2020-2021学年江苏省淮安市淮安区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省淮安市淮安区九年级上学期数学期末试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 方程x2＝x的根是( )
A. x＝0B. x＝1C. x＝0 或x＝1D. x＝0 或x＝﹣1
【答案】C
【解析】
【详解】解：移项得：x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，∴x=0或x﹣1=0，x1=0，x2=1．故选C．
2. 已知⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，则直线m与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】圆心到直线的距离与圆的半径满足 则直线是圆的切线，根据原理直接可得答案．
【详解】解： ⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，
的半径 点O到直线m的距离

与直线相切，
故选：
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握圆心到直线的距离与圆的半径的关系是解题的关键．
3. 分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是.
故选B.
考点：概率.
4. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数是（ ）
A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解：∵∠ABC和∠AOC所对的弧为，∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 数据3、4、6、7、x的平均数是5，这组数据的中位数是（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据3、4、6、7、x这组数据的平均数求得x值，再根据中位数的定义找到中位数即可．
【详解】由3、4、6、7、x的平均数是5，
即
得
这组数据按照从小到大排列为3、4、5、6、7，则中位数为5．
故选C
【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．
6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是( )
A. B. C. △ADE∽△ABCD.
【答案】D
【解析】
【详解】∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，，
∴.
由此可知：A、B、C三个选项中的结论正确，D选项中结论错误.
故选：D.
8. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）
①；②；③；④当时，y随x的增大而减小
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与y轴的交点判断c的正负；根据二次函数的图象与x轴交点个数，判断②的正确性；根据时，y取值的正负，判断③的正确性；根据图象中函数的增减性判断④的正确性．
【详解】解：∵二次函数的图象与y轴的交点在正半轴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相同的实数根，
∴，故②错误；
当时，，即，故③正确；
根据图象，当时，y随x的增大而减小，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是根据二次函数的图象分析解析式中系数的关系．
二、填空题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．）
9. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据成比例线段的基本性质变形即可求解
【详解】解：

故答案为：
【点睛】本题考查成比例线段的基本性质，属于基础题．
10. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环，其中甲的成绩的方差为 1.2，乙的成绩的方差为 3.9，由此可知_____的成绩更稳定．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故答案为甲；
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11. 已知x＝1是一元二次方程x2﹣mx+1＝0的一个解，则m的值是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】把x＝1代入一元二次方程x2﹣mx+1＝0，可得再解方程可得答案．
【详解】解： x＝1是一元二次方程x2﹣mx+1＝0的一个解，


故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键．
12. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】（2，1）．
【解析】
【分析】直接利用顶点式可知顶点坐标．
【详解】因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．
13. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则得出结果．
【详解】解：向右平移2个单位长度得，
再向上平移3个单位长度得．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移的方法．
14. 圆锥的底面半径为5cm，侧面展开图的面积是30πcm2，则该圆锥的母线长为________cm
【答案】6
【解析】
【分析】根据圆锥底面圆周长=扇形弧长，圆锥侧面积=扇形面积，圆锥母线长=扇形半径，进行求解即可
【详解】设扇形弧长为，则
设扇形面积为，则
设扇形半径为，则，即
∴圆锥母线长为6cm
故答案为：6
【点睛】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，熟知以上关系是解题的关键．
15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=_____________．
【答案】115°
【解析】
【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，，连接点C和圆心O，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得的度数，本题得以解决．
【详解】解：连接OC，如图所示，
由题意可得， ，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：115°．
【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形对角互补，解题的关键是连接圆心和切点，构造直角三角形，求出四边形的一个角，找出所求问题需要的条件．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．
【答案】8
【解析】
【分析】先分析出点的运动轨迹是以A为圆心，5为半径的圆弧，要求的最小值，只要求出点C到圆心的距离再减去半径即可．
【详解】解：∵折叠，
∴，
∴点的运动轨迹就是以A为圆心，5为半径的圆弧，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴．
故答案是：8．
【点睛】本题考查矩形与折叠，线段最值的求解，解题的关键是分析出动点的轨迹，再根据点到圆上一点最短距离的求解方法进行求解．
三、解答题（本大题共11小题，共计102分．）
17. 解方程（1）（x-1）2 ＝4
（2）x2﹣6x﹣7＝0；
【答案】（1）x1=3，x2=-1；（2）x1=7，x2=-1
【解析】
【分析】（1）用直接开平方法解方程即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1），
；
（2），
，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，运用直接开平方法，因式分解法是解题关键．
18. 如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C．
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2，求BC的长度．
【答案】（1）45°；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质求解即可；
（2）在（1）的基础上，推出等腰直角三角形，进而求解即可．
【详解】（1）连接，则，，，
，
，
（2），，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了圆切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟悉基本辅助线的添加，灵活计算证明是解题关键．
19. 为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10．
（1）填写下表：
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
【答案】（1）8，8，；（2）选择小华参赛．（3）变小
【解析】
【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【详解】（1）解：小华射击命中的平均数:=8,
小华射击命中的方差:,
小亮射击命中的中位数:；
（2）解：∵小华＝小亮，S2小华＜S2小亮
∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．
（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．
20. 从2名男生和2名女生中随机抽取上海迪斯尼乐园志愿者．
（1）抽取1名，恰好是男生的概率是 ；
（2）抽取2名，用列表法或画树状图法求恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）；（2）图表见解析，P=
【解析】
【分析】（1）根据题意，抽取1名志愿者总共有4种可能，男生有2人，利用概率公式即可求解抽取1名恰好是男生的概率；
（2）根据题意列表，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）抽取1名，恰好是男生的概率为：，
（2）列表得：
由表格可知：总共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种结果，所以抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率为：．
【点睛】本题考查了概率的求解，解题关键是准确列出表格，得到所有的等可能结果，再从中选取符合条件的结果，然后利用概率公式计算．
21. 如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC＝∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD＝10，DC＝8，求AC的长；
【答案】（1）见解析；（2）AC=12
【解析】
【分析】（1）根据两组对应角相等三角形相似，证明结论；
（2）由相似三角形的性质得，即可求出结果．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理．
22. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ；
不等式ax2＋bx＋c＜3的解集为 .
【答案】(1)y=x2-4x+3；(2)x＜1或x＞3，0＜x＜4.
【解析】
【分析】(1)根据表中的数据知，该函数与x轴的两个交点坐标是(1，0)，(3，0)，设y=a(x-1)(x-3)(a≠0)，然后把点(2，-1)代入求得a值；
(2)根据二次函数的性质进行解答．
【详解】解：(1)设该二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3)，
把(2，-1)代入得：a(2-1)(2-3)=-1，
解得a=1，
所以该二次函数的表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3；
(2)由(1)知，该函数解析式为y=(x−1)(x−3)，则该抛物线的开口方向向上，
∵y>0，
∴x＜1或x＞3；
∵y<3，
∴0＜x＜4.
故答案为：(1)y=x2-4x+3；(2)x＜1或x＞3，0＜x＜4.
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题时，利用了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象与不等式的关系．
23. 如图，用长6m的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2 (铝合金条的宽度不计) ?
【答案】宽为1m,高为1.5m.
【解析】
【分析】设窗户的宽为x，则高为，根据等量关系，列出方程，即可.
【详解】设窗户的宽为x，则高为，
由题意得：，
解得：，
∴=，
答：窗框的宽为1m，高为1.5m.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用——几何问题，找出等量关系，列出方程，是解题的关键.
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，CE＝4．求图中阴影部分（弦AC和劣弧AC围成的部分）的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连结OA，根据圆周角定理求得∠AOC=90°，又因AD∥OC，根据平行线的性质可得∠OAD=90°，即OA⊥AD，即可证得 AD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2 ，在Rt△OAE中，根据勾股定理列出方程，解方程求得R的长，即可求得⊙O的半径；再求出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连结OA，如图，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∵OC∥AD，
∴∠AOC+∠OAD=180°
∴∠OAD=90°，即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-4，AE=2 ，
在Rt△OAE中，
∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+（R-4）2=（2 ）2，
解得R=6或R=-2（舍去），
即⊙O的半径为6；
∴S阴影=S扇形OAC-S△OAC
=
【点睛】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、勾股定理及阴影部分的面积，第（2）问利用勾股定理求得半径的长是解决问题的关键.．
25. 如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程，则可表示出DG的长，由正方形的性质可得DE=DG，可得结果；
（2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，即可得到结论．
【详解】解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=BC=3，
在Rt△ABM中，AM==4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，
∴MN=DE，
设MN=DE=x，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，
∴，
解得：DG=﹣x+6，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，即x=﹣x+6，
解得x=，
∴正方形DEFG的边长为；
（2）由题意得：DN=2DE，
由（1）知：，
∴DE=．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，相似三角形对应高的比等于相似比．
26. 某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1) y＝；(2)该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润6050元．
【解析】
【分析】（1）分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利润=每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大值即可．
【详解】（1）当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；
当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000．
∴y＝
（2）当1≤x＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x＝45，
∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；
当50≤x≤90时，一次函数y随x增大而减小，
∴当x＝50时，y最大＝6000．
∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据函数的增减性确定最值是解题的关键.
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，四边形OAPB的面积最大，求出此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）20；（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据函数解析式求出A（0，-5），利用AD∥x轴交抛物线于点D，求出D（-4，-5），即AD=4，利用点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，得到点E到直线AD的距离是10，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）如图，连接OP，作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，设点P的坐标为（x，），根据四边形OAPB的面积==，利用二次函数的性质解答即可得到当时，四边形OAPB的面积最大，由此得到点P的坐标．
【详解】（1）将点B、C的坐标代入解析式y＝ax2+bx﹣5中，得
，解得，
∴此抛物线的表达式是；
（2）令中x=0，得y=-5，
∴A（0，-5），
∵AD∥x轴交抛物线于点D，
∴点D的纵坐标为-5，
当y=-5时，解得x=0或x=-4，
∴D（-4，-5），即AD=4，
∵点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，
∴点E的纵坐标为5，
∴点E到直线AD的距离是10，
∴△EAD的面积=；
（3）如图，连接OP，作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，
设点P的坐标为（x，），
四边形OAPB面积=
=
=
=，
∵，
∴当时，四边形OAPB的面积最大，
此时点P的坐标为．
．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与坐标轴的交点，轴对称的性质，动点问题，二次函数的最值，综合掌握二次函数的知识是解题的关键．平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
小华

8

小亮
8

3
x
…
1
2
3
…
y
…
0
﹣1
0
…
时间x(天)
1≤x＜50
50≤x≤90
售价(元/件)
x＋40
90
每天销量(件)
200－2x