江苏省宿迁市2022-2023学年九年级下学期期中数学试题答案

这是一份江苏省宿迁市2022-2023学年九年级下学期期中数学试题答案，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分：150分，时长：120分钟．）
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1. 的绝对值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的意义进行求解即可．
【详解】解：的绝对值为：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值的定义，属于基础题，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：；
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方运算．熟练掌握积的乘方法则，是解题的关键．
3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数大于等于0，二次根式有意义，是解题的关键．
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
C. 平面内三点确定一个圆
D. 三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆的确定，三角形的外心，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题错误，不符合题意；
B、经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的一条切线，原命题错误，不符合题意；
C、平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，原命题错误，不符合题意；
D、三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，是真命题，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查垂径定理，切线的判定，圆的确定，三角形的外心．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
5. 如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是，可得，由，可得，进而可得．
【详解】解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
6. 若不等式组无解，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出的解，再根据不等式组无解，可得关于的不等式，根据解不等式，可得答案．
【详解】解：解得．
∵不等式组无解，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使A落在轴上，与此同时顶点恰好落在的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点A、B、C的坐标求出线段、的长度，根据旋转得到、的长度，推出，，根据勾股定理求出的长度，根据证明，得到，，得到的长度，得到点的坐标，根据点在反比例函数图象上，求出k值．
【详解】∵，，，
∴轴，，，，
∴，
∵绕点B顺时针旋转一定的角度后得到，且使点落在y轴上，
∴，，，
∴，，
过点作轴于点D，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形，反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握坐标与图形，旋转图形全等性，全等三角形判定和性质，待定系数法求反比例函数解析式．
8. 如图，将矩形纸片绕顶点顺时针旋转得到矩形，取、的中点、，连接．若，，则线段长度的最大值为（ ）cm．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，取的中点，连接，易得，，当三点共线时，线段的长最大，即可得解．
【详解】解：连接，取的中点，连接，
∵，

∵点是的中点，点是的中点，
∴ ，
∵将矩形纸片绕顶点顺时针旋转得到矩形，
∴，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的长最大，最大值为 cm．
故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，以及勾股定理．解题的关键是构造三角形的中位线．
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 2023年春节档电影《流浪地球2》的票房亿，将数据亿用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】∵亿，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
10. 已知圆锥底面圆半径为5cm，其侧面展开图的面积为，则母线长___________cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可得出结论．
【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意，得：，解得：；
即母线长．
故答案为：．
【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
11. 若二次函数经过点，，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数经过点，，得到对应一元二次方程的两个根为，利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数经过点，，
∴方程的两个根为，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系．熟练掌握抛物线与轴的交点的横坐标是对应的一元二次方程的两个根，是解题的关键．
12. 若点，，则点A关于点B的对称点的坐标是 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】由于点A关于点B的对称点为，则B为的中点，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】解：∵点A关于点B的对称点为，
∴B为的中点，
设的坐标为，
∴，，
∴
∴的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式．
13. 已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后运用直角三角形内切圆半径公式求解．
【详解】解：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，
则：a=3，b=4；
由勾股定理，得：，
，
故直角三角形内切圆的半径为1．
故答案为：1．
【点睛】本题需识记的知识点是：直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边差的一半．
14. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表
则这些运动员成绩的中位数是___米．
【答案】1.65
【解析】
【详解】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
由此将这组数据重新排序为1.50，1.50，1.60，1.60，1.60，1.65，1.65，1.65，1.70，1.70，1.75，1.75，1.75，1.75，1.80，
∴中位数是按从小到大排列后第8个数为：1.65．
故答案为：1.65．
15. 如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG=_____．
【答案】12°
【解析】
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【详解】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．
故答案为：12°．
【点睛】本题考查正多边形性质，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
16. 是的内接三角形，且，则___________．
【答案】##35度
【解析】
【分析】根据圆周角定理，即可得出答案．
【详解】解：∵是的内接三角形，且，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
17. 如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 _______．

【答案】14
【解析】
【分析】根据切线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵是的内切圆，且与相切于点G；

根据切线长定理，设，，，；
∵，
∴．解得，
∴的周长，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，三角形周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
18. 如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时，___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，证明，得到，，确定点F在以点D为圆心，以为半径的圆上，当点M、F、D三点一线时，的长最小，过点M作，计算．
【详解】连接，
∵正方形的边长为8，正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点F在以点D为圆心，以为半径的圆上，
∴当点M、F、D三点一线时，的长最小，
过点M作，
∵，正方形的边长为8，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，熟练掌握相应的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．）
19. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】先算乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，去绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，掌握零指数幂，二次根式的运算法则，是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的加减乘除混合运算法则进行化简，再代值计算．
【详解】解：原式，
；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，二次根式的加减运算法则，是解题的关键．
21. 我校对全校九年级学生进行体育测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，设测试成绩为分，将成绩分为，，，四个等级，级：；级：；级：；级：，根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图，解答下列问题：
（1）求在这次调查中共抽查的学生人数；
（2）请补全条形统计图；
（3）求表示“级”部分的扇形圆心角度数；
（4）我校九年级学生共2000名，请你估计此次测试中，达到“级”学生约有多少人？
【答案】（1）在这次调查中共抽查的学生人数为
（2）图见解析 （3）
（4）估计此次测试中，达到“级”的学生约有多少人
【解析】
【分析】（1）利用“级”学生人数除以所占百分比求出总人数即可；
（2）先求出“级”学生人数，补全条形图即可；
（3）用“级”学生人数所占的比例，进行求解即可；
（4）利用总体乘以样本中达到“级”的学生所占的比例，进行求解即可．
【小问1详解】
解：（人）；
∴在这次调查中共抽查的学生人数为；
【小问2详解】
解：“级”学生人数为：（人）；
补全条形图如下：
【小问3详解】
；
∴“级”部分的扇形圆心角度数为；
【小问4详解】
（人）；
答：估计此次测试中，达到“级”的学生约有多少人．
【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比，求出总数，是解题的关键．
22. 小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取—张邮票是“立春”的概率是______．
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
【答案】（1）
（2）小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率
【解析】
【分析】（1）根据概率公式解答；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的可能性有5种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：一共有三种可能，
小明从中随机抽取—张邮票是“立春”的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：列树状图：
共有9种等可能情况，两次抽取邮票中至少有一张是“雨水”的的可能性有5种，
故小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG=DE；
（2）若E为AD中点，求证：四边形ABGE是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形和矩形的性质证明即可求证；
（2）根据平行四边形的判定方法（一组对边平行且相等）进行判定即可．
【详解】证明：（1）∵四边形是矩形
∴
∴
∵
∴
又∵四边形是菱形
∴
∴
∴
（2）连接EG
∵四边形是菱形
∴
又∵中点，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
【点睛】本题考查矩形和菱形的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握相关的线段角度等转化是解题关键．
24. 如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，从而得到，再由，可得，即可得出结论；
（2）连接，根据直角三角形的性质可得，可得到是等边三角形，从而得到，再根据阴影部分的面积等于，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
25. 如图，B位于A南偏西37°方向， 港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向． 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向．这时，E处距离港口C有多远？ （参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）
【答案】E处距离港口C约96海里
【解析】
【分析】延长AD交BC于点F，设EF＝x海里，得DF＝x海里，解Rt△ABF得EF=40海里，AF=80海里，再解Rt△AFC得CF=56海里，从而可得EC=96海里．
【详解】如图，延长AD交BC于点F，AF⊥BC ．
设EF＝x海里．
在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，
∵tan∠EDF＝，
∴tan45°＝，
∴ DF＝x，
在Rt△ABF中，∠DFE＝90°，
∵tan∠BAF＝，
∴BF＝AF tan37°，
∴20＋x≈0．75(40＋x)，
∴x＝40，
∴AF＝AD＋DF＝80．
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，
∵tan∠CAF＝，
∵tan35°＝，
∴CF＝AFtan35°≈80×0．70＝56
∴CE＝EF＋CF＝40＋56＝96
答：E处距离港口C约96海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
26. 科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．
（1）该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？
（2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值．
【答案】（1）为了让利于顾客，将销售单价应定为15元；
（2）此时的最大值为2160元．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出W关于x的函数关系式，再令，可得：，解方程即可求解；
（2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着的增大而减小，问题随之得解．
【小问1详解】
根据题意，有：，
化简，得：，
根据，解得：，
即函数关系为：，；
令，可得：，
解得：，或，
当时，销量：（件；
当时，销量：（件；
售价越低，越有利于让利顾客，
即为了让利顾客，将销售单价应定为15元；
【小问2详解】
根据题意有：，解得：，
将化为顶点式为：，
，
当时，函数值随着的增大而减小，
，
当时，函数值最大，最大为：．
答：此时的最大值为2160元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键．
27. 我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．
（1）定义应用：如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为___________；
（2）性质探索：小思同学通过对2倍角三角形的研究，发现：
在中，如果，那么．
下面是小思同学的证明方法：
已知：如图1，在中，，．
求证：．
证明：如图1，延长到，使得，连接．
∴，
∵，∴，
∵，∴，
又∴
∴∴∴
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：
已知：如图2，在中，．
求证：．
（3）性质应用
已知：如图3，在中，，，，则___________；
（4）拓展应用
已知：如图4，在中，，，，求的长．
【答案】（1）或
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）分底角度数是顶角的2倍和顶角的度数是底角的2倍，结合三角形内角和定理，进行求解即可；
（2）作平分，交于，易得：，证明，得到，进而得到，即可得证；
（3）根据（2）的结论，进行求解即可；
（4）如图，作，交于点，易证是2倍角三角形．得到，证明，推出进而求出的长，设，则，根据，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：如果一个等腰三角形是2倍角三角形，
①底角度数是顶角的2倍，设顶角度数为，则两个底角的度数均为，
∴，
解得：，
∴底角度数为：；
②顶角的度数是底角的2倍，设底角度数为，则：顶角度数为，
∴，
解得：，即：底角度数为：；
综上，底角的度数为：或；
故答案为：或．
【小问2详解】
证明：如图，作平分，交于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：由（2）可知，，
即：，
∴，
解得或（舍掉）．
故答案为：；
【小问4详解】
解：如图，作，交于点，
则，
∴是2倍角三角形．
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴ ，
设，则，
∴
解得：或 不合题意舍去），
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握2倍角三角形的定义，证明三角形相似，是解题的关键．
28. 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）抛物线上是否存在一点，使，若存在请直接写出点的坐标___________；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或
（3）存在，或
【解析】
【分析】(1)设抛物线，代入点确定a值即可得解．
(2)过点E作，直线与抛物线的交点就是所求．
(3)根据轴，得到即，结合条件，得到，继而得到．设直线与y轴正半轴交点为M，负半轴交点为N，根据题意，，分别确定M，N的坐标，继而确定直线的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．
【小问1详解】
∵抛物线经过、、三点，
∴设抛物线，
代入点得，
解得，
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
存在点Q，满足与的面积相等，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线解析式为；
∵、，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线解析式为；
∴当时，，
∴；
∵与的面积相等，
∴点Q在过点E且平行直线的直线上，
过点E作，
设直线的解析式为，
∴
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，
∴或．
【小问3详解】
∵、，
∴；
∵轴，
∴即，
∵，
∴，
∴．
设直线与y轴正半轴交点为M，负半轴交点为N，
根据题意，，
∴
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线解析式为，
∴，
解得（舍去），
∴．
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线解析式为，
∴，
解得（舍去），
∴．
故答案为：，或．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点，平行线间的距离相等，等角的正切值相等，熟练掌握待定系数法，构造解析式型方程组，等角的三角函数值相等是解题的关键．
成绩（米）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数（个）
2
3
3
2
4
1