吉林省松原市长岭县三校2022-2023学年九年级下学期期中数学试题答案

这是一份吉林省松原市长岭县三校2022-2023学年九年级下学期期中数学试题答案，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】解:∵，
∴的倒数是．
故选择A．
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键．
2. 在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：用科学记数法表示22000000是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
3. 如图所示的几何体是由5个相同的小正方体组成的立体图形，则下列四个图形中是它的左视图的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：由题意知，立体图形左视图如下：
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的左视图．理解从左边看得到的图形是左视图是解题的关键．
4. 用不等式表示：的倍与的的和不大于，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，不大于5即．
【详解】解：的倍与的的和不大于，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了列不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
5. 如图，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：如图：

，
，
∵，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
6. 如图，已知为的直径，点、点在圆上，且位于异侧．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据邻补角得出，进而根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式乘法法则计算．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，灵活转化是解题的关键．
8. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式与公式法综合运用分银因式，熟练掌握用提公因式与公式法分解因式是解题的关键，注意分解因式要彻底．
9. 如图，该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则其旋转角最小为______度．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质判断即可．
【详解】解：由题意得：，
该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则其旋转角最小为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，理解题意求出旋转角度是解答本题的关键．
10. 某厂第一个月生产机床a台，第二个月生产的机床数量比第一个月的3倍少2台，则该厂这两个月共生产机床______台（用含a的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】先表示出第二个月生产机床的数量，即可得到答案．
【详解】解：第一个月生产机床a台，
∵第二个月生产的机床数量比第一个月的3倍少2台，
∴第二个月生产的机床台，
∴该厂这两个月共生产机床台，
故答案为：．
【点睛】此题考查了列代数式，整式的加减法，正确理解题意列得第二个月的数量是解题的关键．
11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围________
【答案】
【解析】
【分析】根据∆>0列式求解即可.
【详解】由题意得
4-8m>0，
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
12. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是 _____．
【答案】14
【解析】
【分析】先分别由D，E，F分别是BC，AC，AB的中点求出DE，EF的值，再计算结果即可．
【详解】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE＝BF＝AB＝＝3，
∵E、F分别为AC、AB中点，
∴EF＝BD＝BC＝8＝4，
∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
13. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，分别以点B和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AD相交于点F，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】连接BF、EF如图所示，可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可以得到，设，则，根据勾股定理计算即可．
【详解】连接BF、EF如图所示，
∵分别以点B和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，
∴，，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，利用勾股定理建立方程是本题的关键．
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝110°，半径OA＝18，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的周长是________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OD，根据折叠的性质可得OB=BD，即可证明△OBD是等边三角形，可得∠BOD=60°，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案．
【详解】如图，连接OD，
∵将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵半径OA=18，OB=OA，
∴，
∴阴影部分的周长=，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，根据折叠性质得到△OBD是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先将分式化简，再代值计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．
16. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．
【答案】每支毛笔的单价为15元，每副围棋的单价为20元．
【解析】
【分析】设每支毛笔的单价为元，每副围棋的单价为元，根据“购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每支毛笔的单价为元，每副围棋的单价为元，
根据题意得，解得．
答：每支毛笔的单价为15元，每副围棋的单价为20元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
17. 如图，AD⊥AB，DE⊥AE，BC⊥AE，垂足分别为A、E、C，且AD＝AB，求证：△AED≌△BCA．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】根据垂直得出∠E=∠ACB=∠DAB=90°，根据三角形的内角和定理求出∠D=∠BAC，根据AAS推出全等即可．
【详解】证明：∵AD⊥AB，DE⊥AE，BC⊥AE，
∠E＝∠ACB＝∠DAB＝90°，
∴∠D+∠DAE＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠BAC，
在△AED和△BCA中
∴△AED≌△BCA（AAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和三角形的内角和定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
18. 为不断增强学生爱眼、护眼意识，修正平时用眼习惯，某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：主题班会；D：知识竞赛．各班采用抽卡片的方式确定开展的活动类型，将四类活动制成编号为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）某班从4张卡片中随机抽取1张，抽到卡片B的概率为_____________；
（2）若七（1）班从4张卡片中随机抽取1张，记下卡片上的活动类型后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】从4张卡片中随机抽取1张，有4种等可能结果，而抽到卡片B的情况只有1种，根据概率公式求解即可．
使用列表后画树状图的方法列出所有等可能的结果，再考虑满足要求的结果的情况，根据概率公式求解．
【小问1详解】
∵从4张卡片中随机抽取1张，有4种等可能结果，而抽到卡片B的情况只有1种．
∴抽到卡片B的概率为．
【小问2详解】
）根据题意列表如下：

由表可知，共有16种等可能的结果，其中抽到不同卡片的有12种，
∴这两个班抽到不同卡片的概率是．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画一个，使其是轴对称图形且为锐角三角形．
（2）在图②中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形．
（3）在图③中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，且四条边长均为无理数．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）图见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的轴对称性质及锐角三角形的性质画图即可；
（2）可画一个等腰梯形或筝形即可；
（3）利用勾股定理及平行四边形性质画图即可．
【小问1详解】
解：如图所示，等腰三角形ABC为所求．（答案不唯一）
【小问2详解】
解：根据题意，可以画一个筝形或等腰梯形，如图所示．（答案不唯一）
【小问3详解】
解：如图所示，平行四边形AMBN，边长为：、．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了作图，应用与设计作图．掌握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键．
20. 如图，过点分别作轴、轴的垂线，交反比例函数的图象于点、，再作轴，轴，、交于点．

（1）求点的坐标；
（2）求四边形的周长．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）由过点分别作轴、轴的垂线，交反比例函数的图象于点、，求得，，再结合轴，轴，可求出点坐标；
（2）由题意知，四边形为矩形，再由，，，求得，，即可得解．
【小问1详解】
解：点分别作轴、轴的垂线，交反比例函数的图象于点、，
，，
又轴，轴，、交于点
；
【小问2详解】
由题意知，四边形为矩形，
，，，
，，
四边形的周长为：．
【点睛】本题考查与坐标轴平行的直线上点的坐标物征，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的周长，两点间的距离，解题关键是掌握与坐标轴平行的直线上点的坐标特征及两点间的距离是解题关键．
21. 某学校升气球庆祝党的二十大胜利召开．如图，一气球到达离地面高度为米的处时，仪器显示正前方一高楼顶部的仰角是，底部的俯角是．气球要飞到楼顶，应至少再上升多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】米
【解析】
【分析】过作，垂足为点，过作，垂足为点，则即为所求的高度．在中，运用三角函数定义求出的值；进而可在中，求出的值．
【详解】
解：过作，垂足为点，过作，垂足为点，
根据题意，楼，
∴四边形是矩形，
∴，和都是直角三角形，
∵气球到达离地面高度为米的处时，仪器显示正前方高楼顶部的仰角是，底部的俯角是，
∴，，，
在中，
∵，．
∴，
在中，
∵，．
∴（米）．
答：气球应至少再上升米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识点．借助仰角俯角的定义构造直角三角形是解题的关键．
22. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：

（1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中______；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）本次调查所抽取学生成绩的中位数落在______组；
（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有4500名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
【答案】（1）400；60
（2）见解析 （3）D
（4）2520人
【解析】
【分析】（1）频数分布直方图中的人数是，所占百分比是，由此可求出总体人数，
（2）已知总体人数，根据频数分布直方图中各组人数即可求出组人数；
（3）根据中位数的计算方法即可求解；
（4）根据样本所占百分比估算总体的方法即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为：（名），
∴组的人数为：（名），
故答案为：，．
【小问2详解】
解：组的人数为：（人）．
补全学生成绩额数分布直方图如下：
【小问3详解】
∵所抽取学生成绩的中位数是第个和第个成绩的平均数，．
∴所抽取学生成绩的中位数落在组，
故答案为：．
【小问4详解】
解：（人）．
∴估计该校成绩优秀的学生有人．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 一条笔直的公路上有、两地．小佳骑自行车从地到地，中途休息了一段时间后以原速继续行驶到地；在小佳出发的同时小伟骑摩托车从地到地，到达地后立即按原路原速返回，结果两人同时到达地．如图是小佳和小伟两人离地的距离（单位：）与小伟行驶时间（单位：）之间的函数图像．

（1）求小佳骑自行车的速度；
（2）求小佳离地的距离与时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当小佳与小伟之间的距离为时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）求出小佳行驶在路上的时间，利用速度等于路程除以时间求速度即可；
（2）根据函数图像提供的信息，利用待定系数法分别求出小佳休息前和休息后的函数解析式，休息时的距离不变，即可得到函数关系式；
（3）分别利用待定系数法求出小伟前往地和返回地的函数关系式，结合函数图像，利用小佳与小伟之间的距离为，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
小佳骑自行车的速度；
小问2详解】
，
当时，
设小佳离地的距离与时间之间的函数关系式为，
把、代入，得，
解得，
；
当时，；
当时，
设小佳离地的距离与时间之间的函数关系式为，
把、代入，得，
解得，
，
综上所述，；
小问3详解】
由（2）可知小佳离地的距离与时间之间的函数关系式为，
设小伟前往地的距离与时间之间的函数关系式为，
由题意得：，
设小伟返回地的距离与时间之间的函数关系式为，
由题意得：，
解得：，，
，
在小佳休息前：，；
当小佳休息小伟前往地时：，；
当小佳休息小伟返回地时：，；
当小佳与小伟之间的距离为时，的值为，．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数图像，一次方程的应用，理解题意，从函数图像获取有用信息，求出一次函数的解析式是解题的关键．
24. 如图，在矩形纸片中，，．点E是边上一点，将沿翻折得到．
（1）【问题解决】（1）如图①，当点B落在边上的点G处时，若，求和的长；
（2）【类比探究】（2）如图②，当点E和点A重合时，点B落在边上的点G处，折痕为．判定四边形的形状，并说明理由；
（3）【拓展应用】（3）如图③，当点E和点A重合时，点B落在矩形内部的点G处，折痕为，平分交于点M，连接，当的长度最短时，直接写出的长．

【答案】（1），；
（2）正方形，理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求出，得到，利用三角函数求出即可；
（2）先得四边形是矩形，再由邻边相等得到正方形；
（3）连接，由得到当A，G，M三点共线时，最短， 由角平分线的性质定理得到，设，表示出，，在中，由勾股定理求出x即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴
由折叠得，，，
∵四边形是矩形，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴．
∵长方形纸片折叠，使边落在边上，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【小问3详解】
连接，如图3，

∵，，
∴当A，G，M三点共线时，最短，如图4，

∵
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴设，
∴，
在中，，
∴
解得
∴．
【点睛】此题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，正方形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，解直角三角形，关键是综合运用以上知识解决问题．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在等腰中，，．动点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点P出发后，过点P作交折线于点Q，点P关于点Q的对称点为点D，以点D为直角顶点向右侧作等腰直角三角形．设点P的运动时间为t秒．

（1）当点E落在边上时，求t的值；
（2）当最大时，求的长；
（3）设与重叠部分图形的面积为S，当与重叠部分图形不是五边形时，求S关于t的函数关系式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，通过证明，然后列比例式计算求解；
（2）当点Q点C重合，PD最大，结合等腰直角三角形的性质分析计算；
（3）当时，与重叠部分图形是五边形，然后分情况讨论重叠部分不是五边形时，结合三角形面积分析计算．
【小问1详解】
解：由题意可得，
在等腰中，，．
∴，
∵，
∴，
∵点P关于点Q的对称点为点D，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，，
∵，
∴，解得，
即当点E落在边上时，；
【小问2详解】
解：在等腰直角三角形中，，
∴，
当点Q点C重合，PD最大，

此时，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当经过点时，

在和中，，
∴，
∴，
∴，
，解得，
由（1）可得当时，点刚好在上，
当时，与重叠部分图形是五边形，
当时，过点作

．
∴．
当时，

．
∴．
综上，．
【点睛】本题考查三角形综合，二次函数的应用，题目有一定难度，掌握等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解题是关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）经过点、．

（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）当时，求二次函数的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为1．以为边向下作正方形．
①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小或y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围；
②当抛物线在正方形内部（包括边界）的点的纵坐标之差的最大值等于2时，直接写出m的值．
【答案】（1）
（2）最大值是4，最小值是
（3）①或；②或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据（1）所求的解析式可知其对称轴、顶点坐标及开口方向，结合抛物线的图象与性质、以及图象的端点值，即可确定最大值及最小值；
（3）①由题意得，分两种情况：当时，得M的纵坐标为，当时，得；再由题意可得关于m的方程，解方程即可求得m的值；
②分及两种情况，根据正方形内部（包括边界）的点的纵坐标之差最大值是2可求得m的值．
【小问1详解】
解：把、分别代入，
得，
解得
∴该抛物线对应的函数解析式为．
小问2详解】
函数的对称轴为直线，
∵，
∴当时，函数，此时的最小值为．
当时，函数，
当时，函数，此时为最大值，值为4．
∴当时，二次函数的最大值是4，最小值是．
【小问3详解】
①点P的坐标为，点Q的坐标为，
当时，点P与点Q重合，即所以当时，函数的图象在正方形内呈下降趋势，y随x的增大而减小；如图1

当时，正方形的顶点的纵坐标为，如图2：

当点M在抛物线上时，，解得（舍），．
即时，函数的图象在正方形内呈上升趋势，y随x的增大而增大．综上所述，当或时，符合题意．
②设点P的坐标为，
当时，，
当抛物线在正方形内部（包括边界）的点的纵坐标之差的最大值等于2时，此时正方形的边长即为2，
∴，
∴，
当时，，当抛物线在正方形内部（包括边界）的点的纵坐标之差的最大值等于2时，则点P的纵坐标为即可，
即，
解得：（不合题意舍去）或；
故；
若抛物线的顶点不在正方形内部，则，即时，函数，、的纵坐标为，不合题意舍去，此时这样的m不存在；
综上，m的值为或
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，综合运用这些知识是解题的关键．A
B
C
D
A
B
C
D