2020-2021学年江苏省无锡市梁溪区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市梁溪区九年级上学期数学期末试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝2，那么这个方程可以是（ ）
A. x2＝4B. x2＋4＝0C. x2＋4x＋4＝0D. x2－4x＋4＝0
【答案】D
【解析】
【分析】用直接开平方方法和配方法分别求出各选项方程的根即可得到答案．
【详解】A、
，故选项错误，
B、，
，
原方程没有实数根，故选项错误，
C、，
，故选项错误，
D、，
，
，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了直接开平方法和配方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
2. cs45°的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论；
【详解】∵ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
3. 若二次函数y＝2x2－ax－a＋1的图像的对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A. 0B. 1C. －1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称轴为y轴列式，求得a值即可．
【详解】解：∵二次函数y=2x2+bx+1的对称轴为y轴，
∴
解得：a=0．
故选A．
【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴的公式．
4. 已知⊙O的半径为4，点A和圆心O的距离为3，则点A与⊙O的位置关系是
A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵点A到圆心O的距离为3，小于⊙O的半径4，
∴点A在⊙O内．
故选A．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25°B. 27.5°C. 35°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，由直角三角形的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．
【详解】解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，
∴∠A=90°-∠ABD=35°，
∴∠BCD=∠A=35°．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
6. 点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（ ）
A. B. C. ＋1D. －1
【答案】B
【解析】
【分析】设AC=1，由题意得AB=k，BC=，由AC=AB+ BC=1得到关于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】设AC=1，
∵=k，且，
∴AB=k，BC=，
∵AC=AB+ BC=1，
∴，即，
∵，，，
，
∴(负值舍去)，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．
7. 在RtABC中，∠C＝90º，下列关系式中错误的是（ ）
A. BC＝AB•sinAB. BC＝AC•tanAC. AC＝BC•tanBD. AC＝AB•csB
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．
【详解】解：
A、∵，
∴，
故正确，不符合题意；
B、∵tanA= ，
∴BC=AC•tanA，
故正确，不符合题意；
C、∵tanB= ，
∴AC=BC•tanB，
故正确，不符合题意；
D、∵，
∴，
故错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
8. 如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式：①＝；②＝；③＝；④＝．其中成立的是（ ）
A. ③B. ③④C. ②③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，由△AEF∽△DCF得到，用AB等量代换CD，得到；再利用AF∥BC，由△AEF∽△BEC得，由此可判断．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD；
∴△AEF∽△DCF，
∴，而AB=CD，
∴
∴②③正确；
又∵AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∴④正确，①不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图像上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（ ）
A. 2＋2B. 2＋4C. 2D. 2＋2
【答案】A
【解析】
【分析】作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，可证四边形ABCD为矩形，可得AD=BC=2，CD=AB=4，由点B在y=x上，点A在x轴上，设A（n，0），B（m，m），可证△AOD∽△BAE，由性质，即，由勾股定理得：，联立，消去n可得，，解方程求出，由2m4，可确定，在Rt△OAD中，由勾股定理OD=，由OC=OD+DC=．
【详解】解：作以B为圆心，以2为半径的圆，
当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，
过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，
∵BC⊥AB，OC⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，
点B在y=x上，点A在x轴上，
设A（n，0），B（m，m），
∵∠OAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠OAD=∠ABE，
又∠ODA=∠AEB=90°，
∴△AOD∽△BAE，
∴即，
∴
在RtABE中，
AE=m-n，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵2m4，
∴4m216，
，
在Rt△OAD中，
OD=，
，
，
，
，
，
，
∴OD，
OC=OD+DC=，
故选择：A．
【点睛】本题考查圆的切线，矩形的性质与判定，一次函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二元二次方程组解法，一元四次方程，完全平方公式，线段的和差等知识，难度大，解题方法难找，既要掌握几何的图形处理能力，又要代数解题能力，还要掌握数形结合的能力，是训练思维的好题．
10. 已知当时，二次函数的值恒大于1，则k的取值范围是（ ）
A. k≥B. －≤k≤－C. －＜k＜0D. －≤k＜0
【答案】A
【解析】
【分析】分别对①当抛物线的对称轴时，②当抛物线的对称轴时，即时，③当抛物线的对称轴在区间时，进行分析得出的取值范围即可．
【详解】解：二次函数的图象是一条开口向上的抛物线，
（1）当抛物线的对称轴时，
要使二次函数解析式的值时恒大于1，
只要，，
解得：，
∴；
（2）当抛物线的对称轴时，
要使二次函数解析式的值时恒大于1，
∵抛物线过定点(0，3)，
∴只要即可；
（2）当抛物线的对称轴在区间时，
∵，即，
此时，要使二次函数解析式的值时恒大于1，
只要即可，
解得：，
∴，
综上所述：的取值范围是：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数最值问题，利用对称轴取值范围进行分析是解决问题的关键．
二、填空题
11. 一元二次方程x2－3x－1＝0的两根是x1，x2，则x1＋x2＝__________．
【答案】3
【解析】
【详解】试题解析：根据一元二次方程根与系数的关系得：x1＋x2＝3.
故答案为3.
12. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为_____．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得.
【点睛】平均增长率（降低）百分率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；
增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
13. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的等比性质即可得答案．
【详解】∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查比例的性质，比例的等比性质：如果，那么k；熟练掌握等比性质是解题关键．
14. 把函数y＝x2＋3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________．
【答案】y＝x2＋2．
【解析】
【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标，再利用顶点式写出解析式即可．
【详解】解：函数y＝x2＋3的顶点坐标为（0，3），
∵函数图象向下平移1个单位长度，
∴得到的函数图象顶点坐标为（0，2），
∴得到函数解析式为y＝x2＋2．
故答案为：y＝x2＋2．
【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，通过平移求出新图象顶点坐标是关键．
15. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE=2，AD=4，DB=6，则BC的长是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把线段代入可求得BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD=4，BD=6，
∴AB=10，
∴，
解得BC=5，
故答案为5．
16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积是______.
【答案】20π
【解析】
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：AC=3，BC=4，由勾股定理得斜边AB=5，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的底面半径为4，
底面周长=8π，侧面面积=×8π×5=20π．
点睛：本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
17. 在ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，D为ABC形外一点，且AD＝AC，则∠BDC＝________°．
【答案】50°或130°．
【解析】
【分析】以点A为圆心，AB长为半径作圆，由AB=AC=AD，可知点D、C在圆A上，由∠BAC=100°，点D为ABC形外一点，由点D在优弧上时，∠BDC=∠BAC=50°，由点D在劣弧上时，∠BDC=（360°-∠BAC）=130°．
【详解】解：以点A为圆心，AB长为半径作圆，
∵AB=AC=AD，
∴点B、D、C在圆A上，
∵∠BAC=100°，
∵点D为ABC形外一点，
当点D在优弧上
∴∠BDC=∠BAC=50°，
当点D在劣弧上时
∴∠BDC=（360°-∠BAC）=130°，
故答案为：50°或130°．
【点睛】本题考查圆周角定理，点D在优弧与劣弧不同位置时圆周角，解题关键是引辅助元解决问题．
18. 如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD=PB=，∠BPD=60°，
在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4，
∴PC2+PD2=CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，
∴∠BPH=30°，
在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=，
∴BH=PB=，PH=BH=3，
∴CH=PC+PH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2= ()2+52=28，
∴BC=2，
∴ABC的边长为2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理．
三、解答题
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）．
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
∴；
（2）
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20. 已知关于x的方程：（k－2）x2－kx＋2＝0．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．
【答案】（1）1；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）把x=2代入方程中得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值，再把k的值代入原方程求出原方程的解即可；
（2）根据根的判别式进行判断即可．
【详解】解：∵方程有一个根是2，
∴4（k-2）-2k+2=0
解得：k=3．
∴原方程为：x2－3x＋2＝0．
解得：x1=2或x2=1．
∴该方程的另一个根为1；
（2）∵==
=
= ≥0
∴无论k取何值，该方程总有实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式及一元二次方程的解法，掌握相关知识是解题的关键．
21. 如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向以70 m/min的速度步行6min后到达A处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B处，在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上．求小明步行的总路程（精确到1m）．参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4，≈1.7．
【答案】小明步行的总路程为m．
【解析】
【分析】作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ=30°．可求得AQ、PQ的长，在Rt△BPQ中，解直角三角形求出BQ的长，即可求解．
【详解】作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ=30°．
由题意得：AP=70(m)，
则AQ=AP=210(m)，
PQ=，
在Rt△BPQ中，，
∴BQ(m)，
∴小明步行的总路程为：AP+AQ+ BQ(m)．
答：小明步行的总路程为m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O切线，
∴∠ABC=90°．
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD．
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=．
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴．
23. 如图，以P(0，3)为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求BEF的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用边与边之间的关系，证 ，利用特殊三角函数值得，再利用对顶角相等得，最后利用圆周角定理得，即可得到答案；
（2）如图，作EM⊥AB，垂足是M，利用边与角的关系分别求得OB、OF、EM的长，再利用线段的和差得BF=OB+OF，最后利用 即可得到答案．
【详解】解：（1）∵P(0，3)
∴OP=3
∵PB=6，
∴
∴
∴
∴．
（2）如图，作EM⊥AB，垂足是M．
∵圆的半径是6
∴EB=2EP=12
∵x轴与y轴互相垂直，，PB=6
∴，
∵圆的半径PD=6，P(0，3)
∴OD=PD-PO=6-3=3
∵,x轴与y轴互相垂直
∴
∴BF=OB+OF=+=
∵（已证）
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及应用特殊的函数值解直角三角形，解答此题的关键是找到边与边之间的关系，求线段的长．
24. 如图，在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC上一点，BD＝2，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF＝∠B．
（1）找出图中与BDE相似的三角形，并说明理由；
（2）是否存在这样的位置，使DE⊥EF？若存在，求出BE的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）△BDE∽△CFD，理由见解析；（2）存在， BE=．
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角的性质可得∠B=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理求出∠FDC=∠BED，即可得证；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，证明Rt△ABH∽Rt△FDE，得，求得，再由△DBE∽△FCD，得，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）△BDE∽△CFD，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC=∠BED，
∴△BDE∽△CFD；
（2）存在．理由如下：
如图1，过点A作AH⊥BC于点H，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=×6=3，
∵∠DEF=∠AHB =90°，∠EDF＝∠B，
∴Rt△ABH∽Rt△FDE，
∴，
∴，
∴，
∵△DBE∽△FCD，
∴，
∵BD=2，
∴DC=BC-BD=6-2=4，
∴，
∴，
∴BE=；
∴存在这样的位置，使DE⊥EF，此时BE=．
【点睛】本题是相似三角形综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质．
25. 某网店以每件100元的价格购进一批休闲服进行销售，当每件售价为280元时，日销量为50件．网店准备采取降价方式进行促销，经市场调查发现：每件休闲服的售价每降低20元，则日销量增加10件．
（1）网店欲每日获得9600元利润，且能够尽快减少库存，则每件休闲服售价应定为多少元？
（2）小张看到该网店的促销方式后，认为“当网店日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小张的想法对吗？试说明理由．
【答案】（1）每件休闲服的售价应定为220元；（2）不对，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知表示出每天的销量以及每件利润，即可得出答案；
（2）根据二次函数最值问题进行分析即可．
【详解】（1）设售价定为x元，
则由题意得，
整理得，
解得，．
∵尽快减少库存，
∴．
答：每件休闲服的售价应定为220元；
（2）小张的想法不正确，理由如下：
设售价定为x元，每日的利润为y元，则
，
∴元时，日利润最大，
而日销售额，
当时，日销售额s最大．
∴他的说法不对．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
26. 如图，已知二次函数y＝ax2－8ax＋12（a＞0）的图像与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，M为顶点，P在对称轴上．
（1）当四边形ABPC是平行四边形时，求这个二次函数的表达式；
（2）当点P、M关于x轴对称，且OMP的面积为8时，求这个二次函数的表达式．
【答案】（1）y＝x2－8x＋12；（2）y＝x2－x＋12．
【解析】
【分析】（1）有四边形ABPC是平行四边形可得CP∥AB，CP=AB，由P在对称轴上．求得抛物线的对称轴x，可得AB=CP=4，可求A（2，0）由抛物线过点A，可求即可；
（2）由二次函数y=a(x-4)2+12-16a，可求M(4,12-16a)，由点P与点M关于x轴对称，可求P（4，16a-12），PM=32a-24，由OMP的面积为8，可得解方程即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABPC是平行四边形，
∴CP∥AB，CP=AB，
∵P在对称轴上．
∴抛物线的对称轴x=，
∴AB=CP=4，
∴OA=4-=4-2=2，
∴A（2，0），
∴，
∴，
∴y＝x2－8x＋12；
（2）∵二次函数y＝ax2－8ax＋12（a＞0）=a(x-4)2+12-16a，
∴M(4,12-16a)，
∵由点P与点M关于x轴对称，
∴P（4，16a-12），
∴PM=32a-24，
∵OMP面积为8，
S△OMP=，
，
y＝x2－x＋12．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式问题，掌握平行四边形的性质，抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标，利用P、M关于x轴对称求出PM，利用面积构造方程解决问题是关键．
27. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一动点．将△ABE沿AE翻折后得到AFE，延长AF交CD所在直线于点G，设BE＝x．
（1）若点G在CD边上，求x的取值范围；
（2）若x＝5，求CG的长．
【答案】（1）；（2）CG的长为．
【解析】
【分析】（1）分别求得当点G与点C重合和点G与点D重合时的值，即可得到x的取值范围；
（2）连接GE，在和以及中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】（1）设BE，
当点G与点C重合时，
在中，，
由折叠的性质，得△ABE△AFE，
∴AF=AB=6，BE= FE，
在中，∠CFE=90，CF，CE=8-，
∴，即，
解得：；
当点G与点D重合时，
同理，AF=AB=6，BE= FE，∠BQF=∠B=∠AFE=90，
∴四边形ABEF为矩形，
∴BE= AB=6，即，
∴点G在CD边上时，的取值范围为：；
（2）由（1）知，当时点G在CD边上，连接EG，
∴当时点G在CD边上，且点G不与C、D两点不重合，
设DG=，
由折叠的性质，得△ABE△AFE，
∴AF=AB=6，BE= FE，
在中，∠D=90，AD，DG=，
∴，
∴，
在中，，
中，，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．
28. 如图1，已知二次函数y=-x2+1的图像交x轴于点A、B，P是函数图像上一动点，直线经过点(0，2)且垂直于y轴．
（1）求AB的长；
（2）若有一点Q(0，)，设P到直线的距离为d，PQ=t，试探究d，t之间的数量关系；
（3）如图2，若点P在第四象限，作射线PA，PB，分别交直线于点M、N．设M，N两点的横坐标分别为m、n，试探究m，n之间的数量关系．
【答案】（1）AB=2；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）令，解方程求得点A、B的坐标，即可求得AB的长；
（2）设P(，)，利用勾股定理求得，利用点到直线的距离求得，即可求得的值；
（3）过P作PH⊥于H，交轴于G，设P(，)，△PAG△PMH和△PBG△PNH，推出，，即可求得．
【详解】（1）令，，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，点B的坐标为(，0)，
∴AB=2；
（2）过P作PD⊥轴于D，P到直线的距离为PH=d，
设P(，)，
Rt△PQD中，，PQ=，
∴，
∴，
∴，
又PH，
∴；
（3）过P作PH⊥于H，交轴于G，
由题意得：∥轴，
设P(，)，
∴△PAG△PMH，
∴，，
∴，
同理：△PBG△PNH，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．