2020-2021年北京市房山区高二数学下学期期末试题及答案

这是一份2020-2021年北京市房山区高二数学下学期期末试题及答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共10题；共50分）
1.已知全集 ，集合 ，则集合 （ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】 B
解：因为全集 ，集合 ，所以 或
故答案为：B
2.若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
解：对于A：若 ， ，显然满足 ，但是 ，A不符合题意；
对于B：若 ， ，显然满足 ， 无意义，B不符合题意；
对于C：因为 ， ，所以 ，C符合题意；
对于D：若 ， ，显然满足 ，但是 无意义，D不符合题意；
故答案为：C
3.已知命题p：所有能被2整除的整数都是偶数，那么 为（ ）
A. 所有不能被2整除的整数都是偶数
B. 所有能被2整除的整数都不是偶数
C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数
D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数
【答案】 D
解：因为全称命题的否定是特称命题．
所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．
故答案为：D．
4.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上的所有点（ ）
A. 横坐标变为原来的 （纵坐标不变）
B. 横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的 （横坐标不变）
D. 纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
【答案】 A
解：要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上的所有点横坐标变为原来的 （纵坐标不变）；
故答案为：A
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
解：因为 ，
故答案为：D.
6.函数 的一条对称轴可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
解：因为 ，令 ，解得 ，即函数的对称轴为 ，当 时， ；
故答案为：C
7.若命题“ ， ”是真命题，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
解：因为 ， ，所以 ，解得
故答案为：A
8.“ ”是“ 成立”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 B
解：因为 ，所以 ,
不能推出 ，所以充分性不满足，
可以推出 ，所以必要性满足，
所以是必要而不充分条件，
故答案为：B.
9.一个半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水轮上的点P从水中浮现时开始计时，即从图中点 开始计算时间．当时间 秒时，点P离水面的高度为（ ）
A. 3m B. 2m C. 1m D. 0m
【答案】 B
解： 秒时，水轮转过角度为 ，此时 点与 恰好在直径的两端点，因为水轮圆心O距离水面1m，所以 秒时，点P离水面的高度为 ，
故答案为：B
10.已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 的最大值为2
C. 在 上是增函数
D. 在 上恰有一个零点
【答案】 C
解：由条件可知： ，定义域为 关于原点对称，
A． 不恒为零，所以不是奇函数，故错误；
B． ，当 时有最大值 ，故错误；
C． 在 上单调递减，又 ， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，即为增函数，故正确；
D．令 ，所以 ，所以 （ 舍去），
所以 ，结合正弦函数的图象可知 在 上有两个解，
所以 在 上有两个零点，故错误；
故答案为：C.
二、填空题（共6题；共30分）
11.已知等差数列 中， ， ，则 ________．
【答案】 5
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以
故答案为：5
12.在 中， ，则 ________．
【答案】
解：因为在 中， ，所以 ，又 ，所以 ，所以
故答案为：
13.能够说明“设 ，若 ，则 ”为假命题的一个 的值为________．
【答案】 0（答案不唯一，符合题意即可）
解：依题意当 时 ，但是 ，
14.已知在数列 中， ， ，其前n项和为 ．给出下列四个结论：
① 时， ；
② ；
③当 时，数列 是递增数列；
④对任意 ，存在 ，使得数列 成等比数列．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】 ①②④
解：①当 时， ，则 ，
即 ，则 ，
则 ， ，
则 ；故①正确．
②因为 ， ，所以 ， ，
即 ，故②正确；
③当 时，不妨设 ，
则由 ， ，
得 ，
则 ，
则 ，故数列 是递增数列错误；故③错误．
④设 ，
则 ，
，
，即
存在 ，数列 成等比数列，此时公比 ；故④正确；
故答案为：①②④
15.已知函数 ，则函数 的定义域为________； 的导函数 ________．
【答案】；
解：因为 ，所以 ，
故定义域为： ，
.
故答案为： ； .
16.函数 的部分图象如图所示，则函数 的最小正周期 ________，函数 的解析式为________．
【答案】；
解：由图可知 , ，即 ，所以 ，
，令 ， ，
那么 ，即 ，因为 ，
所以 ，即 .
故答案为：（1） ；（2） .
三、解答题（共5题；共70分）
17.已知等比数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ；
（3）比较 与2的大小，并说明理由．
【答案】
（1）设等比数列的公比为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ；
（3）因为 且 ，
所以 ，即 .


18.在平面直角坐标系 中，角 ， 的顶点都与坐标原点重合，始边都落在x轴的正半轴．角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，将角 的终边逆时针旋转 后得到角 的终边．
（1）直接写出 ， 的值；
（2）将 用含 的代数式表示；
（3）求 的值．
【答案】
（1）解： ， .
（2）将角 的终边逆时针旋转 后得到角 的终边，得 .
（3）由（1）得 ， ，则 .


19.已知函数 ，再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①： 的最大值与最小值之和为0；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（1）求m的值；
（2）求函数 在 上的单调递增区间．
【答案】
（1）因为
，
选①： 的最大值为m+1，最小值为m-3，又 的最大值与最小值之和为0，
所以 ，解得 ；
所以 ，
选②： ，所以 ，解得 ；之和为0；
（2）当 时， ，当 ，即 时，函数 单调递增，
所以函数 在 上的单调递增区间为 ．


20.某公司欲将一批货物从甲地运往乙地，甲地与乙地相距120千米，运费为每小时60元，装卸费为1000元，货物在运输途中的损耗费的大小（单位：元）是汽车速度（千米/小时）值的2倍．（注：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）
（1）若汽车的速度为50千米/小时，求运输的总费用；
（2）汽车以每小时多少千米的速度行驶时，运输的总费用最小？求出最小总费用．
【答案】
（1）解：当速度为每小时50千米时，
时间 小时，损耗费为100元，
则总费用为： 元；
（2）设速度为 千米 小时，总费用为 元，则 ，
，
当且仅当 即 时取“=”，
即当速度为60千米/小时时，运输总费用最小．

21.已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ．
【答案】
（1）因为 ，所以 ，
所以在 处的切线方程为： ，即 ；
（2）当 时， ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 恒成立；
当 时， ，此时 ，
若 单调递增，
若 单调递减，
若 单调递增，
且 ， ，所以 恒成立；
当 时， ， ，
若 ， 单调递减，
若 ， 单调递增，
且 时， ，所以 恒成立；
当 时， ，此时 ，
若 单调递减，
若 单调递增，
且 ，又 时， ，
所以 时， ，所以 恒成立；
综上可知：当 时， ．