北京师范大学实验华夏女子中学2022~2023学年八年级下学期期中数学试题答案

这是一份北京师范大学实验华夏女子中学2022~2023学年八年级下学期期中数学试题答案，共35页。试卷主要包含了单项选择题，四象限，，填空题等内容，欢迎下载使用。

初二数学
满分100分，考试时间100分钟．
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，把正确答案填涂在答题卡上．（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足下列条件：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. +=B. =2C. •=D. ÷=2
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意；
C.原式==，所以C选项错误，不符合题意；
D.原式==2，所以D选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3. 如图，在中，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，可得，，根据，可得，等量代换得出，即可求解．
【详解】解：∵在中，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形．
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故原选项错误，不合题意；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原选项正确，符合题意；
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不合题意；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理，熟知相关图形的判定定理是解题关键．
5. 把正比例函数的图象向上平移4个单位长度，得到的函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】解：把正比例函数的图象向上平移4个单位长度，得到的函数的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象的评平移，掌握平移规律是解题的关键．
6. 关于一次函数的图像和性质，下列叙述正确的是（ ）
A. 与轴交于点B. 函数图像不经过第二象限
C. 随的增大而减小D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数图像上点的坐标特征及函数的性质依次作出判断即可．
【详解】解：.令，则，
一次函数的图像与轴交于点，故错误；
.，
一次函数的图像经过第一、三象限，
，
一次函数的图像经过第三、四象限，
一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故正确；
.，
随的增大而增大，故错误；
.当时，，解得：，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，以及一次函数图像与系数的关系．图像与横轴的交点，纵坐标为0，与纵轴的交点，横坐标为0；当，图像经过第一、三象限，随的增大而增大，当，图像经过第二、四象限，随的增大而减小；当，图像经过第一、二象限，当，图像经过第三、四象限．熟练掌握函数的性质与系数之间的关系是解题的关键．
7. 若△ABC三边长a，b，c满足（a－5）2＋＋＝0，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式，利用非负数的和等于0求得，，的值，根据三边的长即可判定三角形的形状．
【详解】解：∵，，，（a－5）2＋＋＝0，
∴ 即，解得 ，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故选：C
【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理逆定理的运用，利用非负数的和等于0求得，，的值是解题的关键．
8. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：公路，互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，
即，两点间的距离为，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、P均在格点上，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，取格点，连接和，证明得到，再由平行线的性质得到，则可得，再证明是等腰直角三角形即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点，连接和
由网格的特点可知，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
10. 已知直线（m为常数，且）．当m变化时，下列结论正确的有（ ）
①当时，图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小；③直线必过定点；④坐标原点到直线的最大距离是
A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：当时，，
此时一次函数，经过一、三、四象限，故①正确；
对于直线（m为常数，且）来说，当时，即时，y随x的增大而增大；故②错误；
当时，，
∴直线必过定点；故③正确；
设原点到直线的距离为d，
∵由③知直线必过定点，
设点，
∴，
∴坐标原点到直线的最大距离是．故④正确．
∴正确的有：①③④，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
12. ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念，难度较小．
13. 已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是__．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形邻边之比是1：2，设两邻边分别为x，2x，然后利用周长得到一个关于x的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：∵平行四边形的周长是18，一组邻边之比是1：2，
∴设两邻边分别为x，2x，
则2（x+2x）＝18，
解得：x＝3，
∴较短的边的边长是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键．
14. 如果正方形的一条对角线长为，那么该正方形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质，勾股定理，可得，即可求得边长，进而根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，

四边形正方形，，
∴
∴
∴正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
15. 如下图，跷跷板支架的高为0.3米，是的中点，那么跷跷板能骁起的最大高度等于__________米．

【答案】0.6##
【解析】
【分析】当时，BC最大，根据，得，从而得，再根据E是的中点，得，代入即可求解．
【详解】解：当时，BC最大，
∵
∴
∴
∵E是的中点，
∴
∴米，
故答案为：0.6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
16. 如图，对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，的周长是，则__________cm．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
的周长是，
，
，
点、分别是线段，的中点，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线是判定及性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
17. 已知，直角三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况分别计算：当第三边为斜边时以及当斜边为时分别运用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条边长分别为和，
∴当第三边为斜边时，第三边＝，
当斜边为时，第三边＝，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，在题意没有明确直角边和斜边时，注意分类讨论．
18. 如图1，菱形中，，动点以每秒2个单位的速度自点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度自点出发沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随时间变化关系图像，则的值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据图2中的数据即可得到时两点停止运动，所以点以每秒2个单位速度从点运动到点用了4秒，所以，再得出点对应的横坐标为2，然后连接，证明是等边三角形，得，，利用勾股定理求得，即可由求解．
【详解】解：由图2得，时两点停止运动，
点以每秒2个单位速度从点运动到点用了4秒，
，
点运动到点之前和之后，面积算法不同，即时，的解析式发生变化，
图2中点对应的横坐标为2，
此时为中点，点与点重合，
连接，如图，

菱形中，，，
是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了动点函数的图象，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是求出菱形的边长．
三、解答题：（本大题共54分，19-20、25题每题6分，21-23题每题5分，24、26-27题每题7分．）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算即可求解；
（2）运用乘法公式，二次根式的乘法运算即可求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式性质，二次根式的混合运算，乘法公式的运用的综合，掌握以上知识是解题的关键．
20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】（1）通过证明△ADE≌△CBF，由全等三角的对应边相等证得AE=CF．
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【详解】证明：（1）如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，，∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，
∴∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
（2）∵∠1=∠2，
∴
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF
∴四边形EBFD是平行四边形
21. 甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由地到地，行驶路程与时间的函数关系如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）_______先出发，先出发________分钟；
（2）_______先到达终点，先到达________分钟；
（3）求出乙的行驶速度．
【答案】（1）甲，
（2）乙，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象解答即可；
（2）根据函数图象解答即可；
（3）根据速度总路程总时间，列式计算即可得解
【小问1详解】
根据函数图象可得：甲先出发，先出发分钟．
故答案为：甲，．
【小问2详解】
根据函数图象可得：乙先到达终点，先到达分钟，
故答案为：乙，．
【小问3详解】
乙的速度为：．
【点睛】本题考查了函数图象，数形结合，根据函数图象获取信息是解题的关键．
22. 如图，把矩形ABCD沿折线AE进行折叠，使点D落在BC边的F点处．若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
【答案】CE＝3cm
【解析】
【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AEF，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-x）2=x2+（10-BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．
【详解】解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF，
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，
设CE=xcm，则DE=EF=CD-CE=8-x，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC-BF=10-6=4（cm），
在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即（8-x）2=x2+42，
∴64-16x+x2=x2+16，
∴x=3，
即CE=3cm．
【点睛】本题主要考查运用勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是正确建立方程，运用方程思想解决几何问题．
23. 已知：在中，．
求作：矩形．
作法：如下，
①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②作直线，交边于点O；
③作射线，以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线的另一个交点为D，连接；
所以四边形就是所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
证明：∵直线是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵，
∴四边形是矩形（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形即为所求．
【小问2详解】
证明：∵直线是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确作出点D．
24. 已知一次函数经过点，与x轴交于点A．
（1）求b的值和点A的坐标；
（2）画出此函数的图像；观察图像，当时，x的取值范围是________；
（3）若点C是y轴上一点，的面积为6，则点C点坐标是多少？
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出的值，从而求出一次函数的解析式，令时，得出的值即可得出点A的坐标；
（2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线即可，根据图象，即可确定x的取值范围；
（3）先求出的值，根据三角形的面积公式求得的值，即可得出点C的坐标．
【小问1详解】
∵一次函数经过点，
∴．
∵当时，，
解得．
∴．
【小问2详解】
由（1）知，，
画图如下：
即为所求；
由图知，当时，x的取值范围是
【小问3详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴C的坐标为或．
【点睛】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关键．
25. 我们研究函数的图像与性质．
（1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图像；
基本步骤是：
①的取值范围是________；
②列出表格，其中________，________；
③描点，在坐标系中描出表格中的各点；

④连线，在坐标系中画出函数的图像．
（2）通过观察图像，写出该函数的一条性质：_________；
（3）在（1）中给出的平面直角坐标系画出函数图像，说说函数是怎样由函数平移得来的．
【答案】（1）①全体实数；②，；③见解析；④见解析；
（2）时，随的增大而减小（答案不止一个）；
（3）向右平移4个单位再向上平移1个单位．
【解析】
【分析】（1）①根据自变量是全体实数判断即可．
②根据函数的表达式计算求解即可．
（2）运用数形结合思想，写出一条性质即可．
（3）根据平移思想确定即可．
【小问1详解】
①根据题意，自变量的取值范围是全体实数；
故的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数．
②根据题意，时，，
故；
时，，
故；
故答案为：，．
画图像如下：
．
【小问2详解】
根据题意，得时，随的增大而减小，
故答案为：时，随的增大而减小．
【小问3详解】
函数是由函数的图像向右平移4个单位再向上平移1个单位平移得来的．
【点睛】本题考查了函数的比三中形式，求函数值，画函数图像，平移思想，熟练掌握求函数值，画函数图像，平移思想是解题的关键．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）直线垂直平分交于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为．
①用含的代数式表示_______；
②当时，点的坐标为_______；
③在②的条件下，如图2，点、为轴上两个动点，满足，并且点在点的上方，连接，，当四边形周长最小时，直接写出点的坐标_______．
【答案】（1）；
（2）①；②；③．
【解析】
【分析】（1）根据点A和点B坐标应用待定系数法即可．
（2）①根据线段垂直平分线的性质和一次函数解析式求出点D坐标，进而用m表示的长度，再根据三角形面积公式计算即可．
②根据①中面积公式求出m的值，再根据线段垂直平分线的性质确定点P的横坐标，即可求出点P的坐标．
③在直线a上取一点，作点Q关于y轴的对称点C，连接，其与y轴的交点即为N．根据四边形周长公式确定当取得最小值时，四边形的周长取得最小值，根据平行四边形的判定定理和性质，轴对称的性质确定，进而确定当B，N，C三点共线时，四边形的周长取得最小值，根据点B和点C坐标应用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点N的坐标．
【小问1详解】
解：将点，，代入
得：．
解得
直线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：①直线a垂直平分交于点D，
点D的横坐标为，
点D在直线上，
．
点P的纵坐标为m，
．
故答案为：．
②，
．
．
点P在线段的垂直平分线上，
点P的横坐标是．
．
故答案为：．
③如下图所示，在直线a上取一点，作点Q关于y轴的对称点C，连接，其与y轴的交点即为N．
点B和点P是定点，
的长度为固定值．
四边形，，
当取得最小值时，四边形的周长取得最小值．
，，
．
，，
．
．
四边形是平行四边形．
．
点C与点Q关于y轴对称，
，．
．
当B，N，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值．
当B，N，C三点共线时，四边形的周长取得最小值．
设直线的解析式为．
把点B和点C坐标代入直线解析式得．
解得．
直线解析式为．
当时，．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据自变量求一次函数的函数值，三角形面积公式，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定定理和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，综合应用这些知识点是解题关键．
27. 如图，正方形的边长为2，点为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当为的三等分点时（靠近点），求证：；

（3）设四边形的周长为，直接写出的取值范围是_________．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，证明△AEP≌△EFQ，即可得出结论；
（2）连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，据此即可证明结论成立；
（3）由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，过点E作于点P，交于点Q，则，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，过点作于点，

∵四边形是正方形，点在上，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵、是的三等分点
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由（1）得，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
随的增大而增大，
当时，最小，的值最小，
此时，
的最小值为，
当点E与点B或点D重合时，最大，m的值最大，
此时，m的最大值为，
∵点E不与B、D重合，
∴，
【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形和矩形，此题难度较大，属于考试压轴题．
北京师范大学实验华夏女子中学
2022—2023学年度第二学期期中学业评价
初二数学选做题
解答题：（共10分，第1题3分，第2题7分）
28. 已知，是两个连续的正偶数，，，．
（1）当时，__________；
（2）当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）2； （2）定值，2．
【解析】
【分析】（1）根据，得，然后代入求得，再代入计算即可；
（2）设(x为任意正整数)，则，代入计算得，再代入计算得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，是两个连续的正偶数，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：设(x为任意正整数)，则，
∴，
∴
．
∴当为任意正偶数时，的值是定值，这个定值为2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握根据二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
29. 在平面直角坐标系中，若、为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“友好矩形”，图1为点、的“友好矩形”的示意图．已知点的坐标为．

（1）如图2，点的坐标为．

①若，则点、的“友好矩形”的面积是__________；
②若点、的“友好矩形”的面积是6，则的值为__________．
（2）如图3，点在直线上，若点、的“友好矩形”是正方形，求直线的表达式；

（3）如图4，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点、的“友好矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）①；②或；
（2）或；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点，的相关矩形的面积为；②分类讨论：当点在点左侧时和当点在点右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或；
（2）由题意可知点到直线的距离为，即得出点，的相关矩形是正方形时的边长为．分类讨论：当点在点左侧时和当点在点右侧时，画出图形，结合正方形的性质和“相关矩形”的定义即可得出点的坐标；
（3）由题意可求出，，．分类讨论：①当点在边上时，求出此时的取值范围为或；②当点在边上时，求出此时的取值范围为或；③当点在边上时，求出此时的取值范围为或，即得出答案．
【小问1详解】
解：①当时，点的坐标为，如图．

，
由矩形的性质可得：点，的相关矩形的面积为．
故答案为：；
②分类讨论：当点在点左侧时，如图点，
由矩形的性质可得：点，的相关矩形的面积为，
解得：；
当点在点右侧时，如图点，
由矩形的性质可得：点，的相关矩形的面积为，
解得：．

综上可知的值为或；．
故答案为：或；；
【小问2详解】
解：点在过点且平行轴的直线上，，
点到直线的距离为，
点，的相关矩形是正方形时的边长为．
分类讨论：当点点左侧时，如图点，
，，即；
当点在点右侧时，如图点，
，，即．

综上可知点的坐标为或；
【小问3详解】
解：点的坐标为，
点在直线上．
是等边三角形，顶点在轴的正半轴上，，
，
，
．
分类讨论：①当点在边上时，若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且当点位于点左侧时，则此时，
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且当点位于点左侧时，则此时，
则此时的取值范围为；
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且当点位于点右侧时，则此时，
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且当点位于点右侧时，则此时，
则此时的取值范围为，
此时的取值范围为或；
②当点在边上时，若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且当点位于点右侧时，则此时，
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且当点位于点右侧时，则此时，
则此时的取值范围为；
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且当点位于点左侧时，则此时，
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且当点位于点左侧时，则此时，
则此时的取值范围为，
此时的取值范围为或；
③当点在边上时，点，的相关矩形为正方形，其边长为定值，
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且点位于点左侧时，则此时，
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且点位于点左侧时，则此时，
则此时的取值范围为；
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且点位于点右侧时，则此时，
若点与点重合，点，的相关矩形为正方形，且点位于点右侧时，则此时，
则此时的取值范围为，
此时的取值范围为或．

综上可知取值范围是或．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理等知识．理解”相关矩形”的定义，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
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