人教A版 (2019)必修第一册1.3 集合的基本运算第1课时同步测试题

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册1.3 集合的基本运算第1课时同步测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．已知集合A＝{0,1,2,3,5,6}，B＝{0,2,4,6}，则A∩B＝( C )
A．{2,6} B．{0,1,2}
C．{0,2,6} D．{0,2,3,6}
[解析] A∩B＝{0,2,6}，故选C．
2．已知集合M＝{x|－34}，则M∪N＝( A )
A．{x|x<－5，或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3，或x>5}
[解析] 在数轴上分别表示集合M和N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}．
3．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N等于( D )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
[解析] ∵M，N均为点集，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝4，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))
∴M∩N＝{(3，－1)}．
4．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( C )
A．∅ B．S
C．T D．Z
[解析] 任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T⊆S，因此，S∩T＝T.故选C．
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．{a|－12}
C．{a|a≥－1} D．{a|a>－1}
[解析] 因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.
二、填空题
6．已知集合A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，C＝{6,8}，则(C∪A)∩B＝_{2,6,8}_.
[解析] ∵A∪C＝{2,3}∪{6,8}＝{2,3,6,8}，
∴(C∪A)∩B＝{2,3,6,8}∩{2,6,8}＝{2,6,8}．
7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是_{a|a≤1}_.
[解析] 由A∪B＝R可知a≤1.
8．已知集合A＝{x|x<1，或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5[解析] 如图所示，可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围．
[解析] (1)A∩B＝{x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}＝{x|x≥1}．
(2)因为C∪A＝A，
所以C⊆A，
所以a－1≥3，即a≥4.
故实数a的取值范围为{a|a≥4}．
10．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值．
[解析] ∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3.
①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
A∩B＝{－3}．
综上可知a＝－1.
B 组·能力提升
一、选择题
1．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( D )
A．{x|2≤x≤3}
B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3}
D．{x|0[解析] ∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，
∴S∩T＝{x|02．(多选题)已知集合A＝{2,4，x2}，B＝{2，x}，A∪B＝A，则x的值可以为( ABC )
A．4 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵A∪B＝A，∴B⊆A．
∴x∈A，∴x＝4或x2＝x，
由x2＝x解得x＝0或1，
当x＝0时，A＝{2,4,0}，B＝{2,0}，满足题意．
当x＝1时，A＝{2,4,1}，B＝{2,1}，满足题意．
当x＝4时，A＝{2,4,16}，B＝{2,4}，满足题意．
故选ABC．
3．(多选题)设集合M＝{x|(x－a)(x－3)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则下列说法不正确的是( ABC )
A．若M∪N有4个元素，则M∩N≠∅
B．若M∩N≠∅，则M∪N有4个元素
C．若M∪N＝{1,3,4}，则M∩N≠∅
D．若M∩N≠∅，则M∪N＝{1,3,4}
[解析] N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，
当a＝3时，M＝{3}，当a≠3时，M＝{a,3}，
对于选项A，若M∪N有4个元素，则a≠3，a≠1，a≠4，此时M∩N＝∅，A错误，符合题意；
对于选项B，若M∩N≠∅，则a＝1或a＝4，此时M∪N＝{1,3,4}，B错误，符合题意，D正确，不符合题意；
对于选项C，若M∪N＝{1,3,4}，则a＝1或a＝3或a＝4，若a＝3，则M∩N＝∅，C错误，符合题意．
二、填空题
4．已知集合A＝{x|0≤x≤a，a>0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是_1≤a<2_.
[解析] ∵A∩B有3个真子集，∴A∩B中有2个元素，又∵A＝{x|0≤x≤a，a>0}，
∴1≤a<2.
5．设集合M＝{x|－3＜x＜7}，N＝{x|3－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为_t≤3_.
[解析] 当2t＋1≤3－t即t≤eq \f(2,3)时，N＝∅.满足M∩N＝N；
当2t＋1＞3－t即t＞eq \f(2,3)时，若M∩N＝N应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－t≥－3,2t＋1≤7))，解得t≤3.∴eq \f(2,3)＜t≤3.综上可知，实数t的取值范围是t≤3.
三、解答题
6．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：
(1)A≠B；
(2)A∪B＝B；
(3)∅(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
[解析] 假设存在a使得A，B满足条件，
由题意得B＝{2,3}，
∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或AB.
由条件(1)A≠B，可知AB.
又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，
即A＝{2}或{3}．
当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，
即a＝－3或a＝5.
经检验a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．
当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.
即a＝5或a＝－2.
经检验a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．
综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．
C 组·创新拓展
(多选题)若非空数集M满足任意x，y∈M，都有x＋y∈M，x－y∈M，则称M为“优集”．已知A，B是优集，则下列命题中正确的是( ACD )
A．A∩B是优集
B．A∪B是优集
C．若A∪B是优集，则A⊆B或B⊆A
D．若A∪B是优集，则A∩B是优集
[解析] 任取x∈A∩B，y∈A∩B，因为集合A，B是优集，则x＋y∈A，x＋y∈B，则x＋y∈A∩B，x－y∈A，x－y∈B，则x－y∈A∩B，所以A正确；
取A＝{x|x＝2k，k∈Z}，
B＝{x|x＝3m，m∈Z}，
则A∪B＝{x|x＝2k，或x＝3k，k∈Z}，令x＝3，y＝2，则x＋y＝5∉A∪B，B错误；
任取x∈A，y∈B，可得x，y∈A∪B，
因为A∪B是优集，则x＋y∈A∪B，x－y∈A∪B，
若x＋y∈B，则x＝(x＋y)－y∈B，此时A⊆B，若x＋y∈A，则y＝(x＋y)－x∈A，此时B⊆A，C正确；
A∪B是优集，可得A⊆B，则A∩B＝A为优集，或B⊆A，则A∩B＝B为优集，
所以A∩B是优集，D正确．
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( B )
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
[解析] 因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以DA，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以BA，CA，正方形是菱形，所以C⊆D，正方形是矩形，所以C⊆B.
2．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2⊆A；②{－2}∈A；③∅⊆A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．则上列式子表示正确的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正确．
3．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( A )
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
[解析] 由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2＝－b，,1×2＝c，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－3，,c＝2.))
4．已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，则集合A的子集的个数为( A )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 依题意得：4a－10＋6＝0，解得a＝1.则x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3，所以A＝{2,3}，所以集合A的子集个数为4.
5．已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3＝( C )
A．1 B．2
C．3 D．6
[解析] 集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集有：
{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}，
故3(a1＋a2＋a3)＝9，即a1＋a2＋a3＝3.故选C．
二、填空题
6．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.
其中正确的是_④_.
[解析] ∅不是其自身的真子集，所以④正确．
7．已知集合A＝{eq \r(a)＋1，－2}，B＝{b,2}，若A＝B，则a＋b＝_－1_.
[解析] 由A＝B得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－2，,\r(a)＋1＝2，))
∴a＝1，b＝－2，∴a＋b＝－1.
8．已知集合A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是_{p|p≥4}_.
[解析] 集合A＝{x|x<－1，或x>2}，
B＝{x|4x＋p<0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(p,4)))))，
若B⊆A，则－eq \f(p,4)≤－1，p≥4，
则实数p的取值范围是{p|p≥4}．
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C．
[解析] (1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5,3}，a＝eq \f(1,5)时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5,3}中的元素，
集合A＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3不在集合B中，所以BA．
(2)当a＝0时，由题意B＝∅，又A＝{3,5}，故B⊆A；
当a≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，又A＝{3,5}，B⊆A，
此时eq \f(1,a)＝3或5，则有a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).
所以C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).
10．设全集U＝R，集合A＝{x|3≤x≤11}，集合B＝{x|2＋3a[解析] 因为B⊆A，若B＝∅则2＋3a≥a＋8，解得a≥3；
若B≠∅，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3a综上所述，a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
B 组·能力提升
一、选择题
1．(多选题)已知集合A＝{x|x≤eq \r(13)}，a＝2eq \r(3)，那么下列关系正确的是( AD )
A．a∈A B．a⊆A
C．a∉A D．{a}⊆A
[解析] 对于A,2eq \r(3)＝eq \r(12)且12＜13，
所以2eq \r(3)＜eq \r(13)，a在集合A中，即a∈A，故A正确，C错误；
对于B，a是元素，A是集合，它们之间的关系用∈，∉，不能用⊆，故B错误；
对于D，由于a∈A，故{a}⊆A，故D正确．
2．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝a＋\f(1,6)，a∈Z))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(b,2)－\f(1,3)，b∈Z))，C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(c,2)＋\f(1,6)，c∈Z))，则A，B，C满足的关系为( B )
A．A＝B⊆C B．A⊆B＝C
C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A
[解析] 集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝a＋\f(1,6)，a∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(6a＋1,6)，a∈Z))，
集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(b,2)－\f(1,3)，b∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(3b－2,6)，b∈Z))，
集合C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(c,2)＋\f(1,6)，c∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(3c＋1,6)，c∈Z)).
因为a∈Z时，6a＋1表示被6除余1的数；
b∈Z时，3b－2表示被3除余1的数；
c∈Z时，3c＋1表示被3除余1的数，
所以A⊆B＝C．
3．(多选题)设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)可能是( ACD )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0，－1) D．(1,1)
[解析] 若B＝{－1}，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2a＋b＝0，,Δ＝4a2－4b＝0，))解得a＝－1，b＝1.
若B＝{1}，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2a＋b＝0，,Δ＝4a2－4b＝0，))解得a＝1，b＝1.
若B＝{－1,1}，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋1＝2a，,－1×1＝b，))解得a＝0，b＝－1.故选ACD.
二、填空题
4．已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B⊆A，则a的取值范围为_{a|a<－8或a≥3}_.
[解析] 利用数轴法表示B⊆A，如图所示，
则a＋3<－5或a＋1≥4，
解得a<－8或a≥3.
5．若集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有2个子集，则满足条件的实数k的最小值是_－2_.
[解析] ∵A只有2个子集，∴A只有一个元素，
∴当k＝－2时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))，满足条件；
当k≠－2时，Δ＝4k2－4(k＋2)＝0，
解得k＝－1或2.
综上，满足条件的实数k的最小值为－2.
三、解答题
6．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝1，,xy＝y，))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝y，,xy＝1，))②
解①，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y∈R，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))
经检验eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y∈R，))不合题意，舍去，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))
解②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))经检验eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))不合题意，舍去，
综上得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0.))
C 组·创新拓展
已知集合A＝{x|－4≤x≤3}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)若不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅，满足题意；
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，要使B⊆A成立，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1≥－4，,2m＋1≤3，))结合m≥－2解得－2≤m≤1.
综上，若B⊆A，则实数m的取值范围是{m|m≤1}．
(2)当x∈Z时，A＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3}，共8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)若不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，则A，B没有公共元素．
当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅，满足题意；
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，要使A，B没有公共元素，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－2，,m－1>3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－2，,2m＋1<－4，))解得m>4.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m>4或m<－2}．