2023_2024学年新教材高中数学第五章三角函数章末复习课新人教A版必修第一册 试卷

章末复习课

要点训练一　三角函数的概念

(1)在平面直角坐标系中,设任意角α终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为r=,则sin α=,cos α=,tan α=.

(2)任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关,而与点P在终边上的位置无关.角与三角函数值的对应关系是多值对应关系,给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和它对应.

(3)三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限.

1.若角θ的终边上一点P(a,-1)(a≠0),且tan θ=-a,则sin θ的值是　 (　　)

A.±　　 B.-　　 C.　　  D.-

解析:由三角函数的定义,得tan θ=-=-a,所以a2=1,所以a=±1,

当a=1时,sin θ=-;当a=-1时,sin θ=-.

答案:B

2.若-<α<0,则点P(tan α,cos α)位于 (　　)

A.第一象限 

B.第二象限

C.第三象限 

D.第四象限

解析:因为-<α<0,所以tan α<0,cos α>0,所以点P(tan α,cos α)位于第二象限.

答案:B

3.已知点P(-2,y)是角θ终边上的一点,且sin θ=-,求cos θ的值.

解:因为sin θ=-,所以角θ终边与单位圆的交点(cos θ,sin θ)为(±,-).

又因为点P(-2,y)是角θ终边上的一点,

所以cos θ<0,所以cos θ=-.

要点训练二　同角三角函数的基本关系与诱导公式

三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式.

(1)化简的顺序是:先用诱导公式化为同角三角函数,再用同角三角函数关系化简.

(2)用同角三角函数关系化简时,有两种思路:

①化弦法:当切函数的项比较少时,常常化弦达到化简的目的;

②化切法:当弦函数的项比较少或者正、余弦的解析式是齐次式时,常常化切,便于化简.

1.若sin αcos α=,且<α<,则sin α-cos α的值为　 (　　)

A.-        B.

C.        D.-

解析:因为<α<,所以sin α>cos α.又因为sin αcos α=,所以(sin α-

cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2×=.所以sin α-cos α=.

答案:C

2.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.

解析:由角α与角β的终边关于y轴对称,知α+β=π+2kπ(k∈Z),所以β=2kπ+π-α(k∈Z),所以sin β=sin α=.

3.若θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ-)=-.

解析:将θ-转化为(θ+)-.

由题意,知sin(θ+)=,θ是第四象限角,所以cos(θ+)>0,

所以cos(θ+)==.

Tan(θ-)=tan(θ+-)=-=

-=-=-.

4.已知=-4,求(sin θ-3cos θ)·(cos θ-sin θ)的值.

解:==-4,解得tan θ=2.

(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)

=sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ+3sin θcos θ

=

=

=

=.

要点训练三　三角恒等变换中的求值问题

三角函数求值主要有三种类型,即:

(1)给角求值:一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.

(2)给值求值:即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.

(3)给值求角:本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.

1.若α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= (　　)

A.         B.

C.        D.

解析:因为2sin 2α=cos 2α+1,

所以4sin αcos α=2cos2α.

因为α∈(0,),所以cos α>0,sin α>0,

所以2sin α=cos α.

又因为sin 2α+cos 2α=1,

所以5sin 2α=1,所以sin 2α=,

所以sin α=,故选B.

答案:B

2.若sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=-.

解析:因为sin α+cos β=1, ①

cos α+sin β=0, ②

所以①2+②2,得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1,

所以sin αcos β+cos αsin β=-,

所以sin(α+β)=-.

3.在△ABC中,若cos A=,则sin2+cos 2A等于-.

解析:在△ABC中,=-,

所以sin2+cos 2A=sin2(-)+cos 2A=cos2+cos 2A=+2cos2A-

1=-.

4.已知tan α=-,cos β=,α,β∈(0,π).

(1)求tan(α+β)的值;

(2)求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.

解:(1)由cos β=,β∈(0,π),得sin β=,tan β=2,

所以tan(α+β)===1.

(2)因为tan α=-,α∈(0,π),

所以sin α=,cos α=-.

所以f(x)=sin xcos α-cos xsin α+cos xcos β-sin xsin β

=-sin x-cos x+cos x-×sin x

=-sin x.

所以f(x)的最大值为.

要点训练四　三角函数的性质

1.求三角函数周期的方法

(1)利用周期函数的定义.

(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.

(3)利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要作出图象,结合图象进行判断.

2.求三角函数单调区间的两种方法

(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.

(2)图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,因此作出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间.

提醒:求解三角函数的单调区间时,若x的系数为负应先化为正,同时不要忘记考虑函数自身的定义域.

3.三角函数的对称性、奇偶性

(1)正弦函数、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心.

(2)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=+kπ(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z).

(3)若求f(x)=Asin(ωx+φ)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x;若求 f(x)=Asin(ωx+φ)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可.

1.将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　)

A.在区间[-,]上单调递增

B.在区间[-,0]上单调递减

C.在区间[,]上单调递增

D.在区间[,π]上单调递减

解析:将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,

得到y=sin[2(x-)+]=sin 2x的图象.

由2kπ-≤2x≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+,

所以函数y=sin 2x的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.

取k=0,得y=sin 2x在区间[-,]上单调递增.故选A.

答案:A

2.若函数f(x)=3sin2x-的图象为C.

①图象C关于直线x=对称;

②函数f(x)在区间-,上是增函数;

③由y=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

则以上三个结论中,正确结论的个数是 (　　)

A.0         B.1

C.2         D.3

解析:①f()=3sin(-)=3sin =-3,所以直线x=为对称轴,①正确;

②由-<x<,得-<2x-<,由于函数y=3sin x在区间(-,)上单调递增,故函数f(x)在区间(-,)上单调递增,②正确;

③f(x)=3sin 2(x-),而由y=3sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin 2(x-)的图象,得不到图象C,③错误.

答案:C

3.(2023年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是[2,3).

解析:由题可知x∈[0,2π],函数的周期为(ω>0),

令cos ωx-1=0,可得cos ωx=1,

由函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,

可得2·≤2π<3·,

所以2≤ω<3.

4.(2023年全国甲卷,理)若y=(x-1)2+ax+sin(x+)为偶函数,则a=2.

解析:根据题意,设f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+)=x2-2x+ax+1+cos x,

其定义域为R.若f(x)为偶函数,

则f(-x)=f(x),即x2+2x-ax+1+cos x=x2-2x+ax+1+cos x,

可得(2-a)x=(a-2)x,故a=2.

5.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.

解:(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=

sin(2x+)+1,

所以函数f(x)的最小正周期为=π.

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+)+1.

当x∈[0,]时,2x+∈[,],

由正弦函数y=sin x在区间[,]上的图象,

知当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值+1;

当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值0.

综上,f(x)在区间[0,]上的最大值为+1,最小值为0.

要点训练五　三角恒等变换中的化简证明问题

三角函数式的化简是三角恒等变换应用的一个重要方面,其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称.在具体实施过程中,应着重抓住“角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.

三角函数式的证明实质上也是化简,是有方向性、目标性的化简,根本原则是由繁到简,消除两端差异,达到证明目的.

1.化简=tan .

解析:原式===tan .

2.若α∈0,,且2sin2α-sin αcos α-3cos2α=0,则=.

解析:因为α∈(0,),且2sin2α-sin αcos α-3cos2α=0,

所以(2sin α-3cos α)(sin α+cos α)=0,

又因为sin α+cos α=sin(α+)>0,所以2sin α-3cos α=0,

所以2sin α=3cos α.

又因为sin2α+cos2α=1,

所以cos α=,

所以===.

3.证明:-=32sin 10°.

证明:因为左边=-

=

=

=

=

=

=

=

=32sin 10°=右边.

所以原等式成立.

要点训练六　数形结合思想

　　三角函数的图象既是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现,充分体现了数形结合思想.本章在三角函数图象的变换、解析式的确定以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质中,均有数形结合思想的体现.

1.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　　)

A.y=2sin(2x-)

B.y=2sin(2x-)

C.y=2sin(x+)

D.y=2sin(x+)

解析:根据题图上点的坐标及函数最值点,确定A,ω与φ的值.

由题图,知=-(-)=,故T=π,因此ω==2.

又因为题图的一个最高点的坐标为(,2),

所以A=2,且2×+φ=2kπ+(k∈Z),

故φ=2kπ-(k∈Z),结合选项可知y=2sin(2x-).故选A.

答案:A

2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且 g()=,则f()=              (　　)

A.-2         B.-

C.         D.2

解析:因为f(x)是奇函数,所以φ=0,则f(x)=Asinωx,

将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

所得图象对应的函数为g(x),即g(x)=A·sin(ωx).

因为g(x)的最小正周期为2π,所以=2π,所以ω=2,

则g(x)=Asin x,f(x)=Asin 2x,

若g()=,则g()=Asin =A=,

即A=2,则f(x)=2sin 2x,

则f()=2sin(2×)=2sin =2×=,

故选C.

答案:C

3.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.

解析:函数y=sin x-cos x=2sin(x-),所以只需将y=2sin x向右平移个单位长度即可.

4.(2023年新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=-.

解析:设A(x1,),B(x2,),则x2-x1=,

由y=sin(ωx+φ)的图象可知,

ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,

所以ω=4.

又f()=sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,

即φ=-+kπ,k∈Z,

观察图象,可知f(0)=sin φ<0,

所以当k=2时,φ=-,sin φ=-,满足条件,

所以f(π)=sin(4π-)=-.

5.函数y=Asin(ωx+φ)+kA>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.

(1)求此函数的解析式;

(2)分析一下该函数是如何通过y=sin x变换得来的?

解:(1)由图象,知A==,

k==-1,T=2×(-)=π,

所以ω==2.所以y=sin(2x+φ)-1.

当x=时,2×+φ=+2kπ(k取0),所以φ=.

所以所求函数的解析式为y=sin(2x+)-1.

(2)把y=sin x向左平移个单位长度,得到y=sin(x+),

然后纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的,得到y=sin(2x+),

然后横坐标保持不变,纵坐标变为原来的,得到y=sin(2x+),

最后把函数y=sin(2x+)的图象向下平移1个单位长度,

得到y=sin(2x+)-1的图象.

要点训练七　建模思想

处理数据拟合和预测问题时进行建模的步骤

(1)根据原始数据,绘出散点图;

(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;

(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式;

(4)利用函数解析式和已知条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.

1.设y=f(t)是某港口水的深度y(单位:m)与时间t(单位:h)之间的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:

经长期观测,函数y=f(t)的图象可近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是              (　　)

A.y=12+3sin t,t∈[0,24]

B.y=12+3sin(t+π),t∈[0,24]

C.y=12+3sin t,t∈[0,24]

D.y=12+3sin(t+),t∈[0,24]

解析:y=f(t)的关系对应的“散点图”如图所示.

由“散点图”可知k=12,A=3,周期T=12,所以ω=.

又因为当t=0时,y=12,所以φ=0,因此,y=12+3sin t.故选A.

答案:A

2.如图,某地某天8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.

(1)这一天的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时;

(2)这段曲线的函数解析式为y=10sin(x+)+40,x∈[8,14].

解析:(1)由题图得最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.

(2)观察题图可知8~14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,

所以A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.因为×=14-8,所以ω=,所以y=10sin(x+φ)+40.将x=8,y=30代入上式,解得φ=,所以所求解析式为y=10sin(x+)+40,x∈[8,14].

3.如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.

解:依题意,有A=2,=3,所以T=12.

又因为T=,所以ω=.所以y=2sin x.

当x=4时,y=2sin =3,

所以点M的坐标为(4,3).

又因为点P的坐标为(8,0),所以|MP|==5(km).