开放题若一个函数同时具有:(1)最小正周期为π;(2)图象关于直线x=对称.请列举一个满足以上两条件的函数:y=sin(2x-)(答案不唯一).

解析:不妨设该函数为y=Asin(ωx+φ),由于最小正周期为π,故ω=2.

又因为图象关于直线x=对称,

所以2×+φ=+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=-,

故y=sin(2x-)满足以上两个条件.

C级　挑战创新

10.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108 m,直径长是98 m,逆时针匀速旋转一圈需要18 min.某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时.

(1)当此人第四次距离地面 m时用了多少分钟?

(2)当此人距离地面不低于(59+)m时可以看到游乐园的全貌,摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌?

解:(1)如图,建立平面直角坐标系,设此人登上摩天轮t min时距地面y m,则t min转过的弧度数α=t=t.

由y=108--cos t=-49cos t+59(t≥0).

令-49cos t+59=,得cos t=,

所以t=2kπ±,k∈Z,

故t=18k±3,k∈Z,

当k=0时,t=3,

当k=1时,t=15或21,

当k=2时,t=33或39.

故当此人第四次距离地面 m时用了33 min.

(2)由题意,得-49cos t+59≥59+,

即cos t≤-.

故不妨在第一个周期内求,得≤t≤,解得≤t≤,故-=3.

因此摩天轮旋转一圈中有3 min可以看到游乐园的全貌.