新教材适用2023_2024学年高中数学第2章一元二次函数方程和不等式综合测试新人教A版必修第一册

第二章综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题正确的是( D )

A．若a>b，则<

B．若a>b>0，c>d，则a·c>b·d

C．若a>b，则a·c2>b·c2

D．若a·c2>b·c2，则a>b

[解析]　由题意，对于选项A中，当a>0>b时，此时>，所以A是错误的；对于选项B中，当0>c>d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．根据不等式的性质，可得若ac2>bc2时，则a>b是成立的，所以D是正确的．

2．不等式<的解集是( D )

A．{x|x<2}　　　　　 B．{x|x>2}

C．{x|0<x<2}  D．{x|x<0或x>2}

[解析]　由<，得－＝<0，

即2x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.

3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( B )

A．A≥B  B．A>B

C．A<B  D．A≤B

[解析]　因为a，b都是正实数，且a≠b，

所以A＝＋>2＝2，即A>2，

B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2

＝－(x－2)2＋2≤2，

即B≤2，所以A>B.

4．已知t＞0，则函数y＝的最小值为( C )

A．－2　  B．

C．3　　  D．2

[解析]　因为t＞0，则函数y＝＝2t＋－1≥2－1＝3，当且仅当t＝1时取等号．所以函数y＝的最小值为3.

5．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为( A )

A．

B.

C．{x|－2＜x＜1}

D．{x|x＜－2，或x＞1}

[解析]　由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．

由根与系数的关系得

⇒

∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0.

解得－1＜x＜.故选A．

6．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是( A )

A．{m|m<6}  B．{m|m≤6}

C．{m|m≥6}  D．{m|m>6}

[解析]　当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立⇔当x>0时，不等式m<x＋恒成立⇔m<min，当x>0时，x＋≥2＝6(当且仅当x＝3时取“＝”)，因此min＝6，所以m<6.

7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为( C )

A．4  B．4

C．8  D．8

[解析]　由题意，p＝10，

S＝＝

≤·＝8，当且仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8.

8．设实数1<a<2，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为( B )

A．{x|3a<x<a2＋2}  B．{x|a2＋2<x<3a}

C．{x|3<x<4}  D．{x|3<x<6}

[解析]　原不等式可化为(x－3a)(x－a2－2)<0.

∵1<a<2，

∴3a>a2＋2，所以不等式的解集为{x|a2＋2<x<3a}．故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．已知6＜a＜60,15＜b＜18，则下列选项中正确的是( AC )

A．∈

B．a＋2b∈{x|21＜x＜78}

C．a－b∈{x|－12＜x＜45}

D.∈

[解析]　因为15＜b＜18，所以＜＜.因为6＜a＜60，所以＜＜4，所以A正确．

因为6＜a＜60,15＜b＜18，所以36＜a＋2b＜96，所以B错误．

因为15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15.因为6＜a＜60，所以－12＜a－b＜45，所以C正确．

因为21＜a＋b＜78，＜＜，所以＜＜，所以D错误．

10．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( BCD )

A．a>0  B．b>0

C．c>0  D．a＋b＋c>0

[解析]　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0，故D正确，故选BCD.

11．下列叙述中错误的是( ABC )

A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”

B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”

C．“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件

D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件

[解析]　当a＝－1，b＝0，c＝0时，b2－4ac≤0，但ax2＋bx＋c≤0，故A中叙述错误；当a＝1，b＝0，c＝0时，a＞b，但ac2＝bc2，故B中叙述错误；方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根等价于解得a＜0，所以“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充要条件，故C中叙述错误；因为a＞1⇒＜1，所以充分性成立，因为＜1⇒a＜0或a＞1，所以必要性不成立，故D中叙述正确．故选ABC．

12．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是( BD )

A．>  B．a>|a－b|－b

C．a2＋b2>4ab－3b2  D．ab＋>2

[解析]　对于A，>⇒1>⇒>，当a＝b>0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2>4ab－3b2⇒a2＋4b2－4ab>0⇒(a－2b)2>0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋≥2>2，故D中不等式正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．不等式>2的解集是_{x|－4<x<－1}_.

[解析]　原不等式可化为－2>0，整理得>0，即<0，所以(x＋4)(x＋1)<0，

故－4<x<－1，所以原不等式的解集为{x|－4<x<－1}．故答案为{x|－4<x<－1}．

14．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝_－6_，c＝_－1_.

[解析]　由题意知a<0，且不等式对应方程的两个根分别为，，根据根与系数的关系得解得

15．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则实数a的取值范围是_{a|0≤a<4}_.

[解析]　①当a＝0时，1>0对∀x∈R恒成立；②当a≠0时，则解得0<a<4.

综上所述，实数a的取值范围是{a|0≤a<4}．

16．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C．已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝_4_时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为_48_.

[解析]　设BM＝x，则由△NDC∽△CBM得＝，

又因为DC＝AB＝4，CB＝AD＝3，

所以ND＝.

所以S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2＝48，

当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．

当BM＝4时矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为48.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)当x>3时，求的最小值．

[解析]　∵x>3，∴x－3>0.

∴＝

＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.

当且仅当2(x－3)＝，

即x＝6时，上式等号成立，

∴的最小值为24.

18．(本小题满分12分)在①x2－(2a－1)x＋a2－a＜0，②x2－2ax＋a2－1＜0，③x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中：

已知p：＜0，q：_________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

[解析]　由p：＜0中不等式解得－3＜x＜4.

选①，x2－(2a－1)x＋a2－a＜0⇔a－1＜x＜a，

因为p是q的必要不充分条件，

所以解得－2≤a≤4.

选②，x2－2ax＋a2－1＜0⇔a－1＜x＜a＋1，

因为p是q的必要不充分条件，所以

解得－2≤a≤3.

选③，x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)⇔1＜x＜a，

因为p是q的必要不充分条件，

所以a≤4，因为a＞1，所以1＜a≤4.

19．(本小题满分12分)(1)若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围．

(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1.

求证：a＋＋b＋＋c＋≥10.

[解析]　(1)xy＝x＋y＋8≥2＋8，

所以()2－2－8≥0，

所以(－4)(＋2)≥0，

所以≥4，

所以xy≥16(当且仅当x＝y＝4取等号)，

所以xy的取值范围为[16，＋∞)．

(2)证明：a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

∴＋＋≥10.

20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0，k≠0.

(1)若不等式的解集为，求k的值；

(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．

[解析]　(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为，所以－和1是方程2kx2＋kx－＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－×1＝，得k＝.

(2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，k≠0，所以解得－3<k<0，故k的取值范围为{k|－3<k<0}．

21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝－.

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

[解析]　(1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400)

＝x－(160x＋400)

＝74 000－－160x－400

＝73 600－－160x(x≥40)．

(2)由(1)可得W＝73 600－－160x

≤73 600－2

＝73 600－16 000＝57 600，

当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中获得最大利润为57 600万元．

22．(本小题满分12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.

(1)求证：y1＝－a或y2＝－a；

(2)求证：函数的图象必与x轴有两个交点；

(3)若y>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0)，解关于x的不等式cx2－bx＋a>0.

[解析]　(1)证明：∵a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0，

∴(a＋y1)(a＋y2)＝0，得y1＝－a或y2＝－a.

(2)证明：当a>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a<0，

∴图象与x轴有两个交点；

当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a>0，

∴图象与x轴有两个交点．

∴二次函数的图象必与x轴有两个交点．

(3)∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0)，

∴a>0且ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，

∴＝－且c>0，

∴cx2－bx＋a>0即x2－x＋>0，

即x2＋x＋>0，

∴>0.

∵n<m<0，∴－<－，

∴不等式cx2－bx＋a>0的解集为.