人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时课后复习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期为eq \f(π,5)，其中ω＞0，则ω等于( B )
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析] 由已知得eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(π,5)，又ω＞0，
所以eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,5)，ω＝10.故选B.
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] 由题意，f(x)是周期为2的偶函数，故选B.
3．对于函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))，下列命题正确的是( D )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
[解析] 因为函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sin 2x，T＝eq \f(2π,2)＝π，且y＝sin 2x是奇函数，
所以y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))是周期为π的奇函数．
4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,2)))的一个对称中心是( B )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0))
[解析] y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,2)))＝cs 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))符合要求，故选B.
5．函数f(x)＝eq \f(sin x,1＋cs x)的奇偶性是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
[解析] 因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝eq \f(sin－x,1＋cs－x)＝－eq \f(sin x,1＋cs x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.
二、填空题
6．若函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为_6_.
[解析] T＝eq \f(2π,ω)，1＜eq \f(2π,ω)＜4，则eq \f(π,2)＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.
7．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是_π(答案不唯一)_.
[解析] 因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．
8．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则当x<0时，f(x)的解析式为_f(x)＝－sin_x(x<0)_.
[解析] 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，∵f(x)为R上偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，故f(x)＝－sin x(x<0)．
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cs 3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
[解析] (1)f(－x)＝－2cs 3(－x)
＝－2cs 3x＝f(x)，x∈R，
所以f(x)＝－2cs 3x为偶函数．
(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，
所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数．
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥eq \f(1,2)时x的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，
∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
又∵当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))时，x＋π∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如右图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝eq \f(1,2)时，x＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)，
∴在[0，π]内，f(x)≥eq \f(1,2)时，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥eq \f(1,2)时，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z.
B 组·能力提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝sineq \f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝( A )
A．eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2)
C．0 D．eq \r(3)
[解析] ∵f(x)＝sineq \f(π,3)x的周期T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)
＝337[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 023)
＝337eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)＋sin\f(2,3)π＋sin π＋sin\f(4,3)π＋sin\f(5,3)π＋sin 2π))＋f(337×6＋1)
＝337×0＋f(1)＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).故选A.
2．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( AC )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＋1
B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
C．f(x)＝eq \r(1＋sin 2x)＋eq \r(1－sin 2x)
D．y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
[解析] 由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＋1＝cs 2x＋1知，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；
由y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x知，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))为奇函数，故B不满足条件；
对任意x∈R，－1≤sin 2x≤1，∴1＋sin 2x≥0,1－sin 2x≥0.
∴f(x)＝eq \r(1＋sin 2x)＋eq \r(1－sin 2x)的定义域是R，关于原点对称．
∵f(－x)＝eq \r(1＋sin－2x)＋eq \r(1－sin－2x)
＝eq \r(1＋sin 2x)＋eq \r(1－sin 2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；
y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC.
3．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是( AD )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
[解析] φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数；φ＝eq \f(π,2)时，f(x)＝cs x是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD.
二、填空题
4．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(0<ω<2)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为_4π_.
[解析] 因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω·\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝1，所以ω·eq \f(2π,3)＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，由此可得ω＝3k＋eq \f(1,2)(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝eq \f(1,2)，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.
5．已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，φ的值为 －eq \f(π,4)_.
[解析] ∵函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，
∴eq \f(π,4)＋φ＝kπ，解得φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z，
又∵φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).∴k＝0时φ＝－eq \f(π,4).
三、解答题
6．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sin x，求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π))时，f(x)的解析式．
[解析] x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π))时，
3π－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sin x，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π)).
C 组·创新拓展
若定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，则函数f(x)的周期T＝_4_，若f(1)＝2，则f(99)＝ eq \f(13,2)_.
[解析] 因为f(x)·f(x＋2)＝13，
所以f(x＋2)＝eq \f(13,fx)，
所以f(x＋4)＝eq \f(13,fx＋2)＝eq \f(13,\f(13,fx))＝f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝eq \f(13,f1)＝eq \f(13,2).