黑龙江省佳木斯市富锦市双语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份黑龙江省佳木斯市富锦市双语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算错误的是( )
A. 2× 5= 10B. 12=2 3
C. 18÷ 2=3D. 2+ 5= 7
2. 四边形ABCD对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件( )
A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD
3. 下列根式化简成最简二次根式后，能与3 2合并的是( )
A. 12B. 8C. 45D. 24
4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 1，1， 2C. 6，8，11D. 5，12，23
5. 下列说法正确的是( )
A. 有两组对边分别平行的图形是平行四边形B. 平行四边形的对角线相等
C. 平行四边形的对角互补，邻角相等D. 平行四边形的对边平行且相等
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，则c的长为( )
A. 26B. 18C. 20D. 21
7. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 7
8. 如图，矩形ABCD的长AD=15cm，宽AB=10cm，∠ABC的平分线分AD边为AE、ED两部分，这AE、ED的长分别为( )
A. 10cm和5cm
B. 11cm和4cm
C. 9cm和6cm
D. 8cm和7cm
9. 若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
10. 点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB=CD；③BC//AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有( )
A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 若式子 x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12. 若一个三角形的三边满足c2−a2=b2，则这个三角形是______ ．
13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB//CD，请添加一个条件______ (写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
14. 如图，已知矩形ABCD，对角线相交于点O，∠OAD=40°，则∠AOB的度数是______ ．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=______度．
16. 一个菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则这个菱形的面积S为______．
17. 如果两个最简二次根式 3a−1与 2a+3能合并，那么a=______．
18. 直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为________．
19. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为______．
20. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题16.0分)
计算：
(1) 12+ 18−4 0.5+3 13；
(2)( 5− 7)( 5+ 7)；
(3 )( 45− 5)÷ 5；
(4)(2 3+3 2)2．
22. (本小题6.0分)
已知y= 3−x+ x−3−2，求xy的值．
23. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°.求四边形ABCD的面积．
24. (本小题10.0分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF．
求证：(1)AE=CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
25. (本小题10.0分)
如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
26. (本小题10.0分)
在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD.△ABC≌△CEA，△ABD≌△DFA.如图②.请完成下列问题：
(1)试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)如图③，连接EF，CD.求证：四边形CDFE是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ 2× 5= 10，故选项A正确；
∵ 12=2 3，故选项B正确；
∵ 18÷ 2= 9=3，故选项C正确；
∵ 2+ 5不能合并，故选项D错误；
故选：D．
根据二次根式的混合运算计算出各个选项中式子的正确结果，本题得以解决．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形．
由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．
【解答】
解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵ 12=2 3，
∴ 12不能与3 2合并，
故A不符合题意；
B、∵ 8=2 2，
∴ 8能与3 2合并，
故B符合题意；
C、∵ 45=3 5，
∴ 45不能与3 2合并，
故C不符合题意；
D、∵ 24=2 6，
∴ 24不能与3 2合并，
故D不符合题意；
故选：B．
先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，同类二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，要求学生熟练掌握这个逆定理．
根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】
解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= 22，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：A、因为有两组对边分别平行的图形可能不是四边形，如正六边形，错误；
B、平行四边形的对角线只有互相平分这一性质，不一定相等，错误；
C、平行四边形的对角相等，邻角互补，刚好说反了，错误；
D、平行四边形的对边平行且相等，这是平行四边形的性质，正确．
故选：D．
根据平行四边形的判定定理可知，有两组对边分别平行的图形不一定是平行四边形；平行四边形的对角线相等互相平分却不一定相等；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对边平行且相等．
本题是考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握性质是解题的关键，平行四边形的性质为：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
6.【答案】C
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，
∴c= a2+b2= 122+162=20．
故选：C．
根据∠C=90°，可知c表示斜边，a、b分别表示直角边；接下来，在Rt△ABC中，利用勾股定理求斜边c的长即可．
本题考查勾股定理的知识，关键是找到斜边和直角边．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示：
∵P(3,4)，
∴OP= 32+42=5．
故选C．
根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可．
本题考查的是勾股定理及坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC=15cm，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=10cm，
∴DE=AD−AE=5(cm)，
故选：A．
由矩形的性质可得AD//BC，AD=BC=15cm，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠AEB=∠ABE，可得AB=AE=10cm，即可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，掌握矩形的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作底边上的高并设此高的长度为x，则根据勾股定理得：62+x2=102；
解得：x=8，
故选：C．
先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．
10.【答案】B
【解析】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、②④．
故选：B．
根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、②④均可判定是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第1，2，3种来判定．
11.【答案】x≥−1
【解析】根据算术平方根的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥−1，
故答案为：x≥−1．
主要考查了算术平方根的意义和性质．
12.【答案】直角三角形
【解析】解：∵c2−a2=b2，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
对原式变形，利用勾股定理的逆定理，从而确定三角形的形状．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
13.【答案】AD//BC(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，理解定义是关键．
根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．
【解答】
解：由于AB//CD，
所以可以添加：AD//BC(答案不唯一)．
故答案是AD//BC(答案不唯一)．
14.【答案】80°
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，
∴AC=BD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，
∴OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=40°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=40°+40°=80°，
故答案为：80°．
由矩形的性质得OA=OD，则∠ODA=∠OAD=40°，所以∠AOB=∠ODA+∠OAD=80°，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∠ODA=∠OAD是解题的关键．
15.【答案】20
【解析】解：∵DB=DC，∠C=70°，
∴∠DBC=∠C=70°，
∵AD//BC，AE⊥BD，
∴∠ADB=∠DBC=∠C=70°，∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−70°=20°．
故答案为：20°．
由DB=DC，∠C=70°可以得到∠DBC=∠C=70°，又由AD//BC推出∠ADB=∠DBC=∠C=70°，而∠AED=90°，由此可以求出∠DAE．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．
平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
16.【答案】24cm2
【解析】解：S=12×6×8=24cm2．
故答案为：24cm2．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题主要考查菱形的面积的求法，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：∵两个最简二次根式 3a−1与 2a+3能合并，
∴两个最简二次根式 3a−1与 2a+3是同类二次根式，
∴3a−1=2a+3，
解得：a=4．
故答案为：4．
由两个最简二次根式 3a−1与 2a+3能合并，可得两个最简二次根式 3a−1与 2a+3是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程3a−1=2a+3，解此方程即可求得答案．
本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
18.【答案】125
【解析】解：设斜边长为c，高为ℎ．
由勾股定理可得：c2=32+42，
则c=5，
直角三角形面积S=12×3×4=12×c×ℎ
可得ℎ=125，
故答案为：125．
根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．
本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．
19.【答案】25
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和正方形的性质，此题结合正方形的面积公式以及勾股定理发现各正方形的面积之间的关系．根据题意仔细观察可得到正方形A，B，C，D的面积的和等于最大的正方形的面积，已知最大的正方形的边长则不难求得其面积．
【解答】
解：由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；
C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形上方的三角形的另一直角边的平方，
则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，
因为最大的正方形的边长为5，则其面积是25，即正方形A，B，C，D的面积的和为25．
故答案为25．
20.【答案】32或3
【解析】
【分析】
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【解答】
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC= 42+32=5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5−3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=(4−x)2，解得x=32，
∴BE=32；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时四边形ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为32或3．
故答案为：32或3．
21.【答案】解：(1) 12+ 18−4 0.5+3 13
=2 3+3 2−2 2+ 3
=3 3+ 2；
(2)( 5− 7)( 5+ 7)
=5−7
=−2；
(3)( 45− 5)÷ 5
= 45÷ 5− 5÷ 5
= 9−1
=3−1
=2；
(4)(2 3+3 2)2
=12+12 6+18
=30+12 6．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方差公式进行计算，即可解答；
(3)利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答；
(4)利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得，3−x≥0且x−3≥0，
解得x≤3且x≥3，
∴x=3，
∴y=−2，
∴xy=3×(−2)=−6．
【解析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
23.【答案】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理AC= 32+42=5(cm)，
又∵CD=12cm，AD=13cm，
∴AC2+DC2=52+122=169，
AD2=132=169，
根据勾股定理的逆定理：∠ACD=90°．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36(cm2).
【解析】连接AC，得到直角三角形△ABC，利用勾股定理可以求出AC，根据数据特点，再利用勾股定理逆定理可以得到△ACD也是直角三角形，这样四边形的面积就被分解成了两个直角三角形的面积，代入面积公式就可以求出答案．
本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD
∠ABE=∠CDF．
∵BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE=CF．
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】(1)先证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质可得出：AE=CF；
(2)利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，截图的关键是掌握SAS证明两个三角形全等以及平行四边形的判定定理．
25.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，
故AC= AB2−BC2= 2．52−1．52=2(米)，
在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=(1.5+0.5)米，
故EC= DE2−CD2= 2．52−22=1.5(米)，
故AE=AC−CE=2−1.5=0.5(米)．
答：梯子顶端A下落了0.5米．
【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即可得．
26.【答案】(1)解：四边形ABDF是菱形．理由如下：
∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，
∴AB=DF，BD=FA，
∵AB=BD，
∴AB=BD=DF=FA，
∴四边形ABDF是菱形；
(2)证明：∵四边形ABDF是菱形，
∴AB//DF，且AB=DF，
∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，
∴AB=CE，BC=EA，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴AB//CE，且AB=CE，
∴CE//FD，CE=FD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
【解析】(1)根旋转的性质得AB=DF，BD=FA，由于AB=BD，所以AB=BD=DF=FA，则可根据菱形的判定方法得到四边形ABDF是菱形；
(2)由于四边形ABDF是菱形，则AB//DF，且AB=DF，再根据旋转的性质易得四边形ABCE为平行四边形，根据平行四边形的性质得AB//CE，且AB=CE，所以CE//FD，CE=FD，所以可判断四边形CDEF是平行四边形．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的判定和菱形的判定．