2021-2022学年江苏省南京市江宁区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省南京市江宁区九年级上学期数学期中试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 方程x(x－1)＝0的根是（ ）
A. x1＝1，x2＝0B. x1＝－1，x2＝0C. x1＝x2＝0D. x1＝x2＝1
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x﹣1）＝0，
x﹣1＝0，x＝0，
x1＝1，x2＝0，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
2. 已知⊙O的半径为1，点P在⊙O外，则OP的长（ ）
A. 大于1B. 小于1C. 大于2D. 小于2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：∵O的半径为1，点P在⊙O外，
∴OP＞1，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
3. 若方程x2－2x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞1B. k＝1C. k＜1D. k≤1
【答案】D
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4k≥0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝22﹣4k≥0，
解得k≤1．
故答案选：D
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4. 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两个正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把所有可能出现的情况列举出来，将需要的结果数出来，代入概率公式计算即可．
【详解】同时抛掷两枚均匀的硬币，正面朝上记为“正”，背面朝上记为“背”，则可能出现的情况有（正，背），（正，正），（背，正），（背，背）共4种情况，其中出现两个正面朝上的情况有（正，正）共1种，故出现两个正面朝上的概率为．
故选B．
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟悉列举法的步骤是解决本题的关键．
5. 小明前3次购买的西瓜单价如图所示，若第4次买的西瓜单价是元/千克，且这4个单价的中位数与众数相同，则a 的值为（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图中的数据和题意，可以得到的值，本题得以解决．
【详解】解：由统计图可知，前3次的中位数是3，
第4次买的西瓜单价是元千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
，
故选：C．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6. 如图，Rt△ABC的直角顶点C在⊙O上滑动，且各边与⊙O分别交于点D，E，F，G，若，，的度数比为2：3：5，BE＝BF，则∠A的度数为（ ）
A. 30°B. 32°C. 34°D. 36°
【答案】D
【解析】
【分析】连接OG、OD、OE、OF、EF，首先根据圆周角的性质推出GF为直径，进一步结合，，的度数比为2：3：5，求出∠EOF和∠DOE，从而结合圆的基本性质求出∠OEF和∠OED，从而可得到∠BEF，然后根据等边对等角推出∠B，最后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OG、OD、OE、OF、EF，
由题意，∠C=90°，C、G、F三点均在⊙O上，
∴GF为直径，
∵，，的度数比为2：3：5，
∴，
∴，，
∵OE、OF、OD均为半径，
∴OF=OE=OD，
∴，
，
∴，
∵BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE=63°，
∴∠B=180°-2×63°=54°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=90°-54°=36°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质等，理解圆中的基本性质，圆周角定理等是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 方程x2＝9的根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接开方法求解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴
所以方程x2＝9的根是
故答案为
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
8. 一组数据6，2，1，3的极差为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据极差的概念，求解即可，一组数据的最大值与最小值的差为极差．
【详解】解：根据极差的定义可得，这组数据的极差为
故答案为
【点睛】此题考查了极差的求解，解题的关键是掌握极差的定义．
9. 填空：x2－2x＋__________＝(x－__________)2．
【答案】 ①. 1 ②. 1
【解析】
【分析】根据配方法填空即可，加上一次项系数一半的平方．
【详解】
故答案为：1,1
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
10. 三种圆规的单价依次是15元、10元、8元，销售量占比分别为20%，50%，30%，则三种圆规的销售均价为__________元．
【答案】10.4
【解析】
【分析】代入加权平均数公式计算即可．
【详解】，故填10.4．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟悉加权平均数公式是解决本题的关键．
11. 某商品原价为200元，连续两次涨价后，售价为288元，则平均每次涨价的百分率为__________．
【答案】20%
【解析】
【分析】设平均每次涨价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，故可求解．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率为
由题意可得：
解得，（舍去）
平均每次涨价的百分率为
故答案为
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 设x1，x2是关于x的方程x2－kx＋k－2＝0的两个根，x1＋x2＝1，则x1x2＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先结合一元二次方程根与系数的关系两根之和求出参数k的值，然后确定该一元二次方程，再根据两根之积求解即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：，
∴原方程为：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解并熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
13. 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为__________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】连接OC，设，则，根据垂径定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OC，则，
设，则，
∵，AB为直径，
∴AB垂直平分CD，即：，
∴在Rt△OCE中，，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查垂径定理，理解并熟练运用垂径定理是解题关键．
14. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交边AB，AC于点D，E，设∠A＝α，则的度数为__________(用含α的代数式表示)．
【答案】180°－2α
【解析】
【分析】连接BE，OD，OE，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得∠BEC＝90°，再利用互余得到∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣α，然后根据圆周角定理即可得到∠DOE的度数．
【详解】解：连接BE，OD，OE，如图，
∵BC直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣α，
∴∠DOE＝2∠ABE＝180°－2α．
故答案：180°－2α．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
15. 若关于x的一元二次方程ax2＋k＝0的一个根为1，则方程a(x－1)2＋k＝0的解为__________．
【答案】x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】将代入ax2＋k＝0求得的关系，然后代入方程a(x－1)2＋k＝0求解即可．
【详解】解：由题意可得：
将代入ax2＋k＝0，得，即
将代入a(x－1)2＋k＝0，得
化简得：，即或
解得
故答案为
【点睛】此题考查了一元二次方程的概念及求解，熟练掌握一元二次方程的概念以及求解方法是解题的关键．
16. 在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，连接BD，BD＝6，∠C＝∠ABD，则AC的长的取值范围是__________．
【答案】5＜AC≤10
【解析】
【分析】以为圆的两个切线，作圆，根据题意可得点在优弧上，即可求解．
【详解】解：如图：以为圆的两个切线，切点分别为，作圆，连接并延长交圆于点，连接、并延长交圆于点，交于点，如下图：
则：，
∴
又∵
∴
又∵
∴
∵
∴
可得：点在优弧上运动，所以当点接近时，最小，当点与点重合时，最大，即
∵，
∴垂直平分
∴，
勾股定理可得：
∵，
∴
∴，即，解得
由勾股定理可得：
∴
故答案为
【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意确定点的运动轨迹．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）＋6x－7＝0；
（2）2x(x－1)＝1－x．
【答案】（1）＝1，＝－7．（2）＝－，＝1．
【解析】
【分析】（1）运用配方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：＋6x－7＝0
＝16
x＋3＝±4
∴＝1，＝－7．
（2）解：2x(x－1)＝1－x
2x(x－1)＋(x－1)＝0
(2x＋1)(x－1)＝0．
＝－，＝1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择合适的方法是解题的关键．
18. 用一根长16 cm的铁丝：
（1）能否围成面积是7 cm2的矩形？请说明理由．
（2）能围成矩形的最大面积为 cm2．
【答案】（1）用一根长16 cm的铁丝能围成面积是7cm2的矩形．（2）16
【解析】
【分析】（1）设这根铁丝围成的矩形的长是x cm，则矩形的宽是（8－x）cm，然后列出一元二次方程，解方程即可．
（2）由（1）可知，设面积为y，则利用配方法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：（1）设这根铁丝围成的矩形的长是x cm，则矩形的宽是（8－x）cm．
根据题意，得x(8－x)＝7，
解得：x1＝1，x2＝7．
答：用一根长16 cm的铁丝能围成面积是7cm2的矩形．
（2）根据题意，设这根铁丝围成的矩形的长是x ，面积为y，则
，
∴最大面积为cm2；
故答案为：16．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解应用题，解题的关键是熟练掌握题意正确的列出方程．
19. 如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且OC＝OD．求证：AC＝BD．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】过点O作OH⊥AB，垂足为H，由垂径定理可得AH=BH，再结合OC=OD可得△OAD是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CH=DH，进而完成证明.
【详解】证明：过点O作OH⊥AB，垂足为H，
∴AH＝BH，
∵OC＝OD，且OH⊥CD，
∴CH＝DH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD．
【点睛】本题考查的是垂径定理和等腰三角形的性质，根据题意作出合适的辅助线是解答本题的关键.
20. 甲、乙两人在相同的情况下各打靶6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环）：
甲：9，6，7，6，7，7
乙：4，5，8，7，8，10
（1）计算两人打靶成绩的方差；
（2）请推荐一人参加比赛，并说明理由．
【答案】（1）S甲2＝1环2， S乙2＝4环2；（2）推荐甲，理由见解析
【解析】
【分析】（1）代入方差公式计算即可；
（2）根据比赛需要稳定发挥，超常发挥的成绩，方差越小成绩越稳定来推荐参赛人员．
【详解】解：（1）＝×(9＋6＋7＋6＋7＋7)＝7（环），
＝×(4＋5＋8＋7＋8＋10)＝7（环）；
S甲2（环2），
S乙2（环2）；
（2）推荐甲．在甲、乙平均成绩相同的前提下，甲成绩的方差较小，甲成绩比较稳定．
（或推荐乙．在甲、乙平均成绩相同的前提下，乙一直处于上升趋势，有潜力．
【点睛】本题考查了方差的概念，利用方差做决策，结合生活实际理解数学概念是本题的亮点．
21. 国庆期间，甲、乙两人分别从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择两部观看．
（1）甲选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的概率为 ；
（2）求甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率的定义公式计算即可；
（2）用列举法把所有可能性都列出来，数出满足要求结果数，代入概率的定义公式即可．
【详解】解：（1）∵甲从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中任意选出2部观看有6种等可能结果，其中选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的结果有2种，
∴甲选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的概率为；
（2）将《长津湖》、《我和我的父辈》、皮皮鲁与鲁西西》三部电影分别用字母A、B、C表示．甲、乙各选择两部电影观看，所有可能出现的结果共有9种，
即（AB，AB）、（AB，AC）、（AB，BC）、（AC，AB）、（AC，AC）、（AC，BC）、（BC，AB）、（BC，AC）、（BC，BC），这些结果出现的可能性相等．
所有的结果中，满足甲、乙两人选择观看的两部电影相同（记为事件M）的结果有3种，
所以P（M）==．
【点睛】本题考查了概率的定义，列举法求概念，正确理解概率的定义是解决本题的关键．
22. 已知关于x的方程(x－m)2－(x－m)＝0．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根互为倒数，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）m1＝，m2＝．
【解析】
【分析】（1）整理方程，由根的判别式列式求解即可；（2）整理方程，由根与系数关系求解即可．
【详解】（1）证明：
整理原方程，得x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
∵b2－4ac＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的两个根互为倒数，
∴x1x2＝1，即x1x2=m2＋m=1
解得m1＝，m2＝．
【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程根的情况的关系，根与系数的关系，利用这些关系列出对应式子求解是解决本题的关键．
23. 如图，将△AOB绕点O顺时针旋转到△COD的位置，⊙O与CD相切于点E．
求证：AB是⊙O的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，由旋转的性质得△AOB≌△COD，即 ∠A＝∠C，OA＝OC，由切线定理得OE⊥CD，∠AFO＝∠CEO＝90°，易证△AOF≌△COE，OE＝OF，由切线的性质定理即可判定AB是⊙O的切线．
【详解】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，
由旋转，得△AOB≌△COD．
∴ ∠A＝∠C，OA＝OC．
∵ ⊙O与CD相切于点E，
∴ OE⊥CD．
∴ ∠AFO＝∠CEO＝90°
∴ △AOF≌△COE．
∴ OE＝OF．
∴ OF是⊙O的半径．
∵ 点F是半径外端，
∴ AB是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、全等三角形的性质和判定和旋转的性质，根据已知条件作出辅助线是解题的关键．
24. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦， ．求证AB∥CD．（请用两种不同的方法证明）
【答案】见解析
【解析】
【分析】方法一：连接AD，由知∠BAD＝∠ADC，据此可得证；
方法二：作OE⊥AB，垂足为E，交CD于点F，交⊙O于点G，连接OC，OD，由垂径定理可得，可得∠COG＝∠DOG，再根据等腰三角形的性质进而得出∠OFD＝∠OEB=90°即可得证．
【详解】方法一
证明：连接AD，
∵ ，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥CD.
方法二
证明：作OE⊥AB，垂足为E，交CD于点F，交⊙O于点G，连接OC，OD，
∵OE⊥AB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠COG＝∠DOG，
∵OC＝OD，
∴OG⊥CD，
∴∠OFD＝90°，
∵∠OEB＝90°，
∴∠OFD＝∠OEB，
∴AB∥CD.
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
25. 某奶茶店销售一款奶茶，每杯成本为5元．据市场调查：每杯售价30元，平均每天可销售300杯；价格每降低5元，平均每天可多销售100杯．为了让顾客获得最大优惠，又可让店家销售这款奶茶平均每天获利7 820元，这款奶茶应售价多少元？
【答案】这款奶茶应售价22元．
【解析】
【分析】设这款奶茶每杯降价x元，则销售量为杯 ，每杯利润为元，根据题意列出一元二次方程接方程求解即可．
【详解】解：设这款奶茶每杯降价x元．
根据题意，得(30－5－x)(300＋20x)＝7 820．
整理，得x2－10x＋16＝0．
解得x1＝2，x2＝8．
∵让顾客获得最大优惠，
∴x1＝2舍去，30－8＝22．
答：这款奶茶应售价22元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
26. 如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；
（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，
后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
【详解】（1）证明：连接DE、BH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，
∴△ADE≌△ABH．
∵AE＝AH．
（2）连接DE，DF．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠BFD＝90°．
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF．
∴AE＝CF
∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG
∴AH＝CG．
∴△AEH≌△CFG．
∴EH＝FG．
∴∠AHE＝∠AEH＝90°－∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－∠A，
∴∠AHE＝∠ADB
∴EH∥BD
同理可证FG∥BD，
∴EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴∠FEH＝∠FGH．
又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，
∴∠FEH＋∠FGH＝180°，
∴∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．
27. 概念提出】
圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．
【数学理解】
如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 ．
（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；
②AB的长随着OP的长的增大而减小；
③AB的长随着OP的长的确定而确定；
④AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 ．
【问题解决】
如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．
（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）若弦AB，CD都过点Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．
①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；
②写出作AB，CD的思路．
【答案】（1）8．（2）②③；（3）见解析；（4）①AB＝，CD＝；②见解析
【解析】
【分析】（1）连接OA，先根据垂径定理得出AP=AB，再根据勾股定理求出AP的长，即可求得AB的长；
（2）设半径为r不变，得出AB，然后根据式子判断即可；
（3）利用弦心距及线段的垂直平分线作图即可；
（4）①设AB＝2m，CD＝2n，列出关于m和n的二元一次方程组求解即可；
②类比（3）的作图方法即可．
【详解】（1）解：连接OA．
∵OP⊥AB，
∴AP=AB，
∵OA=5，OP=3，
∴AP=，
∴AB=2AP=8．
（2）设半径为r不变，
∴AB=AP+BP=，
当r不变，OP的长增大时，AB减小；OP长确定时，AB也确定，
∴选②③
（3）如图，弦AB，满足AB＝EF；
（4）①解：设AB＝2m，CD＝2n，如图，可得：
，解得
∴ AB＝，CD＝，
②作图思路：先作斜边为4r，一条直角边为2d，另一条直角边为的直角三角形；后作斜边为，一条直角边为l，另一条直角边为的直角三角形；再在⊙O中作出长为的弦，再如（3）中作法过点Q作弦AB；最后过点Q作AB的垂直弦CD．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆的弦心距，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．