人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．有一组实验数据如下表所示：
下列所给函数模型较适合的是( C )
A．y＝lgax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝lgax＋b(a>1)
[解析] 通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.
2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( C )
A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x
[解析] 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
3．在同一直角坐标系中画出函数y＝lgax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是( D )
[解析] 函数y＝ax与y＝lgax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中01，显然y＝ax的图象不符，排除A、B，故选D.
4．已知－1A．0.2a>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a>2a B．2a>0.2a>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a>0.2a>2a D．2a>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a>0.2a
[解析] 因为－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a>2a.
5．(多选题)能使得不等式lg2xA．x>2 B．x>4
C．0[解析] 如图，
结合图象可知，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，有lg2x二、填空题
6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用_甲_作为函数模型．
[解析] 把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是_y＝x2_.
[解析] 当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快．
8．若x∈(0,1)，则的大小关系依次是 2x>>lg x_.
[解析] 结合y＝2x，y＝及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>>lg x.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝，g(x)＝lg2x，x∈(0，＋∞)．
(1)计算f(4)，f(16)，g(4)，g(16)；
(2)利用图象比较出和lg2x的大小关系．
[解析] f(4)＝2，f(16)＝4，g(4)＝2，g(16)＝4.
(2)作出f(x)＝和g(x)＝lg2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0,4)内，>lg2x；
x＝4或x＝16时，＝lg2x；
在(4,16)内，lg2x.
10．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?
[解析] 设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：
连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.
则eq \f(M,N)＝eq \f(2,1＋10%5).
∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴eq \f(M,N)>1，即M>N.
因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．
B组·能力提升
一、选择题
1．函数y＝2x－x2的图象大致是( A )
[解析] 分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D.故选A.
2．当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则a的取值范围是( C )
A．(eq \r(2)，2) B．(1，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
[解析] 当0＜x≤eq \f(1,2)时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜lgax恒成立，则y＝lgax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝lgax的图象与y＝4x的图象交于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))点时，a＝eq \f(\r(2),2)，故虚线所示的y＝lgax的图象对应的底数a应满足eq \f(\r(2),2)＜a＜1，故选C.
3．(多选题)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法中正确的是( BC )
A．前5 min温度增加越来越快
B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加
D．5 min后温度保持不变
[解析] 前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B、C正确，故选BC.
二、填空题
4．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_6_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_10_000_倍．
[解析] 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A9,5级地震的最大振幅为A5，则有lg A9－lg 0.001＝9，得A9＝106；同理得A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
5．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如表：
地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)，则a＝ eq \f(2,3)_，b＝ eq \f(73,15)_.(取lg 2＝0.3)
[解析] 由题表中数据得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg 1.6＋b＝5，,alg 3.2＋b＝5.2，))
两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，
所以alg 2＝0.2，解得a＝eq \f(2,3)，
所以b＝5－eq \f(2,3)lg 1.6
＝5－eq \f(2,3)(4lg 2－1)＝5－eq \f(2,3)×eq \f(1,5)＝eq \f(73,15).则y＝eq \f(2,3)lg x＋eq \f(73,15)，经检验，后两次数据也适合该式．
三、解答题
6．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8,64]内时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x所在的范围．
[解析] (1)由题意知y＝lgax是增函数，
∴a>1，
又当x∈[8,64]，y∈[3,6]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))∴a＝2，∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x<8，,lg2x，8≤x≤64，,10%x，x>64，))
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x≥4，,10%x≤10，))
解得16≤x≤100，
∴年奖金y∈[4,10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16,100]．
C组·创新拓展
一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，有以下四个说法：
①在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加；
②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km；
③大约在第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
④在图2的四条曲线(S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹．
其中，所有正确说法的序号是_①④_.
[解析] 由题图1可知，该赛车先在直道行驶不到0.4 km，转过弯道又进入直道，加速行驶，以此循环行驶，在2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加，故①正确；由于赛车必须在进入弯道前的直道就减速，过了弯道进入直道就需要逐渐加速，由题图1可知，最长的直道一定大于0.6 km，例如1.4 km到2.4 km这段直道肯定大于0.6 km，由此可知赛车开始最长直线路程的行驶的路段也是从1.4 km处开始，故②③错误；结合题图1和题图2可知，赛车赛程是：短直道—弯道—较长直道—弯道—长直道—小弯道—小直道，因此只有曲线B最能符合赛车的运动轨迹，故④正确．x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
地震强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4