2024武汉四中高二上学期10月月考数学试题扫描版含答案

这是一份2024武汉四中高二上学期10月月考数学试题扫描版含答案，共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】先化简复数z，即可求出共轭复数，进而可知其对应点所在的象限.
【详解】复数，
复数的共轭复数为，对应的点为，在第三象限.
故选：C.
2．已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论.
【详解】对于A，，，故选项A在平面内；
对于B，，，故选项B不在平面内；
对于C，，，故选项C在平面内；
对于D，，，故选项D在平面内.
故选：B.
3．在四棱锥中，分别为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
因为分别为的中点，则,,
,
故选：A.
4．如图，某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196B．0.504C．0.686D．0.994
【答案】C
【分析】由题意分析，列举出系统能正常工作的基本事件，应用概率的加法公式求概率即可.
【详解】由题意知：系统能正常工作的基本事件有{A、B和C正常工作，A、B正常工作而C不正常工作，A、C正常工作而B不正常工作}，
∴A、B和C正常工作的概率为：；
A、B正常工作而C不正常工作的概率为；
A、C正常工作而B不正常工作的概率为；
∴系统正常工作的概率.
故选：C.
5．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期.将青铜器中饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．
【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），
（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），
符合题意的只有（下，下，右）这1种，
所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为．
故选：B．
6．已知、是随机事件，则下列结论正确的是（ ）
A．若、是互斥事件，则
B．若、是对立事件，则、是互斥事件
C．若事件、相互独立，则
D．事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率
【答案】BD
【分析】利用互斥事件的定义可得出，进而可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事件所包含的基本情况，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若、是互斥事件，则，则，A错；
对于B选项，若、是对立事件，则、是互斥事件，B对；
对于C选项，若事件、相互独立，
则，C错；
对于D选项，事件、至少发生一个包含三种情况：、、，
事件、恰好发生一个包含两种情况：、，
因此，事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率，D对.
故选：BD.
7．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的公式求解即可
【详解】在上投影向量
故选：A
8．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算.
【详解】因为，由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，所以的最小值为点到平面的距离，由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形，则，，由等体积法得，，所以，所以的最小值为.
故选：C
【点睛】共面定理的应用：设是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在唯一的有序实数组使得，说明：若，则四点共面.
二、多选题
9．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【分析】A选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出，A错误；
B选项，根据向量平行列出方程组，求出；
C选项，根据向量运算法则计算出，利用模长公式列出方程，求出；
D选项，先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦，进而计算出正弦值.
【详解】当时，，解得：，故A错误；
令，则，，故B正确；
，所以，解得：，故C正确；
当，，
因为，，故D正确．
故选：BCD
10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．四面体是鳖臑
B．阳马的体积为
C．若，则
D．到平面的距离为
【答案】BCD
【分析】由△不是直角三角形否定选项A；求得阳马的体积判断选项B；以为基底表示向量进而判断选项C；求得到平面的距离判断选项D.
【详解】A错，连接AC，则△中，，
则△不是直角三角形，则四面体不是鳖臑；
B对，.
C对，
D对，设到平面的距离为d，
又，
由，得，则到平面的距离为
故选：BCD
11．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件“关于的方程无实根”，事件“”，事件“”，事件“”则（ ）
A．A与互斥B．A与对立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】BCD
【分析】先用列举法写出一次试验的基本事件，再根据条件写出事件包含的基本事件即可判断出选项A和B的正误；再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果.
【详解】由题意得，
，
，
包含36个样本点.
对于选项A：由，得，
所以，，，，
共包含30个样本点，
且，共包含6个样本点，
因为，所以A与不互斥，故A错误；
对于选项B：因为，，
共包含18个样本点，
且，共包含6个样本点，
因为，所以A与对立，故B正确；
对于选项C：因为，
所以，故与相互独立，故C正确；
对于选项D：因为，所以，
故与相互独立，故正确.
故选：BCD.
12．如图，棱长为6的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）

A．当时，∥平面
B．当时，若∥平面，则的最大值为
C．当时，若，则点的轨迹长度为
D．过A、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
【答案】ABC
【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；分别取、中点、，连接、、、、，，找出点P的轨迹，结合图形求出的最大值，可判断B选项；作出截面，分析截面的形状，可判断D选项.
【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，

对于A选项：当时，则，
因为，，
设平面的法向量为， 则，
取，则，可得，
所以，则，
因为平面，所以当时，∥平面，故A正确；
对于B选项：当时，为中点，
分别取、中点、，连接、、、、，
因为、分别为、的中点，所以∥，
又因为∥且，则四边形为平行四边形，可得∥，
所以∥，
且平面，平面，所以∥平面，
同理可得，∥平面，

因为，、平面，所以平面∥平面，
当点为的边上一点（异于点）时，则平面，则∥平面，
故点的轨迹为的边（除去点），则，
同理可得，结合图形可得，故B正确；
对于选项C：当时，、分别为、的中点，如图所示：
此时点、、，，

当点在平面内运动时，设点，其中，，
则，
因为，则，解得，
设点的轨迹分别交棱、于点、，则、，
当点在平面内运动时，设点，其中，，
则，则，
设点的轨迹交棱于点，则，设点的轨迹交棱于点，
因为平面∥平面，平面平面，
平面平面，所以∥，
同理可得∥，所以四边形为平行四边形，
且，，
因此点的轨迹的长度即为平行四边形的周长，故C正确；
对于D选项：设截面交棱于点，连接、，由题意可知，截面与平面重合，
因为平面∥平面，平面平面，
平面平面，所以∥，同理可得∥，
所以四边形为平行四边形，

因为，其中，则，，
且，即与不可能垂直，
所以平行四边形不可能为矩形，即过A、、三点的截面不可能是矩形，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可
【详解】因为向量在基底下的坐标为，
所以，
所以向量在基底下的坐标为，
故答案为：
14．如图，在二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，，则二面角所成平面角为 ．

【答案】/120
【分析】在面内，作，过作交于，连接，根据二面角定义找到对应的平面角，应用余弦定理求其余弦值，进而确定大小.
【详解】在面内，作，过作交于，连接，如下图示，

由，则为二面角的平面角，且，
又易知为正方形，即，
，面，则面，面，
所以，中，故，
在中，则，
由图知：，可得.
故答案为：
15．如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．

【答案】
【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直
线，所成角（或其补角）易得，
，，
∴，即异面直线，所成角的余弦值为.

考点：异面直线的夹角.
16．在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据梯形的边长可求出，由几何体翻折过程中体积最大可得平面平面，由面面垂直性质可确定外接球的球心以及半径，即可求得其表面积.
【详解】过点作，垂足为，如图下图所示：

因为为等腰梯形，，，所以，
，可得，
由余弦定理得，即，
易知，所以，
易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，如图所示：

此时，平面，易知，，
记为外接球球心，半径为，
由于平面，，因此到平面的距离，
又的外接圆半径，
因此外接球半径，
即可得球的表面积为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：在求解几何体外接球问题时，需根据几何体的特征确定球心位置，再利用半径相等构造等量关系解出半径即可.
四、解答题
17．在中，角所对的边分别为、、，满足
(1)求角的大小；
(2)若，且，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意由正弦定理和两角和的正弦公式可得，即可得；
（2）根据向量的比例关系可得，由余弦定理可解得，由面积公式即可求出结果.
【详解】（1））在中，因为，
由正弦定理可得，
所以，
又，则，所以，
因此.
（2）由，且，，可得，，即；
在中，由余弦定理得，
即，即，解得或（舍）
所以；
即的面积为.
18．在中，角所对边的长分别为，且
(1)求的值；
(2)若的面积，的外接圆的直径为，求的周长.
【答案】(1) (2)
【分析】(1)由条件结合正弦定理可得，通分化简可得结果；
(2)由的外接圆的直径为可知，结合（1）的结果可得，再利用面积公式可得，利用余弦定理可得，进而得到的周长.
【详解】解：(1) ，由正弦定理可得
即，
即；
(2)外接圆直径为，，
又由(1)得
的面积，
由余弦定理得
或（舍）
的周长.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，熟练应用相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．
19．为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
(1)求p和q的值；
(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解；
（2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.
【详解】（1）设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，．
设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，
则，．
∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
∴A与B相互独立，与互斥，
∴,．
由题意得解得或
∵，∴，．
（2）设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，．
由题意得，，，．
设E：甲、乙两人共答对3道题，则，
∴，
∴甲、乙两人共答对3道题的概率为．
20．2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】(1)31.75岁；36.25
(2)（i）；（ii）10
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数的计算公式求解可得平均数；上四分位数即第百分位数，根据定义可构造方程求得结果；
（2）（i）根据分层抽样原则可求得第四组和第五组抽取的人数，采用列举法可得样本点总数和满足题意的样本点个数，根据古典概型概率公式可求得结果；
（ii）由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差.
【详解】（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）
设上四分位数（第75百分位数）为，
，，
位于第四组：内；
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：
，
共15个样本点.
设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，则
，
共有9个样本点.所以，.
（ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为，
则，，，
，
可得，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
法一：
.
法二：
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为；
据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为．
21．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点.
(1)若为线段的中点，证明：平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点，且的长为，理由见解析.
【分析】（1）取的中点为，连接，得到，结合面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面；
（2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得的法向量为和向量，结合向量的夹角公式列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接，
因为分别为的中点，所以，
又因为平面，且，
所以平面平面，
又由平面，所以平面.
（2）解：以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为底面是边长为2的菱形，设，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，因为，所以，
即，解得，
设，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
设直线与平面所成角为，
所以，解得，即，
所以存在点，且的长为.
22．如图甲，在矩形中，，E为线段的中点，沿直线折起，使得，O点为AE的中点，连接DO、OC，如图乙．

(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理可得答案；
（2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得．
【详解】（1）取线段的中点，连接，

在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
，
在中，，
；
（2）因为，，，平面，，
所以平面，过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点．