高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质课时训练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，则φ可以是( A )
A．－eq \f(π,6) B．eq \f(π,6)
C．－eq \f(π,12) D．eq \f(π,12)
[解析] ∵函数的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝0，
∴eq \f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，
令k＝0，则φ＝－eq \f(π,6)，故选A.
2．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))与函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的最小正周期相同，则ω＝( A )
A．±1 B．1
C．±2 D．2
[解析] eq \f(π,|ω|)＝eq \f(2π,|－2|)，ω＝±1.
3．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的图象是( A )
[解析] 由f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，
知f(x＋2π)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋2π－\f(π,3)))
＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))＝f(x)．
∴f(x)的周期为2π，排除B，D.
令tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))＝0，得eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)．
∴x＝2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，若k＝0，则x＝eq \f(2π,3)，
即图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，故选A.
4．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(3π,2)))，则函数的值域为( C )
A．(eq \r(3)，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，＋∞))
C．(－eq \r(3)，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))
[解析] 由eq \f(2π,3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))＝－eq \r(3).故函数的值域为(－eq \r(3)，＋∞)．
5．(多选题)已知函数f(x)＝tan x，则下列结论正确的是( ACD )
A．2π是f(x)的一个周期
B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称
[解析] 对于函数f(x)＝tan x，它的最小正周期为π，故2π是f(x)的一个周期，故A正确；由于f(x)为奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))，B不正确；由函数的图象可得，它的值域为R，故C正确；当x＝eq \f(π,2)时，函数无意义，结合图象可得f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称，故D正确．
二、填空题
6．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为eq \f(π,4)，则ω的值是_4_.
[解析] 由题意可得f(x)的周期为eq \f(π,4)，则eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，∴ω＝4.
7．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,5)))的单调递增区间是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,10)，kπ＋\f(7π,10)))，k∈Z_.
[解析] 令kπ－eq \f(π,2)＜x－eq \f(π,5)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(3π,10)＜x＜kπ＋eq \f(7π,10)，k∈Z，
即函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,5)))的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,10)，kπ＋\f(7π,10)))，k∈Z.
8．函数y＝eq \f(1,tan x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)[解析] 当－eq \f(π,4)＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴eq \f(1,tan x)＜－1；
当0＜x＜eq \f(π,4)时，0＜tan x＜1，∴eq \f(1,tan x)＞1.
即当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，函数y＝eq \f(1,tan x)的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
三、解答题
9．求下列函数的周期及单调区间．
(1)y＝3tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))；
(2)y＝|tan x|.
[解析] (1)y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))，
∴T＝eq \f(π,|ω|)＝4π，
∴y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的周期为4π.
由kπ－eq \f(π,2)得4kπ－eq \f(4π,3)∴y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))
(k∈Z)内单调递增，无单调递减区间．
∴y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))，无递增区间．
(2)由于y＝|tan x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))k∈Z，,－tan x，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))k∈Z.))
∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，单调减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．
10．已知－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4)，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，
求f(x)的最值及相应的x值．
[解析] ∵－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4)，
∴－eq \r(3)≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，ymin＝1；
当tan x＝1，即x＝eq \f(π,4)时，ymax＝5.
B 组·能力提升
一、选择题
1．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是( D )
[解析] 当eq \f(π,2)＜x＜π，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；
当π＜x＜eq \f(3π,2)时，tan x＞sin x，y＝2sin x即－22．(多选题)下列说法正确的是( BD )
A．taneq \f(8π,7)>taneq \f(2π,7)
B．sin 145°C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(π,ω)
D．函数y＝2tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤x<\f(π,2)))的值域是[2，＋∞)
[解析] A错误，taneq \f(8π,7)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,7)))＝taneq \f(π,7)，因为01，故sin 145°3．(多选题)关于函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))，下列说法正确的是( ACD )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))
C．f(x)的图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))，k∈Z
D．f(x)在区间(0，π)上单调递增
[解析] 对于A选项，函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π，A对；
对于B选项，由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得x≠2kπ＋eq \f(5π,3)(k∈Z)，故函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z))，B错；
对于C选项，由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，解得x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，
所以，函数f(x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)，C对；
对于D选项，当0二、填空题
4．给出下列命题：
(1)函数y＝tan |x|不是周期函数；
(2)函数y＝tan x在定义域内是增函数；
(3)函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))的周期是eq \f(π,2)；
(4)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x))是偶函数．
其中正确命题的序号是_(1)(3)(4)_.
[解析] y＝tan |x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tan x在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))的周期是eq \f(π,2).∴(3)对；y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋x))＝cs x是偶函数，∴(4)对．
因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．
5．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，则x的取值范围是
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋\f(kπ,2)，\f(5π,24)＋\f(kπ,2)))(k∈Z)_.
[解析] 令z＝2x－eq \f(π,6)，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足tan z≤1的z的值是－eq \f(π,2)三、解答题
6．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；
(2)若y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数，求θ的取值范围．
[解析] (1)当θ＝－eq \f(π,6)时，tan θ＝－eq \f(\r(3),3)，函数f(x)＝x2－eq \f(2\r(3),3)x－1，对称轴为x＝eq \f(\r(3),3).
∵x∈[－1，eq \r(3)]，∴当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)取得最小值－eq \f(4,3)，
当x＝－1时，f(x)取得最大值eq \f(2\r(3),3).
(2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥eq \r(3)，
即tan θ≥1或tan θ≤－eq \r(3).
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴θ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
C 组·创新拓展
已知函数f(x)＝sin x(x∈[0，π])和函数g(x)＝eq \f(\r(3),2)tan x的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为 eq \f(π,4)_.
[解析] 由函数f(x)＝sin x(x∈[0，π])和函数g(x)＝eq \f(\r(3),2)tan x的图象交于A，B，C三点，可得A(0,0)，B(π，0)，
令sin x＝eq \f(\r(3),2)tan x，可得cs x＝eq \f(\r(3),2)，x＝eq \f(π,6)，
所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,2)))，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×π×eq \f(1,2)＝eq \f(π,4).