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浙教版九年级上册数学第一章解直角三角函数（A卷）含解析答案
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这是一份浙教版九年级上册数学第一章解直角三角函数（A卷）含解析答案，共42页。
第一章�解直角三角函数（A卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡 B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
4．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则cos∠BDE的值是( )
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
12．如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
13．已知为锐角，且tan2－(1＋)tan＋1=0，则的度数为( )
A．30° B．45° C．30°或45° D．45°或60°
14．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
16．、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
18．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
19．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm
20．如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
21．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
评卷人
得分
二、填空题
22．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么 ．
23．如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则 ．
24．如图，正方形中，，AB与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ．
25．如图，在中，，，点是的中点，是等腰直角三角形，，线段与线段相交于点，将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合的过程中，线段的长度的取值范围 ．
26．在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、，则弦BC的长度是 ．
评卷人
得分
三、解答题
27．已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；
②求的最大值.
28．计算：.
29．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．
30．如图，在矩形ABCD中，，点F为AB的中点，将△AFD沿FD翻折至△EFD，FE延长线恰好过点C．
(1)求证：△DEC≌△CBF；
(2)求m的值．
31．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
32．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长（结果保留根号）
33．期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．
(1)求的距离：
(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：）．
34．已知四边形内接于，．
（1）如图1，求证：点到两边的距离相等；
（2）如图2，已知与相交于点，为的直径．
①求证：；
②若，，求的长．
35．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM= ，CF= ．
参考答案：
1．B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
2．C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．根据旋转性质可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，所以CD＝2．在Rt△CED中求出sin∠DCE的值．
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．
根据旋转性质可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，
∴CD＝5﹣3＝2，
∴CE2，
在Rt△CED中，sin∠ECD，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，属于基础题，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．
3．A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律判断即可；正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小．
【详解】解：A选项，sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A正确；
B选项，cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，B错误；
C选项，tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，C错误；
D选项，根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题关键．
4．A
【分析】由折叠的性质可知，故；由三角形的内角和定理及平角的知识即可得到，最后根据进行计算，即可得到结论．
【详解】解：在中，，，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
，
．
又，
，
在Rt中，，
．
故选A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识是解题的关键．
5．C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
6．A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
7．C
【分析】根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.
【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点，，
∴BE=CE=EF=，
∴∠EFC=∠ECF，AE=，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，
∴==，
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF=∠AEB.
8．A
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF=2x,再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴cos∠BDE===.
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
9．D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝EF＝3﹣x＝，
∴tan∠DAE＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
10．A
【分析】首先根据求出，然后根据求解即可．
【详解】∵，为锐角，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式．
11．A
【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，
即，
解得：CF=，
∴此时三角形ACE的面积==6，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．
12．D
【分析】①根据正方形的性质求证是直角三角形即可得到结果；
②由①求证，利用其对应边成比例即可得到结论；
③由①求证即可得出结论；
④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；
【详解】∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点，
∴，
∴，
∵CG∥AE，
∴，
∴，
∴，即△CGF为直角三角形，
∵CG∥AE，
∴△BHE也是直角三角形，
∴．
故①正确；
由①得，
∴，
∴，
故②正确；
由①得，
∴BH=CG，而不是BH=FG，
故③错误；
∵，
∴，
即，
同理可得：，
可得，
∴，
∴④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是解题的关键．
13．C
【分析】首先解一元二次方程求得tanα的值，再根据特殊角的正弦值求出α的度数.
【详解】∵tan2α－(1＋)tanα＋1＝0，
∴(tanα−1)(tanα−1 )=0，
解得tanα=或tanα=1.
则α=30°或45°.
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及特殊角的正弦值，正确解出方程并熟记特殊角的正弦值是解答本题的关键.
14．C
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
15．A
【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG==．由此可解决此问题．
【详解】解：作CH⊥DF于点H，如图所示，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF和△BAE（SAS）．
∴∠ADF＝∠BAE，
又∠BAE＋∠GAD＝90°，
∴∠ADF＋∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．
又∵∠ADG＋∠CDG＝90°，∠HDC＋∠CDG＝90°，
∴∠ADG＝∠HDC．
在△AGD和△DHC中，
，
∴△AGD≌△DHC（AAS）．
∴DH＝AG．
又∵CG＝BC，BC＝DC，
∴CG＝DC．
∴GH＝DH，
∴AG＝DH＝GH．
∴tan∠ADG=，
∴tan∠ADF=，
∴AF=AB．
即F为AB中点，
∴AF：FB＝1：1．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题关键．
16．B
【分析】根据锐角三角函数的增减性先判断解答．、大小，再进而判定其他类型三角函数值大小即可．
【详解】解：∵ 、都是锐角，且，
∴ ，
∴ ，，．
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的增减性，熟知各类三角函数的增减性是解题关键．
17．C
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
18．C
【详解】试题解析：∵sin30°=cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选C．
19．B
【分析】首先连接EC，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠E=∠B，又由AE是⊙O的直径与∠B=∠EAC，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACE=90°，∠E=45°，然后利用三角函数中的正弦，即可求得AC的长．
【详解】解：连接EC，
∵∠E与∠B是对的圆周角，
∴∠E=∠B，
∵∠B=∠EAC，
∴∠E=∠EAC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠EAC=45°，
∵AE=10cm，
∴AC=AE•sin45°=10×=5（cm）．
∴AC的长为5cm．
故选B
【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．
20．B
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，由坡比的定义和特殊锐角三角函数值可求出，进而，，在中，求出，进而求出即可．
【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于点，
斜坡的坡比为，即，
，
又米，
，，
，
在中，，，
米，
米，
故答案为：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握仰角、俯角、坡比的定义是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
21．D
【分析】①直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；
②过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，首先根据四边形MONC的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出AE,AF,EF的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出OM,BK的长度，然后利用即可判断；
③利用平行线分线段成比例得出，然后利用勾股定理求出OM的长度，进而OF的长度可求；
④直接利用平行线的性质证明，即可得出结论．
【详解】∵，
∴,
又∵
∴,
，
，故①正确；
如图，过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
，
即，
∴ ，
，故②错误；
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，故③正确；
，
，
．
，
，
，故④正确；
∴正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查四边形综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数是解题的关键．
22．
【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答．
【详解】解：如图，延长CG与AB交于点D，过D作DE⊥CB于点E，
∵G是△ABC 的重心，∴CG=2GD，
∵CG=2，∴GD=1，∴CD=2+1=3，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB，∴AC∥DE，
∵D是AB中点，∴E是CB中点，
∴CE=，∴cos∠GCB=，
故答案为．
【点睛】本题考查三角形的综合运用，熟练掌握重心的性质和余弦函数的定义是解题关键．
23．
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD=
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
24．
【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.
【详解】∵AB与直线l所夹锐角为，正方形中，，
∴∠=30°，
∴=tan30°==1，
∴；
∵=1，∠=30°，
∴=tan30°=，
∴；
∴线段,
故答案为：.
【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.
25．
【分析】由旋转的性质可得DE=CD=3，由点Q在EF上运动，可得当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，由锐角三角函数可求解．
【详解】解：∵BC=6，点D是BC的中点，
∴CD=BD=3，
∵将△DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合，
∴DE=CD=3，
∵线段EF与线段AB相交于点Q，
∴点Q在EF上运动，
∴当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，
如图，连接DQ，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，
∵△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴DQ的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
26．4或2．
【分析】本题需要考虑对弦AB、AC所在位置进行分类讨论，可利用余弦定理求出∠OAB =60°、∠OAC=30°，若弦AB、AC位于圆心的两侧时，则∠BAC=∠OAB+∠OAC=90°，则BC为圆的直径；若弦AB、AC位于圆心的同一侧时，则∠BAC=∠OAB-∠OAC=30°，证四边形OABC为菱形，BC的长度也可求得．
【详解】解：①如下图所示，当弦AB、AC位于圆心的两侧时，分别将圆心O点与A、B、C相连，作ODAB，OEAC，
∵圆的半径为2，故OA=OB=OC=2，且AB=2，
∴AOB是等边三角形，∠OAB=60°，
在等腰三角形AOC中，OE为AC边上的高，OE也是AC边的中线，
∴AE=CE=，且∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，则∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°+30°=90°，
∴弦BC为圆的直径，BC=4；
②如下图所示，当弦AB、AC位于圆心的同一侧时，分别将圆心O点与A、B、C相连，
同①中的分析相同，AOB是等边三角形，∠OAB=60°，
且∠OAC=30°，OA=OC，故AOC是等腰三角形，∠AOC=120°，
又∵∠AOC+∠OAB=180°，平行线间同旁内角互补，
∴OCAB，且OC=OB=OA，故四边形OABC为菱形，
∴BC=OA=2，
故答案为：4或2．
【点睛】此题主要考查垂径定理、三角函数、圆周角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论．
27．（1）见解析；（2）①，；② 的最大值为.
【分析】（1）连接，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作于点，证明，得，从而得解.
【详解】（1）证明：连接，则：
∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵轴
∴
∴
∴直线为的切线.
（2）①如图1，当位于上时：
∵
∴
∴设，则
∴
∴，解得：
∴
即
如图2，当位于的延长线上时：
∵
∴设，则
∴
∴
解得：
∴
即
②如图，作于点，
∵是直径
∴
∴
∴
∵半径
∴
∴的最大值为.
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
28．
【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可
【详解】原式=
【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
29．（1）见解析；（2）∠BDF=110°；（3）18
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，进而利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．
【详解】解：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，
∴AB=6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，
∴AE=，
∵E是的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴，
即EG•ED==18．
【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．
30．(1)证明见解析
(2)m的值是
【分析】（1）由矩形的性质可知，，，由翻折的性质可知，，，由可得，进而可证；
（2）由（1）知，则，由点F为AB的中点，可知，则，，在 中，由勾股定理得，进而根据计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴，，
由翻折的性质可知，，
∵
∴
在和中
∵
∴
（2）解：由（1）知
∴
∵点F为AB的中点
∴
∴，
在 中，由勾股定理得
∴
∴m的值是．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
31．（1）见解析1；（2）
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：在中，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
∵
∴
在中，，.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
32．米
【分析】由题意可求得 米，分别在和中，利用三角函数的求出和，最后根据可得出答案．
【详解】解：由题意得，米，
∴米，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
∴米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
33．(1)
(2)小西家会被划为管控区，理由见解析．
【分析】（1）过点作于点，根据题意可得，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；
(2)过点作于点，根据题意可得，所以，然后根据锐角三角函数即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点作于点，
根据题意可知：m，
，
，
，；
的距离约为
（2）小西家会被划为管控区，理由如下：
如图，过点作于点，
根据题意可知∶，
在Rt中，，
小西家会被划为管控区．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握解直角三角形的应用．
34．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）连接，由等弦对等弧，等弧对等角得，即可得证；
（2）①由，得到，由直径所对的圆周角是直角，可推得；过点作，交延长线于点，根据角的关系证明，又由，得到，进一步等量代换得，即可得证；
（2）②由第一小问知，，设，则，由条件求出BD的值，建立等量关系，分别求出DE的值，再证明，根据相似三角形线段成比例得，代入相关数值求解即可．
【详解】证明：（1）如图1，连接，
，
，
，
点到两边的距离相等；
（2）①，
，
为直径，
，
，
如图2，过点作，交延长线于点，
，，
又由（1）知：，
，
，
，
，
，
②如图，
由（2）①得：，
则，
设，则，
为直径，
，
，
，
，
解得：，
，，
又，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形的相似的性质和判定，等弦对等弧，等弧对等角，平行线分线段成比例等相关知识点，牢记知识点是解题关键．
35．（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣
【分析】(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；
（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，
②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；
(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，
可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.
【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，
∴BM=MN，
在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，
∵∠ENF=135°，，
∴∠BME=∠NMF，
∴△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵CN=CF+NF，
∴BE+CF=BM；
（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=NF﹣CF，
∴BE﹣CF=BM；
针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=CF﹣NF，
∴CF﹣BE=BM；
（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN=+1，
在Rt△ABC中，AC=AB=+1，
∴AC=AB=2+，
∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，
在Rt△CMN中，CM=CN=，
∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，
在Rt△BME中，tan∠BEM===，
∴BE=，
∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，
∴CF=BM﹣BE=1﹣
②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，
∴此种情况不成立；
③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，
∴CF=BM+BE=1+，
故答案为1，1+或1﹣．
【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.
第一章�解直角三角函数（A卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡 B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
4．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则cos∠BDE的值是( )
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
12．如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
13．已知为锐角，且tan2－(1＋)tan＋1=0，则的度数为( )
A．30° B．45° C．30°或45° D．45°或60°
14．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
16．、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
18．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
19．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm
20．如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
21．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
评卷人
得分
二、填空题
22．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么 ．
23．如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则 ．
24．如图，正方形中，，AB与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ．
25．如图，在中，，，点是的中点，是等腰直角三角形，，线段与线段相交于点，将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合的过程中，线段的长度的取值范围 ．
26．在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、，则弦BC的长度是 ．
评卷人
得分
三、解答题
27．已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；
②求的最大值.
28．计算：.
29．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．
30．如图，在矩形ABCD中，，点F为AB的中点，将△AFD沿FD翻折至△EFD，FE延长线恰好过点C．
(1)求证：△DEC≌△CBF；
(2)求m的值．
31．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
32．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长（结果保留根号）
33．期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．
(1)求的距离：
(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：）．
34．已知四边形内接于，．
（1）如图1，求证：点到两边的距离相等；
（2）如图2，已知与相交于点，为的直径．
①求证：；
②若，，求的长．
35．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM= ，CF= ．
参考答案：
1．B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
2．C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．根据旋转性质可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，所以CD＝2．在Rt△CED中求出sin∠DCE的值．
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．
根据旋转性质可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，
∴CD＝5﹣3＝2，
∴CE2，
在Rt△CED中，sin∠ECD，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，属于基础题，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．
3．A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律判断即可；正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小．
【详解】解：A选项，sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A正确；
B选项，cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，B错误；
C选项，tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，C错误；
D选项，根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题关键．
4．A
【分析】由折叠的性质可知，故；由三角形的内角和定理及平角的知识即可得到，最后根据进行计算，即可得到结论．
【详解】解：在中，，，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
，
．
又，
，
在Rt中，，
．
故选A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识是解题的关键．
5．C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
6．A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
7．C
【分析】根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.
【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点，，
∴BE=CE=EF=，
∴∠EFC=∠ECF，AE=，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，
∴==，
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF=∠AEB.
8．A
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF=2x,再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴cos∠BDE===.
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
9．D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝EF＝3﹣x＝，
∴tan∠DAE＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
10．A
【分析】首先根据求出，然后根据求解即可．
【详解】∵，为锐角，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式．
11．A
【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，
即，
解得：CF=，
∴此时三角形ACE的面积==6，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．
12．D
【分析】①根据正方形的性质求证是直角三角形即可得到结果；
②由①求证，利用其对应边成比例即可得到结论；
③由①求证即可得出结论；
④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；
【详解】∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点，
∴，
∴，
∵CG∥AE，
∴，
∴，
∴，即△CGF为直角三角形，
∵CG∥AE，
∴△BHE也是直角三角形，
∴．
故①正确；
由①得，
∴，
∴，
故②正确；
由①得，
∴BH=CG，而不是BH=FG，
故③错误；
∵，
∴，
即，
同理可得：，
可得，
∴，
∴④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是解题的关键．
13．C
【分析】首先解一元二次方程求得tanα的值，再根据特殊角的正弦值求出α的度数.
【详解】∵tan2α－(1＋)tanα＋1＝0，
∴(tanα−1)(tanα−1 )=0，
解得tanα=或tanα=1.
则α=30°或45°.
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及特殊角的正弦值，正确解出方程并熟记特殊角的正弦值是解答本题的关键.
14．C
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
15．A
【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG==．由此可解决此问题．
【详解】解：作CH⊥DF于点H，如图所示，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF和△BAE（SAS）．
∴∠ADF＝∠BAE，
又∠BAE＋∠GAD＝90°，
∴∠ADF＋∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．
又∵∠ADG＋∠CDG＝90°，∠HDC＋∠CDG＝90°，
∴∠ADG＝∠HDC．
在△AGD和△DHC中，
，
∴△AGD≌△DHC（AAS）．
∴DH＝AG．
又∵CG＝BC，BC＝DC，
∴CG＝DC．
∴GH＝DH，
∴AG＝DH＝GH．
∴tan∠ADG=，
∴tan∠ADF=，
∴AF=AB．
即F为AB中点，
∴AF：FB＝1：1．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题关键．
16．B
【分析】根据锐角三角函数的增减性先判断解答．、大小，再进而判定其他类型三角函数值大小即可．
【详解】解：∵ 、都是锐角，且，
∴ ，
∴ ，，．
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的增减性，熟知各类三角函数的增减性是解题关键．
17．C
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
18．C
【详解】试题解析：∵sin30°=cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选C．
19．B
【分析】首先连接EC，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠E=∠B，又由AE是⊙O的直径与∠B=∠EAC，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACE=90°，∠E=45°，然后利用三角函数中的正弦，即可求得AC的长．
【详解】解：连接EC，
∵∠E与∠B是对的圆周角，
∴∠E=∠B，
∵∠B=∠EAC，
∴∠E=∠EAC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠EAC=45°，
∵AE=10cm，
∴AC=AE•sin45°=10×=5（cm）．
∴AC的长为5cm．
故选B
【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．
20．B
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，由坡比的定义和特殊锐角三角函数值可求出，进而，，在中，求出，进而求出即可．
【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于点，
斜坡的坡比为，即，
，
又米，
，，
，
在中，，，
米，
米，
故答案为：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握仰角、俯角、坡比的定义是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
21．D
【分析】①直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；
②过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，首先根据四边形MONC的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出AE,AF,EF的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出OM,BK的长度，然后利用即可判断；
③利用平行线分线段成比例得出，然后利用勾股定理求出OM的长度，进而OF的长度可求；
④直接利用平行线的性质证明，即可得出结论．
【详解】∵，
∴,
又∵
∴,
，
，故①正确；
如图，过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
，
即，
∴ ，
，故②错误；
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，故③正确；
，
，
．
，
，
，故④正确；
∴正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查四边形综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数是解题的关键．
22．
【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答．
【详解】解：如图，延长CG与AB交于点D，过D作DE⊥CB于点E，
∵G是△ABC 的重心，∴CG=2GD，
∵CG=2，∴GD=1，∴CD=2+1=3，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB，∴AC∥DE，
∵D是AB中点，∴E是CB中点，
∴CE=，∴cos∠GCB=，
故答案为．
【点睛】本题考查三角形的综合运用，熟练掌握重心的性质和余弦函数的定义是解题关键．
23．
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD=
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
24．
【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.
【详解】∵AB与直线l所夹锐角为，正方形中，，
∴∠=30°，
∴=tan30°==1，
∴；
∵=1，∠=30°，
∴=tan30°=，
∴；
∴线段,
故答案为：.
【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.
25．
【分析】由旋转的性质可得DE=CD=3，由点Q在EF上运动，可得当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，由锐角三角函数可求解．
【详解】解：∵BC=6，点D是BC的中点，
∴CD=BD=3，
∵将△DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合，
∴DE=CD=3，
∵线段EF与线段AB相交于点Q，
∴点Q在EF上运动，
∴当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，
如图，连接DQ，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，
∵△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴DQ的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
26．4或2．
【分析】本题需要考虑对弦AB、AC所在位置进行分类讨论，可利用余弦定理求出∠OAB =60°、∠OAC=30°，若弦AB、AC位于圆心的两侧时，则∠BAC=∠OAB+∠OAC=90°，则BC为圆的直径；若弦AB、AC位于圆心的同一侧时，则∠BAC=∠OAB-∠OAC=30°，证四边形OABC为菱形，BC的长度也可求得．
【详解】解：①如下图所示，当弦AB、AC位于圆心的两侧时，分别将圆心O点与A、B、C相连，作ODAB，OEAC，
∵圆的半径为2，故OA=OB=OC=2，且AB=2，
∴AOB是等边三角形，∠OAB=60°，
在等腰三角形AOC中，OE为AC边上的高，OE也是AC边的中线，
∴AE=CE=，且∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，则∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°+30°=90°，
∴弦BC为圆的直径，BC=4；
②如下图所示，当弦AB、AC位于圆心的同一侧时，分别将圆心O点与A、B、C相连，
同①中的分析相同，AOB是等边三角形，∠OAB=60°，
且∠OAC=30°，OA=OC，故AOC是等腰三角形，∠AOC=120°，
又∵∠AOC+∠OAB=180°，平行线间同旁内角互补，
∴OCAB，且OC=OB=OA，故四边形OABC为菱形，
∴BC=OA=2，
故答案为：4或2．
【点睛】此题主要考查垂径定理、三角函数、圆周角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论．
27．（1）见解析；（2）①，；② 的最大值为.
【分析】（1）连接，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作于点，证明，得，从而得解.
【详解】（1）证明：连接，则：
∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵轴
∴
∴
∴直线为的切线.
（2）①如图1，当位于上时：
∵
∴
∴设，则
∴
∴，解得：
∴
即
如图2，当位于的延长线上时：
∵
∴设，则
∴
∴
解得：
∴
即
②如图，作于点，
∵是直径
∴
∴
∴
∵半径
∴
∴的最大值为.
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
28．
【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可
【详解】原式=
【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
29．（1）见解析；（2）∠BDF=110°；（3）18
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，进而利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．
【详解】解：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，
∴AB=6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，
∴AE=，
∵E是的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴，
即EG•ED==18．
【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．
30．(1)证明见解析
(2)m的值是
【分析】（1）由矩形的性质可知，，，由翻折的性质可知，，，由可得，进而可证；
（2）由（1）知，则，由点F为AB的中点，可知，则，，在 中，由勾股定理得，进而根据计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴，，
由翻折的性质可知，，
∵
∴
在和中
∵
∴
（2）解：由（1）知
∴
∵点F为AB的中点
∴
∴，
在 中，由勾股定理得
∴
∴m的值是．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
31．（1）见解析1；（2）
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：在中，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
∵
∴
在中，，.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
32．米
【分析】由题意可求得 米，分别在和中，利用三角函数的求出和，最后根据可得出答案．
【详解】解：由题意得，米，
∴米，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
∴米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
33．(1)
(2)小西家会被划为管控区，理由见解析．
【分析】（1）过点作于点，根据题意可得，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；
(2)过点作于点，根据题意可得，所以，然后根据锐角三角函数即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点作于点，
根据题意可知：m，
，
，
，；
的距离约为
（2）小西家会被划为管控区，理由如下：
如图，过点作于点，
根据题意可知∶，
在Rt中，，
小西家会被划为管控区．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握解直角三角形的应用．
34．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）连接，由等弦对等弧，等弧对等角得，即可得证；
（2）①由，得到，由直径所对的圆周角是直角，可推得；过点作，交延长线于点，根据角的关系证明，又由，得到，进一步等量代换得，即可得证；
（2）②由第一小问知，，设，则，由条件求出BD的值，建立等量关系，分别求出DE的值，再证明，根据相似三角形线段成比例得，代入相关数值求解即可．
【详解】证明：（1）如图1，连接，
，
，
，
点到两边的距离相等；
（2）①，
，
为直径，
，
，
如图2，过点作，交延长线于点，
，，
又由（1）知：，
，
，
，
，
，
②如图，
由（2）①得：，
则，
设，则，
为直径，
，
，
，
，
解得：，
，，
又，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形的相似的性质和判定，等弦对等弧，等弧对等角，平行线分线段成比例等相关知识点，牢记知识点是解题关键．
35．（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣
【分析】(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；
（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，
②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；
(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，
可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.
【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，
∴BM=MN，
在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，
∵∠ENF=135°，，
∴∠BME=∠NMF，
∴△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵CN=CF+NF，
∴BE+CF=BM；
（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=NF﹣CF，
∴BE﹣CF=BM；
针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=CF﹣NF，
∴CF﹣BE=BM；
（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN=+1，
在Rt△ABC中，AC=AB=+1，
∴AC=AB=2+，
∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，
在Rt△CMN中，CM=CN=，
∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，
在Rt△BME中，tan∠BEM===，
∴BE=，
∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，
∴CF=BM﹣BE=1﹣
②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，
∴此种情况不成立；
③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，
∴CF=BM+BE=1+，
故答案为1，1+或1﹣．
【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.
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