高中3.1 函数的概念及其表示第1课时同步测试题

这是一份高中3.1 函数的概念及其表示第1课时同步测试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解析式为( D )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝0，,b＝1，))
所以a＝－1，b＝1，即f(x)＝－x＋1.
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( C )
A．1 B．2
C．3 D．不存在
[解析] ∵2<3≤4，∴由题中表格可知f(3)＝3.
3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]＝( B )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 利用图象可知g(2)＝1，
所以f[g(2)]＝f(1)＝2.故选B.
4．若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为( B )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
[解析] ∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，
令x＋2＝t，∴x＝t－2，
∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，
∴g(x)＝2x－1.
5．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝( A )
A．x＋1 B．x－1
C．2x＋1 D．3x＋3
[解析] 因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，
所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1.
二、填空题
6．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点O，A，B，C的坐标分别为(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，\f(3,2)))，(0,4)，(2,0)，则f(－5)＝ eq \f(3,2)_，f[f(2)]＝_4_.
[解析] 由题图可知f(－5)＝eq \f(3,2)，f(2)＝0，f(0)＝4.
故f[f(2)]＝4.
7．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝_3x－2_.
[解析] 设f(x)＝ax＋b，由题设有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22a＋b－3a＋b＝5，,20·a＋b－－a＋b＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－2.))故f(x)＝3x－2.
8．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－1))＝2x＋3，则f(6)的值为_31_.
[解析] 解法一：令eq \f(x,2)－1＝6，解得x＝14，
∴f(6)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,2)－1))＝2×14＋3＝31.
解法二：令eq \f(x,2)－1＝t，x＝2t＋2，
∴f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
∴f(6)＝4×6＋7＝31.故填31.
三、解答题
9．作出下列函数的图象．
(1)y＝eq \f(x,2)＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[解析] (1)函数y＝eq \f(x,2)＋1，x∈{1,2,3,4,5}是由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，(2,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(5,2)))，(4,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(7,2)))五个孤立的点构成，如图．
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图所示．
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)在[－1,1]上的最大值．
[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得a＝1，b＝－1，
又由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)知，函数f(x)＝x2－x＋1的图象开口方向朝上，以x＝eq \f(1,2)为对称轴的抛物线，故在区间[－1,1]上，当x＝－1时，函数取最大值f(－1)＝3.
B 组·能力提升
一、选择题
1．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( D )
A．y＝20－2x
B．y＝20－2x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
[解析] 由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x.
又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5.由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10.故选D.
2．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝( B )
A．eq \f(1,x) B．eq \f(1,x－1)
C．eq \f(1,1－x) D．eq \f(1,x)－1
[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)＝eq \f(1,\f(1,x)－1)
∴f(x)＝eq \f(1,x－1)，故选B.
3．(多选题)水滴进玻璃容器，如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的？下列匹配的图象与容器符合实际的有( AD )
A．Ⅰ－(2) B．Ⅱ－(1)
C．Ⅲ－(3) D．Ⅳ－(4)
[解析] 根据题意，
在Ⅰ中，容器是柱形的，水高度的变化速度应是直线形，与(2)对应，A正确；
在Ⅱ中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与(3)对应，B错误；
在Ⅲ中，容器下半部分为球形，水高度变化为快－慢－快，与(1)对应，C错误；
在Ⅳ中，容器上粗下细，水高度的变化先快后慢，与(4)对应，D正确．
二、填空题
4．已知f(eq \r(x)＋1)＝eq \f(1,x)，则f(x)＝ eq \f(1,x－12)(x＞1)_，其定义域为_(1，＋∞)_.
[解析] 令eq \r(x)＋1＝t则t≥1，x＝(t－1)2，
故f(t)＝eq \f(1,t－12)(t≥1)，
因为t－1≠0，解得t≠1，故t＞1，
故f(x)＝eq \f(1,x－12)(x＞1)，
故f(x)的定义域是(1，＋∞)．
5．已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝3x，则f(x)＝_x_.
[解析] 因为2f(x)－f(－x)＝3x，①
所以将x用－x替换，
得2f(－x)－f(x)＝－3x，②
联立①②解得f(x)＝x.
三、解答题
6．已知函数f(x)＝eq \f(x,ax＋b)(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．
[解析] 因为f(2)＝1，所以eq \f(2,2a＋b)＝1，
即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即eq \f(x,ax＋b)＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(x,\f(1,2)x＋1)＝eq \f(2x,x＋2)，所以f(－3)＝eq \f(2×－3,－3＋2)＝6，
所以f[f(－3)]＝f(6)＝eq \f(2×6,6＋2)＝eq \f(3,2).
C 组·创新拓展
在①f(x＋1)＝f(x)＋2x－1；②f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3；③f(x)≥2恒成立，且f(0)＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数f(x)的图象经过点(1,2)，_________.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,4]上的值域．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
[解析] (1)选条件①，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c.
因为f(x＋1)＝f(x)＋2x－1，
所以ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c＝ax2＋bx＋c＋2x－1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2.))
因为函数f(x)的图象经过点(1,2)，
所以f(1)＝a＋b＋c＝1－2＋c＝2，得c＝3.
故f(x)＝x2－2x＋3.
选条件②，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a).
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝1，,f0＝c＝3，,f1＝a＋b＋c＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝3.))
故f(x)＝x2－2x＋3.
选条件③，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(0)＝3，所以c＝3.
因为f(x)≥2＝f(1)恒成立，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝a＋b＋3＝2，,－\f(b,2a)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))
故f(x)＝x2－2x＋3.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3，
所以0≤(x－1)2≤9，所以2≤(x－1)2＋2≤11.
所以f(x)在[－1,4]上的值域为[2,11]．
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
x
1
2
3
f(x)
2
3
0